覃利華

混合保費(fèi)收取下帶有擾動(dòng)雙復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程的雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型

覃利華

（廣西民族師范學(xué)院數(shù)理與電子信息工程學(xué)院，廣西，崇左 532200）

考慮混合保費(fèi)收取下有擾動(dòng)的雙復(fù)合 Poisson-Geometric 過(guò)程的雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型，對(duì)模型的性質(zhì)進(jìn)行討論，證明盈利過(guò)程具有平穩(wěn)獨(dú)立增量和數(shù)字特征。運(yùn)用概率和隨機(jī)過(guò)程基本理論推導(dǎo)調(diào)節(jié)系數(shù)滿(mǎn)足的方程，并得到破產(chǎn)概率的一般表達(dá)式和Lundberg不等式。當(dāng)保費(fèi)、理賠過(guò)程服從特定指數(shù)分布時(shí)，得到破產(chǎn)概率的具體表達(dá)式。

復(fù)合Poisson -Geometric過(guò)程；破產(chǎn)概率；Lundberg不等式；混合保費(fèi)

0 引言

在經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中，理賠過(guò)程為單一險(xiǎn)種的風(fēng)險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)過(guò)程，也就是允許在充分小的時(shí)間內(nèi)發(fā)生一次事故，并對(duì)同一險(xiǎn)種進(jìn)行多次賠付。但隨著保險(xiǎn)公司經(jīng)營(yíng)規(guī)模的不斷擴(kuò)大以及新險(xiǎn)種的不斷開(kāi)發(fā)，用單一險(xiǎn)種的風(fēng)險(xiǎn)模型來(lái)描述風(fēng)險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)過(guò)程是有一定局限性的，根據(jù)這一要求，我們對(duì)復(fù)合 Poisson 模型進(jìn)行推廣，將單一險(xiǎn)種推廣為兩險(xiǎn)種，即考慮在充分小的時(shí)間內(nèi)至多發(fā)生一次事故，并涉及到對(duì)兩險(xiǎn)種進(jìn)行多次賠付的情況。此外，研究者們總是假設(shè)保險(xiǎn)公司在單位時(shí)間內(nèi)收到的保費(fèi)是某一固定常數(shù)，但是在實(shí)際保險(xiǎn)公司的業(yè)務(wù)中，可能跟一些投保人簽訂協(xié)議，在每個(gè)單位時(shí)間內(nèi)投保人都會(huì)定期交固定的保費(fèi)，但除此之外保險(xiǎn)公司在單位時(shí)間內(nèi)還會(huì)收到不同保費(fèi)的保單，這是服從某一分布的隨機(jī)變量。文獻(xiàn)[1]將保費(fèi)推廣為服從某一離散分布的隨機(jī)變量，建立隨機(jī)保費(fèi)的風(fēng)險(xiǎn)模型；文獻(xiàn)[2-3]將雙Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型推廣為帶干擾保費(fèi)混合收取的風(fēng)險(xiǎn)模型，并利用鞅的方法討論了這種風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)問(wèn)題。

在經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中，假設(shè)索賠過(guò)程是期望與方差相等的 Poisson過(guò)程，但保險(xiǎn)公司往往會(huì)設(shè)置有免賠制度，即并不是任何索賠的發(fā)生保險(xiǎn)公司都會(huì)賠付。因此，在這種情況考慮下的復(fù)合Poisson 風(fēng)險(xiǎn)模型就不符合實(shí)際情況。為了改進(jìn)和優(yōu)化該模型，文獻(xiàn)[4]考慮索賠為Poisson-

本研究考慮到隨機(jī)干擾因素的影響，建立混合保費(fèi)收取下帶有隨機(jī)干擾因素混合保費(fèi)收取下復(fù)合Poisson-Geometric雙風(fēng)險(xiǎn)模型，該模型在固定保費(fèi)收取的情況上，考慮保費(fèi)的隨機(jī)化和險(xiǎn)種的多元化，并且隨機(jī)保費(fèi)到達(dá)過(guò)程服從復(fù)合Poisson過(guò)程，理賠過(guò)程服從復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程。

1 模型的建立及介紹

盈利過(guò)程為

為了保證保險(xiǎn)公司的正常運(yùn)行，須保證收入總和大于支出總和，即

在此定義相對(duì)安全負(fù)荷系數(shù)為

2 相關(guān)引理

1）具有平穩(wěn)獨(dú)立增量；

證明：

其中

分別表示個(gè)體保單額、第一類(lèi)理賠額、第二類(lèi)理賠額的矩母函數(shù)，令

又因?yàn)?/p>

3 破產(chǎn)概率

定理1 風(fēng)險(xiǎn)模型（1）的最終破產(chǎn)概率滿(mǎn)足Lundberg不等式：

定理2 風(fēng)險(xiǎn)模型（1）的最終破產(chǎn)概率為

其中R為調(diào)節(jié)系數(shù)。

由控制收斂定理知

系數(shù)R的調(diào)節(jié)方程為

的正解。

由此得到破產(chǎn)時(shí)財(cái)政赤字量的分布函數(shù)為

其概率密度函數(shù)為

4 結(jié)語(yǔ)

本研究考慮到保險(xiǎn)公司經(jīng)營(yíng)過(guò)程中會(huì)受到不確定隨機(jī)干擾因素的影響和保費(fèi)的隨機(jī)化、險(xiǎn)種的多元化，建立混合保費(fèi)收取下帶有隨機(jī)干擾因素混合保費(fèi)收取下復(fù)合Poisson-Geometric雙風(fēng)險(xiǎn)模型，隨機(jī)保費(fèi)到達(dá)過(guò)程服從復(fù)合Poisson過(guò)程，理賠過(guò)程服從復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程。證明該模型盈利過(guò)程具有平穩(wěn)獨(dú)立增量數(shù)字特征。運(yùn)用概率和隨機(jī)過(guò)程基本理論推導(dǎo)調(diào)節(jié)系數(shù)滿(mǎn)足的方程，并得到破產(chǎn)概率的一般表達(dá)式和Lundberg不等式。當(dāng)保費(fèi)、理賠過(guò)程服從特定指數(shù)分布時(shí)，得到破產(chǎn)概率的具體表達(dá)式。

[1] 畢秀春,張曙光.相依隨機(jī)保費(fèi)風(fēng)險(xiǎn)模型的有限時(shí)間破產(chǎn)概率[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2019,42(3):345-355.

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THE PERTURBED DOUBLE-TYPE RISK MODEL UNDER MIXED PREMIUM INCOME OF DOUBLE POISSON-GEOMETRIC PROCESS

QIN Li-hua

（School of Mathematics, Physics and Electronic Information Engineering, Guangxi Normal University for Nationlities, Chongzuo, Guangxi 532200, China）

The perturbed double-type risk model under mixed premium income of double poisson-geometric process is taken into the consideration, and the properties of the model are discussed, the smooth independent increment and digital characteristics of the profit process are proved. By applying the basic theory of probability and random process, the equation satisfied with the adjustment coefficient, Lundberg inequality and the general expression of ruin probability are obtained. When the premium and claim processes obey the exponential distribution, the specific expressions of ruin probability are obtained.

compoundpoisson-geometric process; ruin probability; the Lundberg inequality; ixed premium

O211.6

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2022.06.002

1674-8085（2022）06-0007-06

2022-02-22；

2022-04-07

廣西高校中青年教師科研基礎(chǔ)能力提升項(xiàng)目(2021KY0767）；廣西民族師范學(xué)院科研經(jīng)費(fèi)項(xiàng)目(2021YB054）

覃利華(1987-)，女，廣西來(lái)賓人，講師，碩士，主要從事隨機(jī)過(guò)程應(yīng)用研究(E-mail:631898027@qq.com).