賀芳芳,朱惠延,林晉章

(南華大學 數(shù)理學院,湖南 衡陽421001)

0 引 言

腫瘤是指細胞在某些因素的作用下，其基因發(fā)生改變，從而發(fā)生異常增殖。免疫系統(tǒng)是人體抵御外來病原菌侵犯的系統(tǒng)之一，其具有免疫監(jiān)視、防御和調(diào)控的作用。研究發(fā)現(xiàn)，腫瘤細胞的表面抗原可能與正常細胞的相同，也可能不同，因此會發(fā)生免疫應(yīng)答[1]。另一方面，免疫系統(tǒng)是由免疫器官、免疫細胞以及免疫活性物質(zhì)組成的一個非常復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)，免疫系統(tǒng)可以促進和抑制腫瘤細胞的發(fā)展。目前，腫瘤和免疫系統(tǒng)之間的作用機理仍是在癌癥和免疫學中最具有挑戰(zhàn)的問題之一[2]。

為了更好地理解這一復(fù)雜的生物變化過程，國內(nèi)外許多專家利用數(shù)學建模方法積極開展研究。早在1994年，V.A.Kuznetsov等提出腫瘤與免疫系統(tǒng)之間相互競爭的數(shù)學模型[3]

(1)

在模型(1)的基礎(chǔ)上，許多數(shù)學模型被相繼提出，有二維模型、三維模型、加入隨機項模型、加入時滯項模型、加入治療項模型等等，許多專家學者研究這些模型的動力學性質(zhì)[4-10]。1998年，D.Kirschner和J.C.Panetta在三維模型中用cT描述抗原性[6]。謝鑫等在M.Galach提出的二維模型中加入抗原項cT[8-9]，得到模型

(2)

并對系統(tǒng)(2)進行了動力學性態(tài)研究。

考慮到采用簡化Holling-IV型發(fā)生率能更好地反映生物現(xiàn)象[11]，本文在系統(tǒng)(2)的基礎(chǔ)上，研究具簡化Holling-IV型發(fā)生率的模型，

(3)

1 模型化簡

(4)

(5)

2 平衡點的存在性

(6)

(7)

方程(7)等價于[12]

y3+ay2+by+c=0。

(8)

z3+l1z+l2=0。

(9)

定理1 條件(H1)成立，當l1=0且l2<0，或l1<0且l2=0，或Δ>0且l2<0，或Δ=0且l2<0，或Δ<0且l2<0時，系統(tǒng)(5)有且僅有一個有瘤平衡點；當Δ=0且l2>0時，系統(tǒng)(5)存在兩個相等的有瘤平衡點；當Δ<0且l2>0時，系統(tǒng)(5)存在兩個不同的有瘤平衡點。

3 局部穩(wěn)定性

在二維平面系統(tǒng)中，局部漸進穩(wěn)定的平衡點有兩種類型，焦點和結(jié)點。類型不同，系統(tǒng)的軌線收斂于平衡點的方式不同，本節(jié)首先分別討論無瘤平衡點P0(1,0)和有瘤平衡點P(x*,y*)的穩(wěn)定性，最后分析穩(wěn)定平衡點的類型。

3.1 無瘤平衡點的穩(wěn)定性

首先求得系統(tǒng)(5)在無瘤平衡點P0(1,0)的Jacobi矩陣

(10)

接著分析當γ=p時系統(tǒng)(5)在瘤平衡點P0附近的動力學性質(zhì)。

令u=x-1，v=y并代入系統(tǒng)(5)中，得

(11)

接著在無瘤平衡點P0(1,0)處對系統(tǒng)(11)作線性化處理，得

其系數(shù)矩陣對應(yīng)的特征值為λ1=-1和λ2=0，然后對系統(tǒng)(11)作非退化的線性變換，令

系統(tǒng)(11)則變?yōu)?/p>

(12)

易知系統(tǒng)(12)滿足局部中心流行存在性的條件，故局部中心流形h(w)存在，設(shè)為

z=h(w)=aw2+bw3+o(w3)

利用中心流行的不變性，解得

故系統(tǒng)(12)在原點的中心流行為

(13)

將式(13)代入系統(tǒng)(12)的第二式中，得

(14)

(15)

其中：

再次運用中心流行定理，故系統(tǒng)(15)在原點的中心流行為

并代入系統(tǒng)(15)的第二式中，得

(16)

由式(16)知，無瘤平衡點P0(1,0)是不穩(wěn)定的。這是因為式(16)滿足γ=p，故p(p-γ)-γ=-γ<0，因此此時無瘤平衡點P0(1,0)必是不穩(wěn)定的。

(17)

定理2 系統(tǒng)(5)在無瘤平衡點P0(1,0)局部漸近穩(wěn)定，當滿足以下任意條件之一：

1)γ

系統(tǒng)(5)在無瘤平衡點P0(1,0)不穩(wěn)定，當滿足以下任意條件之一：

1)γ>p；

3.2 有瘤平衡點的穩(wěn)定性

對于第2部分討論的任意有瘤平衡點P(x*,y*)，系統(tǒng)(5)在P(x*,y*)處的Jacobi矩陣為：

(H2)a11+a22<0。

(H3)a11a22-a12a21>0。

(H4)a11a22-a12a21=0。

定理3 當條件(H2)和(H3)成立時，系統(tǒng)(5)在有瘤平衡點P(x*,y*)處是局部漸進穩(wěn)定的。

令u1=x-x*，v1=y-y*并代入系統(tǒng)(5)中，得

(18)

其中，

對系統(tǒng)(18)作線性變換

得

(19)

其中，

ξ2N(z1+ξ2w1,ξ1z1+w1))，

ξ1M(z1+ξ2w1,ξ1z1+w1))。

類似于3.1節(jié)，求得式(19)在原點的局部中心流行為

(20)

其中，

將式(20)代入式(19)的第二式，有

o(w2)?Qw2+o(w2)。

(H5)Q<0。

定理4 當條件(H2)和(H4)成立時，系統(tǒng)(5)存在高階有瘤平衡點P(x*,y*)，當條件(H5)成立時，有瘤平衡點是局部漸近穩(wěn)定的。

最后分析穩(wěn)定的有瘤平衡點P(x*,y*)的類型。定理3和定理4給出存在局部漸進穩(wěn)定的有瘤平衡點，對于系統(tǒng)(5)和這樣的有瘤平衡點，當κ=trJ(P)2-4detJ(P)<0，P是焦點；當κ≥0，P是結(jié)點。

4 數(shù)值模擬

本節(jié)利用Matlab對第3節(jié)的結(jié)論進行數(shù)值模擬分析。

對于系統(tǒng)(5)，選取參數(shù)p=6，η=50，q=5，δ=3，γ=2，和參數(shù)p=5，η=50，q=5，δ=10，γ=5進行數(shù)值模擬，分別如圖1(a)和圖1(b)所示，均收斂于點P0(1,0)，這表明無瘤平衡點P0(1,0)局部漸近穩(wěn)定。

圖1 系統(tǒng)(5)在P0(1,0)附近的軌線Fig.1 The phase portraits of system(5) around P0(1,0)

選取參數(shù)p=10，η=50，q=0.5，δ=10，γ=10，如圖2(a)所示，存在有瘤平衡點P=(1.8377,0.6325)，且該平衡點為穩(wěn)定的結(jié)點。此時l1<0，l2=0，條件(H2)、(H3)均成立，κ>0；更換參數(shù)值q=5，其他參數(shù)值不變，如圖2(b)所示，有瘤平衡點P=(1.8377,0.6325)是穩(wěn)定的焦點。此時l1<0，l2=0，條件(H2)、(H3)均成立，κ<0。

選取參數(shù)p=10，η=70，q=5，δ=90，γ=5，此時Δ<0，l2>0，如圖3(a)所示，系統(tǒng)(5)存在兩個不同的有瘤平衡點，即P1=(0.4941,0.0135)和P2=(0.6569,0.8353)。P1不穩(wěn)定，此時平衡點P1滿足條件(H2)，detJ(P)<0；P2為穩(wěn)定的結(jié)點，此時該平衡點滿足條件(H2)、(H3)和κ>0。更換參數(shù)值q=50，其他參數(shù)不變，如圖3(b)所示，平衡點P1不穩(wěn)定，此時P1滿足條件(H2)，detJ(P)<0；平衡點P2為穩(wěn)定的焦點，此時該平衡點滿足條件(H2)、(H3)和κ<0。

圖2 系統(tǒng)(5)在有瘤平衡點P的局部穩(wěn)定性Fig.2 The local stability of system (5) at the tumor equilibrium point P

圖3 系統(tǒng)(5)在有瘤平衡點P1和P2的局部穩(wěn)定性Fig.3 The local stability of system (5) at the tumor equilibrium points P1 and P2

圖4 系統(tǒng)(5)在無瘤平衡點P0和有瘤平衡點P的局部穩(wěn)定性Fig.4 The local stability of system (5) at the tumor-free equilibrium point P0 and the tumor equilibrium point P

5 結(jié) 論

本文研究了一類具抗原性和簡化Holling-IV型腫瘤與免疫系統(tǒng)相互作用的模型。首先對模型通過無量綱化處理以減少參數(shù)，簡化模型。接著分析了平衡點的存在性。然后在平衡點存在的范圍內(nèi)研究了各個平衡點的局部動力學性質(zhì)。分析結(jié)果表明，模型會出現(xiàn)無瘤平衡點和有瘤平衡點同時穩(wěn)定的情況。這種雙穩(wěn)態(tài)的現(xiàn)象表明腫瘤的增長與初始狀態(tài)有關(guān)，當腫瘤細胞和效應(yīng)細胞的初值均很小時，或腫瘤初值很小，效應(yīng)細胞初值很大時，腫瘤細胞最終消失；當腫瘤初值很大，而效應(yīng)細胞初值很小時，或腫瘤細胞和效應(yīng)細胞初值均很大，腫瘤趨于正平衡點。由此可見，盡早發(fā)現(xiàn)腫瘤細胞的出現(xiàn)，有助于腫瘤的消失。接著，本文給出了當有瘤平衡點穩(wěn)定時，該平衡點是焦點還是結(jié)點的條件。最后利用Matlab進行數(shù)值模擬，支撐理論分析。