趙紅琴

(江蘇省南通市紫瑯湖實驗學(xué)校，江蘇南通，226000)

1 從一節(jié)“精致”的勾股定理新授課說起

最近參加某校公開課教學(xué)觀摩活動，開設(shè)了一節(jié)勾股定理新授課，執(zhí)教老師教齡超過20年，是地級市骨干教師，從教學(xué)內(nèi)容、課件制作等能看出為了準(zhǔn)備這節(jié)勾股定理的新授課，他們付出了大量的前期備課、磨課的精力．課后有些評課老師大為贊賞，并認(rèn)為這是一節(jié)“精致”的示范課.然而，這樣一節(jié)“精致”的勾股定理教學(xué)更像是一場專家講座，并沒有能達(dá)到“帶領(lǐng)學(xué)生探索未知領(lǐng)域”[1]的勾股定理教學(xué)．本文結(jié)合一些具體的“精致”教學(xué)片斷，并給出嘗試解讀．

“精致”教學(xué)片斷1：(開課情境)

教師選用的是人教版教材上那則“美麗的傳說”，畢達(dá)哥拉斯到朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家地磚圖案中反映了直角三角形的三邊關(guān)系，教師以旁邊講故事的方式，使用PPT漸次出示圖1、圖2、圖3．

圖1

圖2

圖3

通過課堂觀察發(fā)現(xiàn)，學(xué)生聽得也很認(rèn)真和專注，教師“講故事”的表演能力也很強(qiáng)，讓學(xué)生有“情境代入感”.適時與學(xué)生互動圖2、圖3中的幾個正方形的面積關(guān)系，學(xué)生積極參與互動、計算，并確認(rèn)它們之間的數(shù)量關(guān)系，教師在黑板上列表梳理了三個正方形的面積，對應(yīng)著的直角三角形三邊的平方關(guān)系．進(jìn)而“順利”發(fā)現(xiàn)了直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．

簡評：教師通過講故事的方式切入，看似引發(fā)學(xué)生興趣，而且很“順利”地就引出了勾股定理，然而這種“入迷和興趣”并不是勾股定理的真正數(shù)學(xué)味道，而是學(xué)生對傳說和故事的興趣，與勾股定理的本質(zhì)關(guān)系不大.看似“順利”地引出勾股定理，實質(zhì)是過強(qiáng)的“教學(xué)干預(yù)”，學(xué)生雖然有參與計算面積、發(fā)現(xiàn)面積之間的數(shù)量關(guān)系，但是相對于勾股定理是如何發(fā)現(xiàn)的，這些計算或發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系只是思維層次很低的課堂參與．即使學(xué)生感覺是自己參與發(fā)現(xiàn)了勾股定理，但是這種發(fā)現(xiàn)的興趣和成就感并不大，因為這是教師設(shè)置好的精致路徑，對于中等及以上學(xué)生并沒有形成“很大的挑戰(zhàn)”．

“精致”教學(xué)片斷2：(勾股定理的證明)

教師在提出“一般化”思考：是否所有直角三角形的兩條直角邊的平方和都等于斜邊平方呢？還沒有等學(xué)生思考，就急切的給出PPT上“趙爽弦圖”，并繼續(xù)講解我國古代“數(shù)學(xué)史話”，講授趙爽弦圖的智慧與原理，期間偶爾與學(xué)生有對話、互動，也只是停留在學(xué)生低層次的運(yùn)算和驗證面積關(guān)系上.然后證明勾股定理之后，再講解“為什么在中國叫勾股定理”的數(shù)學(xué)史話，學(xué)生也聽得很有民族自豪感．隨后，教師連續(xù)給出4種不同的勾股定理拼圖證明，并讓學(xué)生參與這些拼圖證法的解讀，最后鏈接出“美國總統(tǒng)加菲爾德證法”，還鼓勵學(xué)生連美國總統(tǒng)都對數(shù)學(xué)有興趣，同學(xué)們可要好好學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)之類的即興評語．

簡評：勾股定理的證明關(guān)鍵在于拼圖的智慧，在于如何想到這些不同的拼圖方式，而拼圖之后的計算和驗證的思維層次要低很多，人們常常說的“無字的證明”也是這樣的道理.即當(dāng)拼圖成功之后，不需給出具體的計算或驗證，實質(zhì)上也就完成了證明．筆者以為，勾股定理的拼圖證明(或者說這些輔助線的添加)是難點，也許學(xué)情所限，如果不加干預(yù)、全部放手學(xué)生探究，一節(jié)課可能毫無進(jìn)展，但是并不能認(rèn)為證明思路太難想到，就全盤托出，只讓學(xué)生像聽學(xué)術(shù)報告、觀看數(shù)學(xué)史話的紀(jì)錄片那樣，也是不太合適的．

2 對勾股定理新授課的教學(xué)思考

2.1 引出勾股定理的教學(xué)情境值得再研究

目前人教版、蘇科版教材關(guān)于勾股定理的引入情境，都采取了“網(wǎng)格背景”，人教版以一段2500年前的傳說引出地磚圖案(本質(zhì)上是網(wǎng)格背景)，蘇科版直截了當(dāng)給出的是網(wǎng)格中研究面積關(guān)系，從而幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊的平方關(guān)系．這樣做當(dāng)然有一定的合理性，因為有了網(wǎng)格背景，學(xué)生口算、心算面積更快，減少了拼圖發(fā)現(xiàn)與證明的難度．但是當(dāng)去除網(wǎng)格背景之后，學(xué)生就難想到如何拼圖證明，之間“斷開距離”還是很大，使得教師又不得不再次給出趙爽弦圖，讓學(xué)生直接讀圖理解證明．

筆者也曾開展過教學(xué)實踐，學(xué)生拼圖得出等腰直角三角形三邊之比用時不超過5分鐘，但是拼圖研究含30°角的直角三角形三邊之比，至少要10分鐘才能有優(yōu)秀學(xué)生獲得成功．這時還要安排這些率先拼圖成功的學(xué)生上臺講解、展示，這個教學(xué)環(huán)節(jié)至少需要15分鐘．一旦這個教學(xué)難點得到成功突破，教師再組織后續(xù)勾股定理的發(fā)現(xiàn)、證明就有了很好的鋪墊．比如，將直角三角形的兩條直角邊特殊化為3，4，如何用拼圖方式求出斜邊等于5，就可很快完成，并鏈接著講解“趙爽弦圖”的數(shù)學(xué)史話，隨后直接將三邊換成a，b，c，利用面積法得出它們之間的平方關(guān)系，從而得出勾股定理．

2.2 講解勾股定理的數(shù)學(xué)史話要注意適度

不少數(shù)學(xué)教師在勾股定理新授課教學(xué)時，為了讓學(xué)生理解勾股定理的博大精深，都會結(jié)合PPT選講一些數(shù)學(xué)史話、故事傳說．勾股定理的教學(xué)確實是適合將數(shù)學(xué)史融入新授教學(xué)的，但是要注意適度推介數(shù)學(xué)史話，且最好選取一些來源可靠的數(shù)學(xué)史料進(jìn)行講解，不要太多的“網(wǎng)傳”“傳說”來增加勾股定理“神秘”的色彩．特別是，為了弘揚(yáng)和傳播我國傳統(tǒng)文化以及古代中國在勾股定理上的貢獻(xiàn)，新授課期間可以適當(dāng)介紹中國古代數(shù)學(xué)家們利用拼圖證明勾股定理的實踐與原理，至于西方如畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對勾股定理的探究與貢獻(xiàn)，也可以課堂小結(jié)階段進(jìn)行提及，至于所謂“總統(tǒng)證法”，并不值得大說特說，因為加菲爾德的拼圖實際上只是畢達(dá)哥拉斯拼圖“截去一半”的圖形．更多與勾股定理有關(guān)的數(shù)學(xué)史話可以推薦學(xué)生課后拓展閱讀．

2.3 勾股定理新授課重點不在習(xí)題及變式

由于勾股定理的引入、證明都需要較多的教學(xué)用時，所以在勾股定理的新授第1課時往往沒有太多時間用來開展例題、習(xí)題的教學(xué)．我們見到的有些勾股定理新授課只用了一半時間就完成新知教學(xué)，然后還有一半的時間進(jìn)行大量勾股定理應(yīng)用的練習(xí)，多是壓縮了新知探究、發(fā)現(xiàn)、證明的教學(xué)用時，是不太合適的．勾股定理的習(xí)題很多，變式也很豐富[2]，生活實際問題也不少，這些都可以安排后續(xù)2個習(xí)題課進(jìn)行講評，而不是在第1課時就“匆忙”解題運(yùn)用．順便指出，勾股定理的習(xí)題繁多，習(xí)題講評訓(xùn)練時宜歸類呈現(xiàn)，而不宜雜亂無章．以邊長為“3，4，5”的直角三角形為例，訓(xùn)練這個基本圖形時，要盡可能多的練習(xí)“相關(guān)設(shè)問”，比如該直角三角形斜邊上高將斜邊分成的兩條線段的長，該直角三角形三條中線、三條角平分線的長等都可以安排學(xué)生求解．

要看一個數(shù)學(xué)教師的基本功，就讓他教勾股定理．[3]想來，確實很有道理，勾股定理關(guān)聯(lián)很多數(shù)學(xué)分支，又富有數(shù)學(xué)史話，證明方法也很多，教學(xué)時如果缺乏明確的主線意識，常常容易“教偏主題”，容易成為過度“精致”的專家講座課．