劉伊宸潔

(上海市徐匯中學(xué)，上海，200030)

求含有根式的函數(shù)式值域的方法比較多，部分學(xué)生因數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)薄弱、概念混亂、套用錯(cuò)誤的解題模板而不得其解.首先要先確定函數(shù)的定義域，觀察函數(shù)式具有的性質(zhì)，再合理變形，將其平方或者換元，數(shù)形結(jié)合，最終使問題被順利解決.接下來本文將結(jié)合具體實(shí)例，分析求含有根式的函數(shù)值域的不同方法.

1 低起點(diǎn)

高三復(fù)習(xí)課必須做到低起點(diǎn).先解決簡(jiǎn)單問題，再解決復(fù)雜問題.基于人才培養(yǎng)教育新的理念要求，有關(guān)于高中數(shù)學(xué)的教學(xué)應(yīng)該更加側(cè)重于數(shù)學(xué)能力的啟蒙與培養(yǎng)，例題的設(shè)計(jì)需要讓學(xué)生弄清楚各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，使知識(shí)前后融合，縱橫貫通，學(xué)生自然就能做到舉一反三、觸類旁通.

分析1：碰到根式類的函數(shù)，第一步應(yīng)當(dāng)考慮其定義域，其次觀察函數(shù)的一般性質(zhì)，例如奇偶性、單調(diào)性等.

分析2：若含根式的函數(shù)式?jīng)]有單調(diào)性，也可以嘗試兩邊平方，去掉部分根號(hào)，將問題轉(zhuǎn)化.

分析3：對(duì)于數(shù)學(xué)表達(dá)式的綜合運(yùn)算，若能整體換元，便能使陌生的數(shù)學(xué)式變得熟悉，抽象的數(shù)學(xué)式變得具體,從而使復(fù)雜的運(yùn)算簡(jiǎn)單化.本題含有兩個(gè)根式，這里我們可以嘗試雙換元，觀察根式背后的幾何意義，數(shù)形結(jié)合，從而求得函數(shù)的值域.

評(píng)析：例1較為簡(jiǎn)單，大部分學(xué)生都能解出來.由淺入深，揭開解法背后的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，能幫助學(xué)生理解解法的數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)揮簡(jiǎn)單問題在解題教學(xué)中的示范性和啟發(fā)性.相較來說，單調(diào)性法最為簡(jiǎn)單.所以做題時(shí)，要最先考慮含根式函數(shù)式的定義域、函數(shù)性質(zhì)，若無(wú)單調(diào)性，則可以選擇平方，當(dāng)然也可以考慮運(yùn)用三角代換法、雙換元法、數(shù)形結(jié)合等方法.

2 漸推進(jìn)

解題技能的形成是一個(gè)階梯式發(fā)展的過程，需要經(jīng)歷模仿和實(shí)踐兩個(gè)階段.前面通過例1的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)含根式函數(shù)式的值域問題的求解有了一個(gè)基本的認(rèn)知，模仿的解題意識(shí)已經(jīng)初步形成，此時(shí)教學(xué)中教師可以通過變式訓(xùn)練的方式，強(qiáng)化和鞏固解題技能.在解題技能形成的初級(jí)階段，“形變而神不變”的變式題是最適合的，使學(xué)生能夠“跳一跳夠得著”.

評(píng)析：變式1和變式2的安排完全符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，如果學(xué)生能夠通過觀察發(fā)現(xiàn)變式與例1之間的共性特征，得到和例1相對(duì)應(yīng)的解法也就十分自然了.知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)蘊(yùn)含在例題之中，教師應(yīng)注重學(xué)生思維的啟發(fā)、方法的歸納與小結(jié)，注重學(xué)生能力的提升.內(nèi)容的逐步加深以及綜合性的加強(qiáng)體現(xiàn)了漸推進(jìn).

3 找聯(lián)系

數(shù)學(xué)解題素養(yǎng)集理解力、邏輯能力、洞察力于一體，通過觀察可知，并不是所有的根式類的函數(shù)都會(huì)具有單調(diào)性，平方的做法也略顯復(fù)雜，下面具體討論一下雙換元的妙處.

或者，也可以利用三角換元去做：

4 重遷移

遷移能力，其實(shí)質(zhì)就是將所學(xué)到的知識(shí)和方法應(yīng)用到新情境中所表現(xiàn)出來的一種素養(yǎng)和能力.大多數(shù)學(xué)生在面對(duì)新情境問題時(shí)，通常無(wú)法將所學(xué)的知識(shí)與方法建立聯(lián)系，這就是典型的遷移能力薄弱的表現(xiàn).提升學(xué)生的遷移能力，是課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié)和核心任務(wù).

關(guān)于含有根式的函數(shù)式求值域的問題，值得研究的地方還有很多.量變才能引發(fā)質(zhì)變.“教是為了不教”，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)解題的示范教學(xué)，清晰展示解題要領(lǐng)，教師要讓學(xué)生在觀察模仿的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷充分的體驗(yàn)，切實(shí)幫助學(xué)生提升解題素養(yǎng)，讓學(xué)生不要害怕數(shù)學(xué)，從而喜歡上數(shù)學(xué).