徐邦賢，劉曉波，韓祥民，邱 知，唐 輝，范津瑋

(1.貴州大學 電氣工程學院，貴州 貴陽 550025； 2.國網(wǎng)舟山供電公司，浙江 舟山 316000)

非耦合電感型Zeta變換器的工作效率較高，具有升降壓的特性，能適應輸入電壓寬范圍的變化，因而在新能源光伏發(fā)電領域有著廣泛的應用[1]。耦合電感型Zeta變換器輸出電壓紋波較非耦合電感Zeta變換器小，應用更加廣泛。但耦合電感式Zeta變換器的頻率特性復雜導致閉環(huán)控制器設計較為困難。文獻[2～4]構建的Zeta變換器小信號模型，忽略了中間電容電壓的動態(tài)特性，將中間電容電壓建模為恒定值。但該電容的電壓變化是導致右半平面零點形成的原因，因此忽略該電容電壓變化將無法全面掌握系統(tǒng)的頻率特性，也無法分析電路參數(shù)對變換器頻域穩(wěn)定性的影響。文獻[5～8]建立了詳細的Zeta變換器數(shù)學模型，但因沒有分析電路參數(shù)與系統(tǒng)頻率特性的關系以及與系統(tǒng)特征方程根的關系，故無法對電路參數(shù)進行優(yōu)化。文獻[9～10]建立了電壓反饋型傳統(tǒng)Zeta變換器電路狀態(tài)空間平均模型，采用混沌理論分析了反饋系數(shù)對閉環(huán)穩(wěn)定性的影響，但該方法沒有體現(xiàn)變換器電路參數(shù)與系統(tǒng)頻率特性的關系，因此無法進行參數(shù)優(yōu)化。文獻[11]采用切換建模的方法對傳統(tǒng)Zeta變換器不同導通模式進行了統(tǒng)一建模，并且模型精確且有效，但該文獻缺乏對電路參數(shù)與系統(tǒng)零極點位置的關系的分析，也沒有各參數(shù)對系統(tǒng)頻率特性的影響。文獻[12]在高增益耦合Zeta轉(zhuǎn)換器的小信號動態(tài)特性分析方面缺乏分析電路參數(shù)對系統(tǒng)頻率特性的影響，一旦電路參數(shù)設計不恰當將會使得相頻特性上產(chǎn)生較大的相位滯后，使得控制器設計困難，無法獲得良好的動態(tài)特性。此外，該傳遞函數(shù)給出的是數(shù)值形式，無法體現(xiàn)電路參數(shù)與系統(tǒng)頻率特性、零極點位置的關系。

文中建立了變換器從控制變量到輸出電壓的小信號傳遞函數(shù)，并提取了頻率特性相關的參數(shù)。本文分析了電路參數(shù)對系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性的影響，以及頻率特性與零極點位置的關系，并據(jù)此提出了參數(shù)優(yōu)化設計的方法。最后，在變換器開、閉環(huán)狀態(tài)下進行分析，并對比了優(yōu)化前后系統(tǒng)的時域特性與頻域特性，證明了所提設計方法的有效性與可行性。

1 變換器建模分析

耦合電感型Zeta轉(zhuǎn)換器的電路圖如圖1所示。圖中，L1、L2、C1、C2、M分別為輸入電感、輸出電感、隔直電容、輸出電容、L1與L2之間的互感，rL1、rL2分別為輸入電感與輸出電感的等效串聯(lián)電阻，rC1、rC2分別為隔直電容與輸出電容的等效串聯(lián)電阻，Uin、Uo分別為輸入電壓、輸出電壓，Io為輸出電流，靜態(tài)占空比D可由式(1)求得。

(1)

采用狀態(tài)空間平均法[13]對圖1電路進行建模，得控制變量c到輸出電壓uo的傳遞函數(shù)Gvd(s)，如式(2)所示。根據(jù)經(jīng)典控制理論[14]，系統(tǒng)可劃分為1個一階微分環(huán)節(jié)、二階微分環(huán)節(jié)，以及兩個二階諧振環(huán)節(jié)，其中fL為低頻諧振的自然頻率，fH為高頻諧振自然頻率，QL為低頻品質(zhì)因數(shù)，QH為高頻品質(zhì)因數(shù)，fn為微分環(huán)節(jié)諧振自然頻率，Qz為微分環(huán)節(jié)品質(zhì)因數(shù)。式(3)中的頻率特性參數(shù)fL、fH、QL、QH、fn、Qz均是電路參數(shù)的函數(shù)，與電路參數(shù)的相關性較強，主導著變換器的頻率響應特性。GPWM為調(diào)制器的增益，G0為功率級直流增益。

圖1 耦合電感型Zeta轉(zhuǎn)換器的電路圖Figure 1. Circuit diagram of coupled inductor Zeta converter

(2)

式中

Δs)=

fL≈

fH≈

2 變換器的參數(shù)優(yōu)化設計

2.1 耦合電感參數(shù)設計

如圖1所示，耦合電感可以看做是1個耦合系數(shù)kc的單繞組變壓器，kc與參數(shù)L1、L2、M的關系如下

(3)

優(yōu)化該單繞組變壓器的參數(shù)時，設初始電感L1、L2之間的比值為k1，電感L1與互感M的比值為k2，則電感L1、L2、互感M有如下關系。

L2=k1L1

(4)

M=k2L1=kck1L1

(5)

2.2 輸出電容C2的參數(shù)設計

假定變換器需要5個開關周期才能開始調(diào)整輸出電壓，設電壓下跌值為ΔV，輸出電流突變值為ΔI，變換器的開關周期為Tsw，則C2的值為

(6)

變換器的控制器存在計算延遲[15]，在控制律計算的過程中，輸出電流突增時，容易出現(xiàn)輸出電壓下跌的情況。由式(6)可知增大輸出電容C2能夠緩解因計算延遲引起輸出電壓下跌的程度。

2.3 系數(shù)k1對開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

當Qz<0時，復零點從s平面的左半面移動到右半面，使得系統(tǒng)存在閉環(huán)不穩(wěn)定的風險。為了將復零點限制在左半面，需使Qz>0，由式(4)、式(5)、Qz的表達式及由式(8)可知，電容C1的值應大于零，則k1的取值范圍如下。

1≤k1

(7)

(8)

設輸入電壓Uin為150 V，輸出電流為Io=2 A，靜態(tài)占空比D為0.6，寄生參數(shù)rL1、rL2、rC1、rC2分別為0.1、0.1、0.05、0.05。由式(1)可知輸出電壓Uo為169.3 V。取電感L1= 84 μH，耦合系數(shù)kc= 0.95，由式(7)、式(8)得1

圖2 k1 取不同值的零極點圖Figure 2. Zero-pole graphs with different values of k1

2.4 隔直電容C1的設計

傳遞函數(shù)存在兩對復極點，一個復零點和一個單零點。復極點能夠在Gvd(s)的波特圖的幅頻特性曲線上產(chǎn)生峰值，在相頻特性上產(chǎn)生180°的相位滯后，當控制器存在滯后環(huán)節(jié)(例如積分環(huán)節(jié)、一階濾波環(huán)節(jié))時，開環(huán)系統(tǒng)總的相位滯后將更嚴重。

此時，提高系統(tǒng)穩(wěn)定性的途徑是降低控制器的直流增益，降低閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬，但該方法無法保證系統(tǒng)的快速性。此外，也可選擇對控制器加入更多超前補償環(huán)節(jié)來增大控制器的響應延遲。

若滿足條件fn=fH，則能夠使系統(tǒng)的復零點靠近復極點，最大程度抵消一部分復極點給系統(tǒng)帶來的高頻峰值響應及過度的相位滯后，使系統(tǒng)的頻率特性接近二階系統(tǒng)的頻率特性，降低了控制器設計的難度。令fn=fH，則C1如下所示。

(9)

2.5 參數(shù)設計方法的步驟

綜上所述，所提方法的設計步驟如下文所述，其中待優(yōu)化的電路參數(shù)有L2、M、C1、C2，具體步驟為：

步驟1采用原始輸入電感L1、輸出電感L2、耦合系數(shù)kc的值，根據(jù)式(4)、式(5)計算初始比值k1_init、互感M；

步驟2根據(jù)變換器斬波周期Tsw、期望的ΔV、ΔI，由式(6)計算輸出電容C2的值；

步驟3根據(jù)給定的輸入電壓Uin、輸出最大電流Io以及寄生參數(shù)rL1、rL2、rC1、rC2，由式(1)計算靜態(tài)占空比D。此時，輸入電感L1、輸出電感L2、互感M、靜態(tài)占空比D、輸出電容C2的值已知，由式(9)計算C1的值。

步驟4由式(8)計算k1_max，判定初始比值k1_init是否滿足式(7)的約束關系，若滿足約束關系，則設計結(jié)束，無需對輸出電感L2、互感M進行優(yōu)化；若k1_init超出下限，k1_new取下限值；若k1_init超出下限，k1_new取上限值。根據(jù)式(4)、式(5)、原輸入電感L1、k1_new重新計算輸出電感L2、互感M的值。

此時，參數(shù)L2、M、C1、C2優(yōu)化結(jié)束，具體設計流程見圖3。

圖3 電路參數(shù)優(yōu)化流程圖Figure 3. Flow chart of circuit parameter optimization

3 算例驗證

3.1 變換器參數(shù)未優(yōu)化之前的頻率特性驗證

本文采用表1變換器電路參數(shù)，代入傳遞函數(shù)Gvd(s)，采用MATLAB繪制未校正前開環(huán)系統(tǒng)的波特圖。

表1 耦合電感型Zeta變換器的電路參數(shù)Table 1. Circuit parameters of coupled inductor Zeta converter

從圖4中未校正的系統(tǒng)相頻特性曲線可以看出，在截止頻率fc處存在300°的相位滯后。

采用帶二階濾波的PID控制器驗證所設計方法的可行性，PID參數(shù)采用MATLAB的Sisotools工具箱進行設計[16-17]。如圖5實線所示，因開環(huán)系統(tǒng)的相位滯后較大，最高截止頻率只能設計到fc_old處，約為1 kHz，可知沒有足夠的開環(huán)增益抑制控制環(huán)路內(nèi)含頻率成分為fH的擾動干擾，當控制環(huán)路存在含頻率為fH的擾動信號時，如圖6所示的輸出階躍響應曲線含有高頻振蕩成分，并且設定時間較長，過沖的幅度較大。由于實際情況中，負載的內(nèi)阻是不斷跳變的，導致輸出電流也在不斷跳變，振蕩次數(shù)較多，因此輸出電壓將產(chǎn)生高頻振蕩群，對負載的壽命產(chǎn)生不利的影響，可見控制器的性能較差。

3.2 變換器參數(shù)優(yōu)化后的頻率特性驗證

將表1的原始電路參數(shù)采用文中提出的方法進行優(yōu)化，各參數(shù)如表2所示，并代入傳遞函數(shù)Gvd(s)，繪制Gvd(s)的伯德圖。如圖4虛線所示，截止頻率fc基本不變，在fc處的相位滯后已減小至180°以內(nèi)且高頻處的諧振峰的作用被減弱，此時主要由低頻復極點產(chǎn)生相位滯后。給功率級設計控制器時，可以將功率級看做是一個二階系統(tǒng)，只需要對低頻復極點處產(chǎn)生的相位滯后進行補償，令fc處的增益大于20 dB即可衰減頻率為fH的高頻成分。

圖4 變換器功率級開環(huán)波特圖Figure 4. Bode diagram of open-loop of converter power stage

表2 耦合電感型Zeta變換器經(jīng)優(yōu)化的電路參數(shù)Table 2. Optimized circuit parameters of coupled inductor Zeta converter

如圖5虛線所示，可見優(yōu)化后的截止頻率可提高至fc_new約為30 kHz，在頻率fH處有足夠的開環(huán)增益抑制控制環(huán)路內(nèi)含頻率為fH的擾動信號，使控制系統(tǒng)能快速跟蹤參考信號。如圖6虛線所示，系統(tǒng)的輸出階躍響應中的高頻振蕩成分完全消失，超調(diào)量大幅減小，達到穩(wěn)態(tài)所需的設定時間縮短4倍，系統(tǒng)的響應速度較快，提升了控制器的性能。在負載頻繁跳變的情況下，控制器能夠及時減小輸出電壓下跌的幅度，保持輸出電壓恒定，避免高頻振蕩群對負載的壽命產(chǎn)生不利影響。

圖5 校正后系統(tǒng)開環(huán)波特圖Figure 5. Bode diagram of open-loop of corrected system

圖6 校正后系統(tǒng)輸出階躍響應Figure 6. Output step response of the system after correction

3.3 優(yōu)化后輸出電流對閉環(huán)穩(wěn)定性的影響

假定優(yōu)化后的電路參數(shù)不變，當輸出電流Io從額定的10 A增加到24 A時，如表3所示，kmax的值由正變負。如圖7所示，系統(tǒng)的相頻曲線上重現(xiàn)嚴重的相位滯后。如圖8所示，由系統(tǒng)的零極點圖上可以看出復零點從左半平面移動到了右半平面。如圖9所示，系統(tǒng)的階躍響應相比輸出電流Io增加前，過沖幅度增大和振蕩次數(shù)變多，控制系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。

圖7 系統(tǒng)輸出過流前后的系統(tǒng)頻率特性Figure 7. System frequency characteristics before and after system output overcurrent

圖8 系統(tǒng)輸出過流前后的零極點的位置Figure 8.Position of zero-pole before and after system output over current

圖9 系統(tǒng)輸出過流前后的階躍響應Figure 9. Step response of the system before and after output over current

表3 kmax的值與輸出電流Io的變化關系Table 3. The relationship between the value of kmax and the change of output current Io

當輸出電流Io從24 A減小至10 A的過程中，如表3所示，kmax的值逐漸由負變正，位于右半平面的零點移動到了左半平面，環(huán)路增益的相位滯后減小到了180°以內(nèi)，輸出階躍響應振蕩次數(shù)、超調(diào)量減小，閉環(huán)不穩(wěn)定現(xiàn)象消失。實驗數(shù)據(jù)表明，要使得系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，必須限制輸出電流的大小，使變換器在運行過程中kmax的值始終為正。

此外，表3的實驗數(shù)據(jù)表明文中提出的優(yōu)化設計方法能夠使輸出電流的大小與系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定所允許的最大輸出電流之間留有足夠的設計余量，即使在運行過程中輸出電流偏離額定值的2倍時，仍然能夠維持閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。只有負載在極端情況下(例如輸出端發(fā)生嚴重的過流或者短路故障)，才會導致系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。如果系統(tǒng)設計有負載過流保護模塊，將保護閾值設定為kmax的臨界值所對應的電流值，則可避免該情況發(fā)生。

4 結(jié)束語

相比于基于智能算法的參數(shù)優(yōu)化方法[18]，本文的參數(shù)優(yōu)化設計方法的優(yōu)點是操作流程較為簡單，在設計過程中較容易把握系統(tǒng)的頻率特性以及零極點位置變化的趨勢，可避免零極點落入右半平面，改善了系統(tǒng)的頻率響應及頻率域相對穩(wěn)定性指標，使設計者采用簡單的控制策略即可實現(xiàn)對四階變換器的控制，并且在負載電流超過額定值的情況下也能夠發(fā)揮其最大的優(yōu)化作用，確保系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。

本文的方法缺點在于對系統(tǒng)環(huán)節(jié)的劃分時，頻率特性參數(shù)的求解采用了近似計算，無法達到精確的解析解。使用本文方法在某些情況下對幅頻特性曲線的優(yōu)化并不能達到最佳效果，致使輸出電壓的階躍響應存在一定量的高頻峰值響應，但仍然能夠保證在給系統(tǒng)設計控制器時，把開環(huán)相頻特性的最大相位滯后減小到180°以內(nèi)，消除系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定的風險。