王 平，趙 敏

(上海理工大學 光電信息與計算機工程學院，上海 200093)

模型預測控制因其適用于處理約束和多變量問題而備受工業(yè)界青睞，是一種重要的控制技術(shù)[1-2]。文獻[3]針對多面體描述的線性時變系統(tǒng)和線性時不變系統(tǒng)，提出了基于顯式模型的魯棒約束預測控制算法。文獻[4]將這種思想應用于線性變參數(shù)系統(tǒng)，在假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)精確可測的前提下，采用了一種基于擬最小最大算法的狀態(tài)反饋預測控制方案。然而預測控制是基于模型的控制策略，精確的系統(tǒng)模型起著重要的作用，模型的不確定性在實際系統(tǒng)中是不可避免的，因此基于不確定模型魯棒控制器的設(shè)計已成為一個重要的研究方向[5]。

為解決這一問題，文獻[6～8]針對帶有輸入約束的LPV(Linear Parameter Variable)系統(tǒng)，采用了一種基于輸出反饋的MPC(Model Predictive Control)方法。該MPC方法在線設(shè)計魯棒狀態(tài)觀測器，基于狀態(tài)觀測器在線獲得系統(tǒng)每一時刻狀態(tài)的估計值，通過設(shè)計魯棒輸出反饋控制器得到最優(yōu)控制律，保證了受輸入約束系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性。文獻[9～12]采用一種基于擬最小最大算法的輸出反饋魯棒預測控制策略，基于線性矩陣不等式設(shè)計離線魯棒狀態(tài)觀測器，利用魯棒狀態(tài)觀測器觀測系統(tǒng)狀態(tài)，進而在線通過魯棒輸出反饋預測控制算法，得到最優(yōu)控制律。雖然該算法考慮了LPV系統(tǒng)的不確定因素，但是難以保證受擾動系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。因此，本文將給出一種新的輸出反饋預測控制方法來解決這一問題。

針對一類帶有有界狀態(tài)干擾的多胞描述LPV系統(tǒng)，本文以保證系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性為目標，提出一種魯棒預測控制改進方法，并設(shè)計了輸出反饋控制器。該控制器考慮了無擾動LPV模型，基于線性矩陣不等式求解最小最大魯棒輸出反饋控制律；隨后，獲得保證擾動LPV系統(tǒng)魯棒漸近穩(wěn)定的最優(yōu)偏移量，與無擾動系統(tǒng)反饋控制律組合得到最優(yōu)控制律，并施加于實際系統(tǒng)；最后，證明了擾動LPV系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。

1 問題描述

考慮以下不確定LPV系統(tǒng)

xc(k+1)=A(ρ(k))xc(k)+B(ρ(k))uc(k)+w(k)

yc(k)=C(ρ(k))xc(k)

(1)

式中，uc(k)∈Rnu、xc(k)∈Rnx、yc(k)∈Rny分別為系統(tǒng)的控制輸入、不可測狀態(tài)以及可測輸出；w(k)?W為有界干擾，且W?Rnx；A(ρ(k))、B(ρ(k))、C(ρ(k))屬于多面體矩陣集合

[A(ρ(k))|B(ρ(k))|C(ρ(k))]∈Ω

(2)

其中

Ω=Co{[A1|B1|C1]，[A2|B2|C2]，…，[Al|Bl|Cl]}

(3)

式中，Co為凸包；{[A1|B1|C1]，[A2|B2|C2]，…，[Al|Bl|Cl]}，j∈{1,2,…,l}為多面體Ω的頂點；l為多面體頂點的個數(shù)。

假設(shè)1ρ(k)在k時刻可測量，即[A(ρ(k))，B(ρ(k))，C(ρ(k))]在k時刻已知。

假設(shè)2(A(ρk))，B(ρ(k)))以及(C(ρ(k))，A(ρ(k)))，對于所有k≥0為完全可控可觀。

本文針對如式(1)所示的帶有有界狀態(tài)干擾的不確定LPV系統(tǒng)，設(shè)計輸出反饋魯棒預測控制器，得到最優(yōu)控制律，并施加于該系統(tǒng)，保證了擾動LPV系統(tǒng)的魯棒漸近穩(wěn)定性。

2 無擾動LPV系統(tǒng)控制器設(shè)計

考慮無擾動LPV系統(tǒng)模型如式(4)所示。

(4)

為求取控制律使如式(4)所示的系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，首先提出一種魯棒狀態(tài)觀測器的離線設(shè)計方法；進而構(gòu)造具有LMI(Linear Matrix Inequality)約束的在線優(yōu)化MPC問題；最后通過求解該優(yōu)化問題得到最小最大魯棒輸出反饋控制律。

2.1 離線狀態(tài)觀測器設(shè)計

由于如式(4)所示的系統(tǒng)狀態(tài)不可測，故采取如下所示的狀態(tài)觀測器[13]

x0(k+1)=A(ρ(k))x0(k)+B(ρ(k))u(k)+

Lpy(k)-C(ρ(k))x0(k))

(5)

式中，x0(k)、u(k)、y(k)分別為估計狀態(tài)、控制輸入以及可測輸出。為確定觀測器增益Lp，定義該系統(tǒng)的估計誤差e(k)=x(k)-x0(k)，則下一時刻

e(k+1)=(A(ρ(k))-LpC(ρ(k)))e(k)

(6)

定義一個二次函數(shù)

(7)

且滿足二次穩(wěn)定性條件

E(e(k+1))-μE(e(k))≤0

(8)

式中，μ(0<μ<1)是預先指定的衰減率，可保證當k→∞時，e(k)→0。將式(6)和(7)代入(8)中，且左右分別乘以對角矩陣{I，Pe}，令Ye=LpPe，可得

(9)

通過求解以下優(yōu)化問題可得Lp。

(10)

2.2 在線輸出反饋預測控制

為保證式(4)的漸近穩(wěn)定性，引入以下預測模型[14]

g(k+1+i|k)=A(ρ(k+i))g(k+i|k)+

B(ρ(k+i))u(k+i|k)

(11)

g(k+1|k)=x0(k+1)

式中，i≥1；g(k+i|k)，u(k+i|k)分別為式(4)在k時刻預測k+i時刻的系統(tǒng)狀態(tài)以及控制輸入。令g(k|k)=x0(k)，u(k)=u(k|k)，未來控制律描述為

u(k+i|k)=F(k)g(k+i|k)

(12)

式中，F(xiàn)(k)為k時刻確定的反饋增益。

針對式(4)在每個時刻求解如下最小最大優(yōu)化問題

(13)

式中

(14)

同時二次函數(shù)V(g(k+i|k))滿足以下約束條件[15]

(15)

由魯棒穩(wěn)定性可得g(∞|k)=0，即V(g(∞|k))=0，將式(15)左右兩端從i=1到∞分別相加可得

(16)

式中

V(g(k+1|k))=g(k+1|k)TP(k)g(k+1|k)

(17)

對系統(tǒng)性能附加約束

(18)

其中γ(k)是待最小化的非負變量。

基于式(15)、式(18)，可將所提出的最小最大優(yōu)化問題修改為

(19)

為保證式(19)的魯棒穩(wěn)定性，附加如下所示的穩(wěn)定性條件。

γ(k)<γ(k-1)

(20)

在滿足式(15)、(20)，式(18)的條件下，解決式(19)可得控制律u(k)及反饋增益F(k)，因此，設(shè)計上述魯棒控制器的問題可轉(zhuǎn)化為一個帶有LMI約束的優(yōu)化問題，如下定理所示。

(21)

s.t.式(4)、式(5)、式(13)

(22)

(23)

γ(k)-γ(k-1)<0

(24)

式中

(25)

若對于給定的x0(k)和y(k)存在u(k|k)、Y(k)、Q(k)，則反饋增益F(k)可由F(k)=Y(k)Q(k)-1計算得到。

證明將式(18)中P(k)替換為γ(k)Q(k)-1可得

1-Ψ(k)-T(k)TQ(k)-1T(k)>0

(26)

式中

(27)

通過應用Schur補定理，可得

(28)

式中

(29)

同理對式(28)應用Schur補定理，由此可得式(22)，因此式(18)可由式(22)保證。

令u(k+i|k)=F(k)g(k+i|k) (i≥1)，將式(12)代入式(15)，可得

ζ(k)-ξ(k+i)TP(k)ξ(k+i)>0

(30)

其中

(31)

式(30)兩邊分別乘以γ(k)P(k)-1，令P(k)=γ(k)Q(k)-1且應用Schur補定理可得到

(32)

式中

(33)

令Y(k)=F(k)Q(k)后應用Schur補定理可得

(34)

式中

R(k)=A(ρ(k+i))Q(k)+B(ρ(k+i))Y(k)

(35)

將不等式(34)映射于式(36)中

[A(ρ(k+i))|B(ρ(k+i))|C(ρ(k+i))]∈Ω

(36)

若存在Q(k)和Y(k)使式(34)成立，則可證得式(23)成立，因此式(15)可由式(23)保證，此時證畢。

定理2(遞歸可行性) 對于式(21)，若k時刻能確定一個遞歸可行解，則在所有t>k時刻，式(21)都是有解的。

證明若證明k時刻得到的優(yōu)化問題的解是k+1時刻的可行解。設(shè)

(37)

基于式(5)、式(11)、式(24)及式(37)，則式(22)和式(24)可被改寫為

(38)

式中

(39)

由于式(23)在k時刻被滿足，所以式(38)成立，因此若能在k時刻確定一個可行解，則式(21)在k+1時刻可行；證畢。

定理3(漸近穩(wěn)定性) 式(21)的可行解保證系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，即當k→∞時，x(k)→0。

證明若式(21)對于所有步驟可行，基于式(15)的式(24)保證g(k+1|k)收斂到0，此外從狀態(tài)觀測器的設(shè)計中可保證當k→∞時，e(k)→0，即估計狀態(tài)x0(k)收斂于式(4)真實狀態(tài)x(k)，因此式(21)的可行解保證系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，即k→∞時，x(k)→0，此時證畢。

綜上所述，本文針對無擾動系統(tǒng)模型提出的在線優(yōu)化MPC問題描述如下

(40)

通過求解式(40)可獲得基于輸出反饋的魯棒預測控制律u(k+i|k)，保證無擾動LPV系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，下面則考慮在有界狀態(tài)干擾的情況下，如何求取最優(yōu)控制律。

3 擾動LPV系統(tǒng)最優(yōu)控制律

考慮擾動LPV系統(tǒng)，由于式(1)狀態(tài)xc(k)不可測，采取如下所示的狀態(tài)觀測器

xc0k+1)=Aρk))xc0k)+Bρk))uk)+

Lpyk)-Cρk))xc0k))

(41)

uck)=uk)+Kxc0k)-x0k))

(42)

由式(42)可得，xc0(k)與x0(k)的差值可分別基于式(41)、式(5)得到，u(k)可通過求解式(40)得到，而反饋增益K未確定，故下面通過狀態(tài)反饋確定反饋增益K，根據(jù)式(5)、式(41)定義z(k)=xc0(k)-x0(k)為控制誤差，則下一時刻控制誤差

(43)

式中，ec(k)、e(k)分別為式(1)、式(4)的估計誤差，基于上述離線狀態(tài)觀測器的設(shè)計可得，當k→∞時，ec(k) →0，e(k) →0。因此為使式(43)穩(wěn)定，(A(ρ(k))+B(ρ(k))K)一定趨于0，根據(jù)式(43)可得[16]

(44)

定義二次函數(shù)

(45)

并滿足以下二次穩(wěn)定性條件

(46)

其中，α(0<α<1)是預先指定的衰減率，將式(44)、式(45)代入式(46)中可得

(47)

將式(47)左右分別乘以{I，Pz}，并令Yz=LpPz，有

(48)

故求取下列優(yōu)化問題即可確定反饋增益K。

(49)

最后根據(jù)式(42)可得最優(yōu)控制律uc(k)。

定理4最優(yōu)控制律uc(k)施加于擾動LPV式(1)中，保證了擾動LPV系統(tǒng)的魯棒漸近穩(wěn)定性。

證明狀態(tài)反饋增益K可保證當k→∞時，(A(ρ(k))+B(ρ(k))K)→0，且當k→∞時，ec(k)→0，e(k)→0，因此由式(43)可得，當k→∞時，控制誤差z(k)趨于0，所以xc0(k)最終會收斂到x0(k)。無擾動控制律的設(shè)計保證式(4)的漸近穩(wěn)定性，即當k→∞時，x0(k) →0，因此當k→∞時，xc0(k) →0；又因為當k→∞時，ec(k) →0，所以式(1)的估計狀態(tài)xc0(k)將會收斂到式(1)的實際狀態(tài)xc(k)，即當k→∞時，xc(k)→0；由此可得將最優(yōu)控制律uc(k)施加于式(1)中，保證式(1)的魯棒漸近穩(wěn)定性；證畢。

當系統(tǒng)的初始狀態(tài)在某一輸入的驅(qū)動下，系統(tǒng)從這一初始狀態(tài)運動到末態(tài)，若存在擾動使系統(tǒng)的初始狀態(tài)在某一范圍內(nèi)發(fā)生偏移，但系統(tǒng)的終態(tài)仍能回到給定的末態(tài)范圍內(nèi)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，這就是普通意義上的穩(wěn)定性。而漸近穩(wěn)定性是穩(wěn)定性的一種，它要求當時間趨于無窮時，當系統(tǒng)的初始狀態(tài)在某一范圍內(nèi)，系統(tǒng)的終態(tài)會回到零點?？梢姖u近穩(wěn)定比穩(wěn)定對系統(tǒng)的要求嚴格，前者只需系統(tǒng)末態(tài)所在的范圍是零點周圍的一個區(qū)域，而后者要求系統(tǒng)末態(tài)趨近的這一點必須是零點，這就是漸近穩(wěn)定性與穩(wěn)定性的區(qū)別。通過上述定理4的證明，說明本文所提出的方法控制性能較好，能夠保證擾動LPV系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。算法具體步驟如下文所述。

離線階段步驟：

步驟1計算Lp、K；選擇合適的L和R；

步驟2選擇合適的衰減律μ(0<μ<1)、α(0<α<1)使得式(10)、式(49)可行。

在線階段(k≥0)步驟：

步驟1在k= 0時刻，分別選定式(4)、式(5)的初始狀態(tài)x(0)、x0(0)；

步驟2在k≥0時刻，根據(jù)式(5)得到x0(k)，根據(jù)式(41)得到xc0(k)，并計算xc0(k)-x0(k)；

步驟3基于式(5)在線求解式(40)獲得控制輸入u(k)以及反饋增益F(k)；

步驟4計算uc(k)=u(k)+K(xc0(k)-x0(k))，并將uc(k)施加于實際系統(tǒng)中；

步驟5重復在線階段的步驟2，直至xc0(k)=0，結(jié)束。

4 數(shù)值例子

通過下面的數(shù)值算例證明該方法的有效性，首先給出如下所示的LPV系統(tǒng)

(50)

引用模型系數(shù)[17]

(51)

給式(50)加入有界擾動w(k)∈W

W={w∈R2||w|∞≤0.01}

根據(jù)反饋增益K、式(5)以及式(41)每一時刻所估計的狀態(tài)值可得到每一時刻的擾動LPV系統(tǒng)控制輸入的偏移量，隨后在線求解式(40)得到無擾動系統(tǒng)控制輸入u(k)，最后將無擾動控制律組合最優(yōu)偏移量得到式(50)的最優(yōu)控制律u*(k)。下面將對文獻[10]中的方法與本文中的方法做對比分析。

由圖1可以看出，文獻[10]所提出的方法能夠保證擾動LPV系統(tǒng)的末態(tài)進入零點周圍的一個區(qū)域，但是難以保證擾動LPV系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性；而本文所提出的方法可使得擾動LPV系統(tǒng)狀態(tài)更快地進入穩(wěn)態(tài)，并且能夠保證擾動LPV系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，因此本文所提出的方法要優(yōu)于文獻[10]。本文中，在MPC的設(shè)計中考慮到了有界狀態(tài)干擾所造成的偏移量，因此相比于未考慮擾動的MPC方法[18]，本文所提出的方法在實際生活中更加具有通用性。存在干擾的式(50)估計狀態(tài)與實際狀態(tài)的橫、縱坐標分別繪制在圖2、圖3中，估計狀態(tài)軌跡的坐標設(shè)定從[-0.8，-0.2]開始，實際狀態(tài)軌跡坐標設(shè)定從[-1，1.2]開始，圖2以估計狀態(tài)與實際狀態(tài)的橫坐標為y軸，以時間為x軸。

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)軌跡對比圖Figure 1. Comparison diagram of system state trajectories

圖2 估計狀態(tài)與實際狀態(tài)橫坐標軌跡Figure 2. Estimated and actual state abscissa trajectories

圖3以估計狀態(tài)與實際狀態(tài)的縱坐標為y軸，以時間為x軸。

圖3 估計狀態(tài)與實際狀態(tài)的縱坐標軌跡Figure 3. Estimated and actual state longitudinal trajectories

由圖2、圖3可以看出，式(50)估計狀態(tài)與實際狀態(tài)的坐標軌跡最終匯合并且收斂于0，所以表明本文所提出的狀態(tài)觀測器效果良好。系統(tǒng)的最優(yōu)控制律如圖4所示。

圖4 擾動LPV系統(tǒng)的最優(yōu)控制律Figure 4. Optimal control law for a perturbed LPV system

由圖4可以看出，本文所提出的方法具有遞歸可行性，每一時刻都可求得最優(yōu)控制律。該仿真針對二維系統(tǒng)，只有兩個變量，當變量個數(shù)增加后，系統(tǒng)維數(shù)增加，若采用本文方法，計算量會增大，因為相對應的矩陣維數(shù)會隨之增加，因此基于線性矩陣不等式的在線優(yōu)化問題的求解，離線狀態(tài)觀測器增益以及反饋增益K的確定都更加繁瑣。對于高維數(shù)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性而言，定理4同樣適用于高維數(shù)系統(tǒng)，因此當系統(tǒng)維數(shù)增高，本文所提出的方法同樣可保證系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。

5 結(jié)束語

本文針對一類帶有有界狀態(tài)干擾的多胞描述LPV系統(tǒng)，提出了一種改進魯棒預測控制方法，設(shè)計了可保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的輸出反饋控制器。該控制器考慮無擾動LPV系統(tǒng)模型，基于LMI約束求解輸出反饋控制律。為抵消有界狀態(tài)干擾，本文設(shè)計并求取擾動LPV系統(tǒng)控制輸入的最優(yōu)偏移量，基于無擾動系統(tǒng)模型求取的控制律組合最優(yōu)偏移量即可得到擾動LPV系統(tǒng)的最優(yōu)控制律，最后將最優(yōu)控制律施加到實際系統(tǒng)中，并通過仿真實驗驗證了算法的有效性。