黎 磊，胡佐富，陳文潔，陳彥彰，鐘 超

飽和非線性超晶格中帶隙孤子的特性研究

*黎 磊，胡佐富，陳文潔，陳彥彰，鐘 超

（井岡山大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江西，吉安 343009）

利用光譜重構(gòu)法求解了聚焦飽和非線性超晶格半無(wú)窮帶隙中的基模孤子，并研究了飽和程度和超晶格勢(shì)場(chǎng)的相對(duì)強(qiáng)度對(duì)孤子的功率、穩(wěn)定性的影響。研究結(jié)果表明：對(duì)于給定相對(duì)強(qiáng)度的超晶格勢(shì)場(chǎng)，當(dāng)飽和程度較低時(shí)，孤子在高功率區(qū)域不穩(wěn)定，并且孤子的穩(wěn)定范圍隨著飽和程度的增大而變寬；當(dāng)飽和程度較高時(shí)，孤子功率隨傳播常數(shù)增大快速增大，但孤子是穩(wěn)定的。此外，對(duì)于給定的低飽和程度，孤子的穩(wěn)定范圍隨著超晶格中低頻格子相對(duì)強(qiáng)度的增大而變寬。

帶隙孤子；超晶格；飽和非線性；光譜重構(gòu)

0 引言

光在非線性介質(zhì)中傳輸時(shí)，當(dāng)非線性效應(yīng)導(dǎo)致的會(huì)聚效果和光束衍射效應(yīng)導(dǎo)致的發(fā)散效果相平衡時(shí)，光束在介質(zhì)中會(huì)以不變的寬度、強(qiáng)度傳輸，這類光束被稱為空間光孤子。早期的空間光孤子研究主要集中在均勻介質(zhì)中，近些年，隨著光學(xué)誘導(dǎo)技術(shù)的不斷提高，人們發(fā)現(xiàn)引入外勢(shì)可以給空間光孤子帶來(lái)了很多新的特性。因此，各種勢(shì)場(chǎng)調(diào)節(jié)下的空間孤子研究引起了研究人員極大的關(guān)注，如：Bessel勢(shì)場(chǎng)[1]、Mathieu格子[2]、高斯勢(shì)[3]、啁啾勢(shì)場(chǎng)[4]、周期晶格勢(shì)[5]等。而且當(dāng)對(duì)光學(xué)介質(zhì)的折射率進(jìn)行周期調(diào)制時(shí)會(huì)形成光學(xué)格子結(jié)構(gòu)，這種周期格子在物理上的特點(diǎn)是存在布洛赫帶隙結(jié)構(gòu)，所謂的帶隙孤子就是局域在帶隙中的非線性模。

帶隙孤子可以存在于多種非線性系統(tǒng)中，通過(guò)不同的非線性響應(yīng)可以調(diào)節(jié)帶隙孤子的特性，如：非局域非線性[6]，飽和非線性[7]，三五次競(jìng)爭(zhēng)非線性[8]等。再者，帶隙孤子的種類繁多，例如：將帶隙中不同的非線性模式耦合在一起可以形成矢量帶隙孤子[9]；在二維的晶格中，存在帶隙渦旋孤子[10]；在周期系統(tǒng)表面可以局域表面帶隙孤子[11]；PT對(duì)稱晶格中存在穩(wěn)定的復(fù)數(shù)帶隙孤子[12]；光晶格中的帶隙暗孤子[13]也有相應(yīng)的報(bào)道。近期，帶隙孤子的研究拓展到了分?jǐn)?shù)維[14-15]。帶隙孤子具有均勻介質(zhì)無(wú)法比擬的特性，不僅在光學(xué)系統(tǒng)，在玻色-愛(ài)因斯坦凝聚[16]等其他非線性周期系統(tǒng)中也被廣泛研究。

帶隙孤子的類型和其對(duì)應(yīng)的非線性傳播常數(shù)在帶隙中的位置以及非線性的類型密切相關(guān)。例如：對(duì)于聚焦非線性周期系統(tǒng)，基模孤子存在于半無(wú)窮帶隙中，亞基模孤子存在于第一帶隙中；對(duì)于散焦非線性周期系統(tǒng)，基模孤子主要存在于第一帶隙中，亞基模孤子存在于第二帶隙中。改變光學(xué)格子的結(jié)構(gòu)和參數(shù)可以調(diào)節(jié)帶隙結(jié)構(gòu)，從而控制不同類型的帶隙孤子的形成、功率以及穩(wěn)定性等性質(zhì)。比如：用兩個(gè)不同周期的格子疊加可以形成超晶格結(jié)構(gòu)[17]。超晶格多了一個(gè)調(diào)控格子相對(duì)強(qiáng)度的自由度，而飽和非線性在調(diào)制孤子的功率和穩(wěn)定方面有著獨(dú)到的優(yōu)勢(shì)[18]。因此，將兩者結(jié)合起來(lái)，研究超晶格勢(shì)場(chǎng)和飽和非線性效應(yīng)共同調(diào)制下的帶隙孤子具有重要意義。

本文詳細(xì)研究了飽和聚焦非線性下光學(xué)超晶格半無(wú)窮帶隙中的基模孤子。通過(guò)光譜重構(gòu)法[19-20]求出孤子解，然后著重探討了非線性的飽和程度和超晶格的相對(duì)強(qiáng)度對(duì)孤子穩(wěn)定性的影響，發(fā)現(xiàn)增大飽和程度以及超晶格中低頻格子的相對(duì)強(qiáng)度有利于孤子的穩(wěn)定。

1 理論模型

基于聚焦飽和非線性介質(zhì)的線性光學(xué)格子中的光孤子可以用下面的歸一化的非線性薛定諤方程來(lái)描述：

其中，是光場(chǎng)，，分別是橫向坐標(biāo)和縱向坐標(biāo)，是晶格勢(shì)場(chǎng)，代表線性折射率的調(diào)制。我們考慮由兩個(gè)不同周期格子疊加形成的超晶格勢(shì)場(chǎng)為：

公式中是超晶格勢(shì)場(chǎng)的調(diào)制參數(shù)，可以用來(lái)調(diào)節(jié)低頻和高頻格子的相對(duì)強(qiáng)度。圖1 (a)為=0.4時(shí)的超晶格勢(shì)場(chǎng)。

(a) 超晶格勢(shì)場(chǎng)，α = 0.4；(b)帶隙結(jié)構(gòu)隨α的變化關(guān)系，能帶曲線；(c) α = 0.2；(d) α = 0.5

為了計(jì)算帶隙結(jié)構(gòu)，考慮非線性薛定諤方程的線性部分：

根據(jù)Bloch理論，方程(3)的本征函數(shù)可以寫成=Fexp()，是Bloch波矢，F是和勢(shì)場(chǎng)同周期的周期函數(shù)。將Bloch解代入方程(3)，可以得到本征方程：

采用平面波展開(kāi)法求解方程(4)，可得該系統(tǒng)的帶隙結(jié)構(gòu)隨超晶格勢(shì)場(chǎng)的調(diào)制參數(shù)的變化關(guān)系，如圖1(b)所示。從圖中可知，隨著的增大，第一帶隙逐漸變寬，而第二帶隙則逐漸變窄。但是對(duì)半無(wú)窮帶隙范圍的影響很小，圖1(c)、1(d)分別為= 0.2，= 0.5時(shí)的Bloch能帶圖。這里僅討論半無(wú)窮帶隙中的孤子。

對(duì)(5)式中的線性部分應(yīng)用傅里葉變換，然后再進(jìn)行傅里葉逆變換，得到：

去分母后得到：

通過(guò)方程(7)，可以表示為：

其中，代表傅里葉變換。于是，得到孤子解的迭代公式為：

為了分析孤子的穩(wěn)定性，我們?cè)谇蟪龅墓伦咏庵屑尤胛_：

代入方程(1)，得到本征方程為：

數(shù)值求解方程(13)可以得到微擾增長(zhǎng)率e()，當(dāng)其最大值等于0時(shí)，孤子是線性穩(wěn)定的，否則是線性不穩(wěn)定的。

2 數(shù)值模擬和討論

接下來(lái)，我們數(shù)值討論飽和參數(shù)和超晶格的調(diào)制參數(shù)對(duì)孤子特性的影響。首先，固定= 0.2，計(jì)算三種不同的飽和參數(shù)= 0.1,= 0.2,= 0.3下孤子的功率隨著傳播常數(shù)的變化關(guān)系，結(jié)果如圖2(a)所示。我們發(fā)現(xiàn)孤子的功率隨著傳播常數(shù)的增大而增大，并且飽和參數(shù)越大，孤子的功率上升的越快。這從物理上很容易理解，因?yàn)閭鞑コ?shù)就是各種效應(yīng)引起的總相移（這里包含超晶格勢(shì)場(chǎng)調(diào)制效應(yīng)以及飽和非線性效應(yīng)），對(duì)于聚焦飽和非線性，功率越大，則非線性效應(yīng)引起的非線性相移越大。另外，在較大的飽和參數(shù)下，非線性效應(yīng)的飽和程度越高，這種情況下當(dāng)功率達(dá)到一定程度的時(shí)候，如果繼續(xù)增大功率，相移也會(huì)呈現(xiàn)飽和的效果，即的增加趨于平緩。反應(yīng)在-曲線上，體現(xiàn)的是越大，曲線越陡，即功率隨傳播常數(shù)變化的越快。另外，同一個(gè)傳播常數(shù)下，越大，孤子功率越高。物理上，飽和程度越大，則非線性效應(yīng)越弱，所以需要更大的功率來(lái)增大非線性相移使總相移即傳播常數(shù)相等。然后，我們對(duì)孤子解進(jìn)行線性穩(wěn)定性分析，并在-曲線中分別用實(shí)線和虛線來(lái)區(qū)分孤子的穩(wěn)定區(qū)域和不穩(wěn)定區(qū)域。計(jì)算發(fā)現(xiàn)在較弱的飽和非線性程度下，孤子在高功率區(qū)域不穩(wěn)定。并且孤子的穩(wěn)定范圍隨著飽和參數(shù)的增大而變寬，當(dāng)飽和程度較高時(shí)，孤子都是穩(wěn)定的，也就是說(shuō)飽和非線性效應(yīng)有利于孤子的穩(wěn)定。

(a) α=0.2 (b) α=0.3,s=0.1 (c) α =0.4,s=0.1 (d) α=0.5,s=0.1

我們通過(guò)同一個(gè)傳播常數(shù)= 2.5時(shí)兩個(gè)不同飽和參數(shù)= 0.2，= 0.3下的孤子來(lái)舉例說(shuō)明。圖3(a)，3(b)分別給出了= 0.2和= 0.3時(shí)的基模孤子解，對(duì)應(yīng)的線性穩(wěn)定譜分別見(jiàn)圖3(c)，3(d)，對(duì)比兩圖可知，當(dāng)=0.2時(shí)，微擾增長(zhǎng)率e()大于0，說(shuō)明此時(shí)孤子是不穩(wěn)定的，但是當(dāng)=0.3時(shí)，其微擾增長(zhǎng)率e()等于0，說(shuō)明此時(shí)孤子是穩(wěn)定的。為了進(jìn)一步驗(yàn)證孤子的穩(wěn)定性，我們?cè)诠伦咏馍霞由?0%孤子幅度的白噪聲，然后采用對(duì)稱分步傅里葉算法模擬孤子的傳輸。當(dāng)=0.2時(shí)，圖3(e)中的傳輸模擬發(fā)現(xiàn)孤子傳輸很短的距離后波形就發(fā)生了形變，驗(yàn)證了此時(shí)的孤子是不穩(wěn)定的。當(dāng)=0.3時(shí)，圖3(f)中的傳輸模擬發(fā)現(xiàn)孤子傳輸很長(zhǎng)的距離仍然維持原有的波形，此時(shí)的孤子是穩(wěn)定的。傳輸模擬和線性穩(wěn)定性分析的結(jié)果符合的很好。

(a)(c)(e) s=0.2; (b)(d)(f) s = 0.3, α = 0.2, μ= 0.5

接下來(lái)，我們固定飽和參數(shù)=0.1, 改變超晶格調(diào)制參數(shù)。為了進(jìn)一步計(jì)算了三種不同的調(diào)制參數(shù)=0.3,=0.4,=0.5下孤子的功率和穩(wěn)定性隨著傳播常數(shù)的變化關(guān)系，結(jié)果分別如圖2(b)、2(c)、2(d)所示。穩(wěn)定性分析表明：當(dāng)=0.2時(shí)，孤子在傳播常數(shù)0.6 ～ 1.43范圍內(nèi)是穩(wěn)定的；當(dāng)= 0.3時(shí)，孤子的穩(wěn)定范圍拓展到0.6 ～ 1.89；當(dāng)= 0.4時(shí)，孤子的穩(wěn)定區(qū)域?yàn)?.6 ～ 2.63；當(dāng)= 0.5時(shí)，孤子在0.6 ～ 4.46范圍內(nèi)穩(wěn)定。也就是說(shuō)，孤子的穩(wěn)定范圍隨著超晶格調(diào)制參數(shù)的增大而變寬。舉例來(lái)說(shuō)，對(duì)于= 1.5，圖4(a)、4(b)分別是= 0.2，= 0.3時(shí)的孤子解，兩個(gè)孤子的外形輪廓差不多，功率也相差不大，物理上，由圖1(b)可知，改變超晶格的調(diào)制參數(shù)，能帶結(jié)構(gòu)并沒(méi)有明顯移動(dòng)，尤其是半無(wú)窮帶隙，也就是說(shuō)超晶格的相對(duì)強(qiáng)度對(duì)總相移的影響很小，所以對(duì)于同一個(gè)傳播常數(shù)（總相移相同），由飽和非線性效應(yīng)引起的非線性相移也應(yīng)該相差不大，故而在和固定的情況下，不同下的孤子功率相差不大。但是孤子的傳輸模擬表明：當(dāng)=0.2時(shí)，孤子是不穩(wěn)定的，見(jiàn)圖4(c)，而當(dāng)= 0.3時(shí)，孤子是穩(wěn)定的，見(jiàn)圖4(d)。對(duì)于另一個(gè)例子= 3，孤子在= 0.2，= 0.3，= 0.4時(shí)都是不穩(wěn)定的，但是= 0.5時(shí)，孤子是穩(wěn)定的。我們分別給出了= 0.4，= 0.5時(shí)的孤子解，見(jiàn)圖5(a)、5(b)；相應(yīng)的傳輸模擬見(jiàn)圖5(c)、5(d)，結(jié)果進(jìn)一步證實(shí)了增大超晶格中低頻格子的相對(duì)強(qiáng)度（即調(diào)制參數(shù)）有利于孤子的穩(wěn)定。

(a)(c)α = 0.2；(b)(d)α = 0.3，s = 0.1, μ = 1.5

(a)(c)α = 0.4；(b)(d)α = 0.5，s = 0.1, μ = 3

3 結(jié)論

我們研究了聚焦飽和非線性超晶格半無(wú)窮帶隙中的基模孤子，討論了非線性的飽和程度和超晶格的相對(duì)強(qiáng)度對(duì)孤子的功率、穩(wěn)定性的影響。研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于固定相對(duì)強(qiáng)度的超晶格勢(shì)場(chǎng)，孤子的穩(wěn)定范圍隨著飽和程度的增大而變寬，當(dāng)飽和程度較低時(shí)，孤子在高功率區(qū)域不穩(wěn)定；當(dāng)飽和程度較高時(shí)，孤子功率隨傳播常數(shù)增長(zhǎng)很快，但孤子是穩(wěn)定的。另外，對(duì)于給定的低飽和程度，超晶格中低頻格子的相對(duì)強(qiáng)度越大，孤子的穩(wěn)定范圍越寬。綜上，增大非線性的飽和程度以及超晶格中低頻格子的相對(duì)強(qiáng)度有利于孤子的穩(wěn)定。

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PROPERTIES OF GAP SOLITONS IN SUPERLATTICES WITH SATURABLE NONLINEARITY

*LI Lei, HU Zuo-fu, CHEN Wen-jie, CHEN Yan-zhang, ZHONG Chao

（School of Mathematics and Physics, Jinggangshan University, Ji’an, Jiangxi 343009, China）

The fundamental solitons in the semi-infinite gap of superlattices under focusing saturable nonlinearity are solved by the spectral renormalization method. The effects of saturation degree and relative strength of superlattice potential on the power and stability of solitons are studied. The results show that for a fixed relative strength of superlattice potential, when the saturation degree is low, the solitons are unstable in the high-power region, and the stable range of the solitons becomes wider with the increase of the saturation degree. When the saturation degree is high, the soliton power grows dramatically with propagation constant, but the solitons are stable. Besides, for a given low saturation degree, the stable range of the solitons widens with an increase in the relative strength of low-frequency lattice in the superlattice.

gap soliton; superlattice; saturable nonlinearity; spectral renormalization

O437.5

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2022.06.001

1674-8085（2022）06-0001-06

2022-03-20；

2022-04-12

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11764022)；江西省教育廳科技計(jì)劃項(xiàng)目(GJJ180588)

*黎 磊(1988-)，男，江西吉安人，講師，博士，主要從事空間光孤子研究(Email:fanrenlilei@126.com).