唐 凱，章 偉，王為科，胡 陟

(上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，上海 201620)

近年來，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的協(xié)同控制問題，例如協(xié)同攻擊、防御以及分布式傳感器網(wǎng)絡(luò)等得到了廣泛的研究[1]。繼文獻(xiàn)[2]首次提出一致性的概念之后，一致性理論，例如抽樣數(shù)據(jù)一致性、有限時(shí)間一致性、時(shí)延一致性[3]等便受到了各研究領(lǐng)域?qū)W者的關(guān)注。但早期研究的關(guān)注熱點(diǎn)為同構(gòu)集群系統(tǒng)的一致性問題，即集群系統(tǒng)中的智能體有著相同的動(dòng)力學(xué)模型。但是，由于智能體的動(dòng)態(tài)特性或狀態(tài)空間維度很可能是不同的，因此研究異構(gòu)集群系統(tǒng)的一致性問題更具實(shí)際意義。為了解決帶有外部擾動(dòng)的異構(gòu)線性集群系統(tǒng)的一致性問題，文獻(xiàn)[4]提出了一種分布式PI控制協(xié)議。文獻(xiàn)[5]在切換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下，使用PI控制策略研究了線性異構(gòu)集群系統(tǒng)的一致性控制問題。但是，文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[5]中的通信拓?fù)涠际菬o向的。由于在有向圖中拉普拉斯矩陣是不對(duì)稱的，所以在有向拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下實(shí)現(xiàn)異構(gòu)集群系統(tǒng)的一致性問題較為困難。基于一致性理論的編隊(duì)控制的核心思想是：多智能體的狀態(tài)或其輸出狀態(tài)需要與多智能體系統(tǒng)的參考中心保持一定的編隊(duì)補(bǔ)償[6]。傳統(tǒng)的編隊(duì)控制主要有基于虛擬結(jié)構(gòu)的編隊(duì)控制策略[7]、基于有領(lǐng)導(dǎo)者的編隊(duì)控制策略[8]、基于行為的編隊(duì)控制策略[9]等。其中，基于有領(lǐng)導(dǎo)者的編隊(duì)控制方法逐漸成為了重點(diǎn)研究方向。引入領(lǐng)導(dǎo)者可以使跟隨者的拉普拉斯矩陣的子陣不具有零特征值[10]，這將有助于解決在有向圖下異構(gòu)集群系統(tǒng)的靜態(tài)一致性問題[11]。考慮到真實(shí)系統(tǒng)往往會(huì)受到外部未知擾動(dòng)的影響，因此研究系統(tǒng)的魯棒性問題具有實(shí)際意義[12]。對(duì)此，文獻(xiàn)[13]研究了具有外部擾動(dòng)的不確定二階非線性系統(tǒng)的分布式時(shí)變編隊(duì)控制問題；文獻(xiàn)[14]研究了含有未知參數(shù)的異構(gòu)非線性多智能體系統(tǒng)的編隊(duì)跟蹤控制問題。

基于以上研究，本文的創(chuàng)新之處主要有以下3個(gè)方面：(1)通過引入虛擬領(lǐng)導(dǎo)者來保證跟隨者跟蹤領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)，從而達(dá)到期望的空間位置；(2)在有向拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下設(shè)計(jì)了一種PI控制策略，研究了在跟隨過程中多智能體的編隊(duì)跟蹤控制問題；(3)考慮到實(shí)際情況中存在的外部未知有界擾動(dòng)問題，本文給出了系統(tǒng)形成期望編隊(duì)隊(duì)形的充分條件，并給出了編隊(duì)誤差的收斂范圍。

1 預(yù)備知識(shí)和問題描述

1.1 圖論知識(shí)

引理1[15]對(duì)于任意非零矩陣P∈RN×n、對(duì)稱半正定矩陣M∈Rn×n及對(duì)稱矩陣L∈RN×N，以下不等式成立。

(1)

引理2[16]在圖G0中，包含1簇有向生成樹的拉普拉斯矩陣L的特征值都在右半平面內(nèi)，且至少包含一個(gè)以1N作為它的右特征向量的零特征值。

引理3[17]對(duì)于任意向量p，q∈Rn，總存在具有合適維度的矩陣向量k∈RN×N，使得下式成立

±2pq≤pTkp+qTk-1q

(2)

引理4[18]對(duì)于非奇異矩陣M，存在一個(gè)對(duì)角正定矩陣H，使得HM+MTH是正定的。

(3)

1.2 問題描述

考慮1組由N個(gè)智能體構(gòu)成的異構(gòu)集群系統(tǒng)，第i個(gè)智能體的動(dòng)力學(xué)模型可以描述為

(4)

式中，xi∈Rn為第i個(gè)智能體的狀態(tài)；ui∈Rn為控制輸入；wi∈Rn表示第i個(gè)智能體受到的時(shí)變外部擾動(dòng)；Ai∈Rn×n為系統(tǒng)矩陣。

為得到預(yù)定的期望值，引入虛擬領(lǐng)導(dǎo)者，其動(dòng)力學(xué)模型為式(5)。

(5)

假設(shè)2矩陣A0是Hurwitz的，h0為常數(shù)向量。

注釋1根據(jù)假設(shè)2，虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)x0將會(huì)漸近趨于預(yù)定的期望值h0。假設(shè)2中的條件A0是Hurwitz的，即智能體的系統(tǒng)矩陣是穩(wěn)定的。不同于文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[5]，盡管h0為常數(shù)向量，但它在獲得預(yù)定的期望值方面起著根本作用。

定義1對(duì)于異構(gòu)集群系統(tǒng)式(4)、式(5)而言，若滿足

(6)

則稱集群系統(tǒng)將會(huì)形成期望的時(shí)變編隊(duì)。其中，xit)∈Rn為第i個(gè)智能體的狀態(tài)，初始值有界；hit)∈Rn為第i個(gè)智能體的期望時(shí)變編隊(duì)補(bǔ)償向量；x0t)∈Rn為虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)，初始值有界。

2 主分布式PI控制協(xié)議設(shè)計(jì)

hi(τ))-(xj(τ)-hj(τ))]dτ+ηi(t)

(7)

式中，σI和σP是待設(shè)定的正常數(shù)；uit)∈Rn，i∈F為第i個(gè)智能體的控制輸入；hi(t)∈hF(t)為第i個(gè)智能體的時(shí)變編隊(duì)控制向量；ηi(t)∈Rn為編隊(duì)控制補(bǔ)償項(xiàng)。定義系統(tǒng)的局部一致性誤差向量為

ξ=(L1?In)(x-h-1?x0)

(8)

(9)

結(jié)合式(4)～式(9)，系統(tǒng)的閉環(huán)一致性誤差動(dòng)態(tài)方程可以寫為

σP(L1?In))ξ+y+(L1?In)w+

(10)

(11)

3 魯棒性分析

由于式(4)中存在外部未知擾動(dòng)，一致性誤差ξ將不再收斂于零，因此需驗(yàn)證式(7)是否具有魯棒性，以確保一致性誤差的有界性。

定理1在假設(shè)1～假設(shè)3成立的條件下，考慮由N+1個(gè)智能體組成的領(lǐng)導(dǎo)者-跟隨者異構(gòu)集群系統(tǒng)，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型滿足式(4)和式(5)。若滿足以下條件

(1)σI>0；

(2)

(12)

證明選取Lyapunov函數(shù)

(13)

(14)

將V(t)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)并將式(11)代入可得

σPξT[(GL1+L1G)?In]ξ+

2ξT(G?In)y+2ξT(GL1?In)w+

σPyT(GL1?In)ξ+σIξT(GL1?In)ξ-

σPyT(GL1?In)ξ-yT(G?In)y-

(15)

由矩陣范數(shù)的性質(zhì)，可得

(16)

σIξT(GL1?In)ξ≤σIσmax(L1)max{gi}ξTξ

(17)

由引理1可得

(18)

由引理2可得

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

結(jié)合引理1，可得

(27)

4 數(shù)值模擬

使用編號(hào)0代表領(lǐng)導(dǎo)者，使用編號(hào)1、2、3、4、5分別代表5個(gè)跟隨者，集群系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 集群系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Figure 1. The topology of swarm systems

由圖1可知，系統(tǒng)的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是有向的，領(lǐng)導(dǎo)者僅與跟隨者1通信，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中存在一簇有向生成樹?？紤]實(shí)際情況中存在外部擾動(dòng)等不確定性因素，選擇外界擾動(dòng)函數(shù)為wi=0.3sinit)+0.2cosit)，i=1，2，3，4，5，本文使用分布式控制協(xié)議在100 s時(shí)間內(nèi)仿真，系統(tǒng)的狀態(tài)誤差變化如圖2所示。

圖2 誤差變化Figure 2. Error change

由圖2可以看出，在開始時(shí)，由于系統(tǒng)初始狀態(tài)是隨機(jī)的，因此系統(tǒng)狀態(tài)誤差較大；隨時(shí)間增加，誤差在控制協(xié)議下迅速減小，最后收斂到有界范圍。這意味著雖然存在一定的跟蹤誤差，但是跟隨者仍可以有效地收斂到其期望值附近。在收斂過程中，系統(tǒng)各智能體的狀態(tài)值如圖3和圖4所示。

圖3 x方向上領(lǐng)導(dǎo)者與跟隨者的狀態(tài)Figure 3. States of leaders and followers in x direction

圖4 y方向上領(lǐng)導(dǎo)者與跟隨者的狀態(tài)Figure 4. States of leaders and followers in y direction

由圖3和圖4可知，領(lǐng)導(dǎo)者在控制協(xié)議下能夠快速趨于所預(yù)定的期望值，即在x軸方向上趨于給定領(lǐng)導(dǎo)者的期望值20，在y軸方向趨于給定領(lǐng)導(dǎo)者期望值30，且跟隨者在跟蹤領(lǐng)導(dǎo)者時(shí)圍繞著領(lǐng)導(dǎo)者做編隊(duì)運(yùn)動(dòng)。在時(shí)間為10 s時(shí)系統(tǒng)基本穩(wěn)定，由于存在外部擾動(dòng)，編隊(duì)誤差不趨于0，而是在一個(gè)很小的范圍內(nèi)上下波動(dòng)。系統(tǒng)編隊(duì)的形成過程如圖5所示。

圖5 編隊(duì)位置及其變化Figure 5. Formation position and variation

由圖5可以看出，在初始時(shí)，領(lǐng)導(dǎo)者與跟隨者在二維空間中呈隨機(jī)分布，與期望的正五邊形編隊(duì)形狀相差較大；在所設(shè)控制協(xié)議的作用下，跟隨者在時(shí)間為30 s時(shí)已經(jīng)形成了比較規(guī)則的編隊(duì)形狀；當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者到達(dá)最終期望位置時(shí)，跟隨者的誤差將穩(wěn)定在一個(gè)有界范圍內(nèi)，并且跟隨者圍繞著領(lǐng)導(dǎo)者做圓周運(yùn)動(dòng)，形成了期望的正五邊形編隊(duì)形狀。

5 結(jié)束語

異構(gòu)集群系統(tǒng)可以有效擴(kuò)展同構(gòu)集群系統(tǒng)在功能上的多樣性。針對(duì)異構(gòu)線性集群系統(tǒng)，本文在有向拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下設(shè)計(jì)了一種分布式PI控制協(xié)議。本文使用領(lǐng)導(dǎo)者-跟隨者的方法，研究了更具實(shí)際使用價(jià)值的異構(gòu)集群系統(tǒng)的編隊(duì)控制問題，使用李雅普諾夫穩(wěn)定性分析理論給出了時(shí)變編隊(duì)形成的充分條件，并給出了一致性誤差最終一致收斂的殘差集。針對(duì)在實(shí)際應(yīng)用場景中多智能體系統(tǒng)受到外部未知有界擾動(dòng)影響的情況，本文證明該控制協(xié)議能夠保證集群系統(tǒng)編隊(duì)跟蹤誤差最終一致有界，因此具有一定的魯棒性。本文所的出的結(jié)論可被推廣到具有無向拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的多智能體編隊(duì)跟蹤控制問題中，也可用來解決多智能體系統(tǒng)的一致性問題。

但是，本文只研究了具有相同維度的異構(gòu)多智能體系統(tǒng)的編隊(duì)跟蹤控制問題。在實(shí)際的應(yīng)用場景中，系統(tǒng)中的智能體維度更可能是不同的，因此在未來的研究工作中，需要針對(duì)由不同維度組成的異構(gòu)多智能體系統(tǒng)進(jìn)行進(jìn)一步的研究。