林自強(qiáng)，蔣曉云

(1. 來(lái)賓市教育科學(xué)研究所，廣西來(lái)賓，546117 2. 桂林師范高等?？茖W(xué)校，廣西桂林，5411199)

1 引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》指出：數(shù)學(xué)教材為“教”與“學(xué)”活動(dòng)提供學(xué)習(xí)主題、基本線索和具體內(nèi)容，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)重要的教學(xué)資源.[1]教材應(yīng)有利于全面落實(shí)立德樹(shù)人的基本要求，有利于教師創(chuàng)造性教學(xué)，有利于學(xué)生自主性學(xué)習(xí).

習(xí)題是教材的重要組成部分，要提高習(xí)題的有效性，科學(xué)、準(zhǔn)確地把握習(xí)題的容量、難度，防止“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)開(kāi)發(fā)一些具有應(yīng)用性、開(kāi)放性、探究性的問(wèn)題，解決這樣的問(wèn)題有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)提升.[1]因此，在使用教材時(shí)，教師應(yīng)格外關(guān)注怎樣使用教材以及使用的效果如何，而不是照本宣科，這就要求教師深度解讀教材，整體設(shè)計(jì)習(xí)題、例題等課程資源，有意識(shí)滲透高等數(shù)學(xué)的思想方法，助力學(xué)生將問(wèn)題化難為易.

德國(guó)數(shù)學(xué)家菲利克斯·克萊因倡導(dǎo)“高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)”意識(shí)，主張?jiān)诂F(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)的指導(dǎo)下研究“高數(shù)”與“中數(shù)”之間的關(guān)系.高等數(shù)學(xué)的思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué)相通，甚至有一些已遷移到中學(xué)數(shù)學(xué)中，例如新人教A版教材必修第一冊(cè)第256頁(yè)第26題介紹了泰勒公式.

“26.英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：

其中n!=1×2×3×4×…×n.

2 泰勒展公式在教學(xué)中的滲透與解題指導(dǎo)

2.1 課堂教學(xué)內(nèi)容——介紹泰勒公式及其特殊形式

定理1若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0存在直至n階導(dǎo)數(shù)，則有f(x)=Tn(x)+ο((x-x0)n)，即

ο((x-x0)n).[3]

(1)

用得較多的是泰勒公式(1)在x0=0時(shí)的特殊形式[3]：

(2)

把(2)式稱為(帶有佩亞諾余項(xiàng)的)麥克勞林公式.在實(shí)際的教學(xué)中，我們要充分利用教材的資源，可以對(duì)該內(nèi)容作適當(dāng)拓展.例如，教師可以將泰勒公式在x0=0時(shí)的特殊形式交給學(xué)生.

當(dāng)x0=0時(shí)，函數(shù)f(x)在x0=0有以下麥克勞林公式[3]：

2.2 利用泰勒公式——證明不等式及放縮形成結(jié)論

以新人教A版選擇性必修第二冊(cè)教材P89～P99中出現(xiàn)的四個(gè)不等式證明為例.

2.證明不等式：x-1≥lnx，x∈(0，+∞).[4]

3.證明不等式：ex>1+x，x≠0.[4]

4.證明不等式：lnx0.[4]

教學(xué)提示：由x-1≥lnx，x∈(0，+∞)?x>lnx，ex>1+x?ex>x，所以lnx0.

引入高觀點(diǎn)指導(dǎo)的教與學(xué)，使相對(duì)繁雜的證明過(guò)程變得更直觀明了，有利于學(xué)生嫻熟運(yùn)用于實(shí)際解題與變形放縮，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng).在教學(xué)中，教師還可以由上述的四個(gè)不等式推出與其具有“血緣關(guān)系”的七個(gè)不等式：

② ln(1+x)

注意到①～④的x取值范圍均是在(0，1)，事實(shí)上，①可以推廣為：

⑤ 1+x≤ex(x∈R)；

在實(shí)際教學(xué)中，教師可以通過(guò)泰勒公式以及上述推導(dǎo)過(guò)程給學(xué)生作方向指引，引導(dǎo)學(xué)生將其整理、歸納形成結(jié)論：

(1) 放縮成一次函數(shù)：ex≥x+1，ex>x，ex≥ex.

教師在教學(xué)中可作提示，但凡含有指數(shù)函數(shù)“ex”或自然對(duì)數(shù)“l(fā)nx”的不等式，大多數(shù)都與教材上不等式(1)～(4)有著密不可分的關(guān)聯(lián).縱觀近年的各地高考中的一些壓軸題，頻頻出現(xiàn)含有“ex、lnx”這兩個(gè)特殊符號(hào)的不等式，令許多考生望而卻步.其實(shí)，這些壓軸題中的不等式，很多都可由⑤～⑦式“繁殖”出來(lái)的“蘑菇群”，在日常的教與學(xué)中研究透教材不等式1～4及推論①～⑦式，往往會(huì)成為破解這類高難度壓軸題的突破口.

2.3 真題解題實(shí)踐——示范泰勒公式指導(dǎo)具體解題

基于問(wèn)題情境，快速聯(lián)系到相關(guān)的高觀點(diǎn)思想方法，在熟練的基礎(chǔ)上便可以快速找到解題的突破點(diǎn)，問(wèn)題將迎刃而解，給考生帶來(lái)事半功倍之效.比如，例1～例4為范式，為教師的教提供“模型”，啟發(fā)教學(xué)滲透，起到拋磚引玉之用；為學(xué)生的訓(xùn)練大道至簡(jiǎn)，培養(yǎng)高階思維，解題思路水到渠成，達(dá)成一覽縱山小之感.

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

顯而易見(jiàn)c>b>a，故選A.

反思：若學(xué)生不用上述解題方法，很難解答此題，尤其是選擇題，在高考時(shí)間有限的情形下，學(xué)生用上面的做法解答能又準(zhǔn)又快.而對(duì)于水平不一的學(xué)生，我們平時(shí)的教學(xué)到底應(yīng)該教什么？教到什么程度？如何引導(dǎo)高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，才能更好促進(jìn)學(xué)生高階思維的培養(yǎng)？回觀課標(biāo)，以上問(wèn)題都得到很好的回答，在內(nèi)容上設(shè)置了必修、選擇性必修，還設(shè)置選修，讓我們深刻理解了“因材施教”的教學(xué)原則，但在這個(gè)過(guò)程中也需要教師們有意識(shí)的滲透高觀點(diǎn)的教學(xué).

例2(2013全國(guó)Ⅱ卷，理21)已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).

(Ⅰ) 設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并討論f(x)的單調(diào)性.

(Ⅱ) 求證：當(dāng)m≤2時(shí)，f(x)>0.

思路：第一問(wèn)是常規(guī)問(wèn)題，按照“求定義域→求導(dǎo)函數(shù)→求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)→列表→結(jié)合表格得出單調(diào)區(qū)間”基本步驟實(shí)施；第二問(wèn)中，首先觀察已知條件f(x)=ex-ln(x+m)的形式，使用泰勒公式在x0=0處的特殊形式，其次進(jìn)行變形、代換、放縮進(jìn)而證明.

解析：(Ⅰ) 略

(Ⅱ) 由于x-1≥lnx，x∈(0，+∞)，用x+2替換x-1≥lnx中的x得x+1≥ln(x+2)，

又m≤2，故ln(x+m)≤ln(x+2)，

又ex>1+x，x+1≥ln(x+2)，

所以ex>1+x≥ln(x+2)≥ln(x+m)，即ex>ln(x+m)，

進(jìn)而有ex-ln(x+m)>0，因f(x)=ex-ln(x+m)，

故當(dāng)m≤2時(shí)，f(x)>0.

反思：高考試題貫來(lái)重視知識(shí)覆蓋面，但還是有重、難點(diǎn).總復(fù)習(xí)中，如果把重、難點(diǎn)內(nèi)容放在靠后的位置復(fù)習(xí)，由于消化與體會(huì)時(shí)間短，那么學(xué)生很難深入領(lǐng)會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，所以在考試時(shí)就不容易做到融會(huì)貫通.建議在日常的教學(xué)中適當(dāng)引進(jìn)高觀點(diǎn)的教學(xué)，必定達(dá)到事半功倍的效果.

例3 (2017全國(guó)Ⅲ卷，理21)已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx.

(Ⅰ) 若f(x)≥0，求a的值；

思路：第一問(wèn)中，因?yàn)閒(x)=x-1-alnx(x>0)，又f(x)≥0，即x-1-alnx≥0，從形式上看是含有“l(fā)nx”的不等式，變形為x-1≥alnx(x>0)恒成立.對(duì)比“模型”x-1≥lnx，x∈(0，+∞)，初步獲悉a=1，考生就可鎖定目標(biāo)a只能為一個(gè)定值，在具體的求解過(guò)程中，對(duì)參數(shù)a的取值范圍進(jìn)行分類討論、驗(yàn)算，這具有一定的特殊性，因此要注意特殊點(diǎn)的函數(shù)值.第二問(wèn)充分利用泰勒公式的特殊情形以及其結(jié)論進(jìn)行求解即可.

(Ⅱ) 由泰勒公式得x-1≥lnx，x∈(0，+∞)，

所以lnx

反思：思維得到訓(xùn)練，將會(huì)形成較好的解題素養(yǎng)，能很好地發(fā)展學(xué)生的邏輯推理，對(duì)構(gòu)建解題思路也是比較敏捷的，學(xué)生平時(shí)做好相關(guān)高觀點(diǎn)的定理、公式的記憶，在遇到難題時(shí)，就能快速地知道本題的結(jié)果，然后利用逆向思維結(jié)合高中知識(shí)進(jìn)行求解，考生在解題時(shí)就胸有成竹了.

3 結(jié)束語(yǔ)

教學(xué)要基于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，使得所有學(xué)生都有所發(fā)展，盡量用好、用活課本或課堂中出現(xiàn)的優(yōu)質(zhì)素材資源，教師根據(jù)教學(xué)目的采取橫向或縱向的變式、深度挖掘、多設(shè)臺(tái)階、小坡度推進(jìn)，滲透高觀點(diǎn)的知識(shí)，以期在探究的過(guò)程中把學(xué)生思維逐步引向深入，達(dá)到“螺旋上升”的效果.至于最終落點(diǎn)高度，應(yīng)該以追求最大化的效益為原則，即以學(xué)生能夠切實(shí)達(dá)到的課標(biāo)要求內(nèi)的最高落點(diǎn)為佳.

高觀點(diǎn)的指導(dǎo)教學(xué)，要真正做到和學(xué)生的思維無(wú)縫對(duì)接，通過(guò)教師引導(dǎo)，師生共同探究，最終目的是使學(xué)生探究感悟數(shù)學(xué)的精髓，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生高階思維.學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得以提升了，考生嫻熟解答高考數(shù)學(xué)壓軸題必將是順理成章，那么對(duì)于拔尖學(xué)生的培養(yǎng)也就會(huì)功到自然成.