杜宇石, 琚長(zhǎng)江, 楊根科

(上海交通大學(xué) 寧波人工智能研究院, 浙江 寧波 315000; 上海交通大學(xué) 自動(dòng)化系, 上海 200240)

超級(jí)電容器作為一種新型的儲(chǔ)能元件, 具有充放電迅速、功率密度高、循環(huán)壽命長(zhǎng)以及能量轉(zhuǎn)換效率高等優(yōu)點(diǎn), 在混合動(dòng)力汽車等領(lǐng)域有越來(lái)越廣泛的應(yīng)用. 為了汽車安全可靠運(yùn)行, 判斷可行駛路程等信息, 需要對(duì)其剩余電量, 即荷電狀態(tài)(State of Charge, SOC)進(jìn)行估算. SOC估計(jì)方法分安時(shí)法和電壓軟測(cè)量?jī)深? 安時(shí)法[1]是一種基于直接電流測(cè)試的SOC估計(jì)方法, 具有較高的精度, 是實(shí)驗(yàn)室中最常用的SOC估計(jì)方法. 但從長(zhǎng)時(shí)運(yùn)維來(lái)看, 由于自放電現(xiàn)象和電流傳感器精度的影響, 如果不定期進(jìn)行校正, 誤差會(huì)越來(lái)越大; 基于模型的電壓軟測(cè)量方法是機(jī)理或半機(jī)理或無(wú)機(jī)理的, 具有精度高和魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn), 被廣泛用于SOC 的實(shí)時(shí)估計(jì)[2]. 本文主要研究基于模型的SOC估算方法.

超級(jí)電容器的軟測(cè)量模型基本可以分為4種: 電化學(xué)模型、等效電路模型、智能模型和分?jǐn)?shù)階模型. 電化學(xué)模型能夠描述超級(jí)電容器內(nèi)部真實(shí)的反應(yīng)過(guò)程, 具有精度高的優(yōu)點(diǎn), 但是耦合偏微分方程帶來(lái)了很大的計(jì)算量, 某些參數(shù)也是不可測(cè)量的[3]. 等效電路模型是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建立的, 具有良好的準(zhǔn)確性和實(shí)用性, 但也存在物理意義缺失和易受老化影響等不足[4]. 智能模型能夠描述自變量和因變量之間的復(fù)雜非線性關(guān)系, 而不需要詳細(xì)了解其潛在機(jī)制和原理, 具有很好的建模能力, 但是對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)的質(zhì)量和數(shù)量要求高, 非機(jī)理模型魯棒性也不強(qiáng)[5]. 分?jǐn)?shù)階模型引入了分?jǐn)?shù)階微積分, 有較好的擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的能力, 但計(jì)算成本大, 嵌入式實(shí)施難度高[6]. 等效電路模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單且建模精度高, 在實(shí)時(shí)能量管理系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用. 因此, 本文深入研究基于等效電路模型的SOC估計(jì)算法.

Pavkovic等[7]基于一階非線性模型提出了基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的SOC估計(jì)算法. 此外, 還有如無(wú)跡卡爾曼濾波[8]等一系列改進(jìn)方法. 基于卡爾曼濾波的SOC估計(jì)器雖然具有較高的精度, 但是此類方法需要精確的模型以及噪聲的統(tǒng)計(jì)信息, 并且計(jì)算成本較高. Ceraolo等[9]基于線性RC串聯(lián)電路模型采用Luenberger型觀測(cè)器來(lái)計(jì)算SOC, 但單一的線性RC 串聯(lián)電路不能完全模擬超級(jí)電容器的充放電特性. 以上算法雖然原理不同, 但在估計(jì)SOC時(shí), 皆用等效電路模型中的非線性電容存儲(chǔ)的電荷近似代替總電荷, 忽略了模型中其余的定值電容存儲(chǔ)的電荷, 這在一定程度上會(huì)降低算法的精度.

為了得到更加準(zhǔn)確的SOC估計(jì)值, Fan等[10]將SOC的定義擴(kuò)充到所有電容存儲(chǔ)的電荷, 利用滑模觀測(cè)器來(lái)估計(jì)SOC, 在降低計(jì)算量的同時(shí)取得了較高的精度. 但是文中討論的模型未考慮由于自放電現(xiàn)象產(chǎn)生的泄漏電流的影響, 這在短期內(nèi)忽略是合理的, 而在長(zhǎng)期使用或靜置時(shí)可能會(huì)帶來(lái)一定的累積誤差. 另外, 超級(jí)電容器在充電和放電工況下的特性并不一致, 在不同的工況下建立不同的模型參數(shù)來(lái)表征其充放電特性可提高模擬精度[11].

本文在二分支等效模擬電路模型[12]的基礎(chǔ)上, 建立內(nèi)部多電容端電壓的狀態(tài)空間模型, 將超級(jí)電容器的電流和電壓分別作為可控制輸入和可觀測(cè)輸出, 來(lái)計(jì)算內(nèi)部多電容的端電壓值; 再根據(jù)非線性觀測(cè)器[13]的思想, 用內(nèi)部多電容的端電壓來(lái)重構(gòu)SOC. 針對(duì)充電和放電兩種工況分別辨識(shí)模型參數(shù), 每個(gè)模型包括有泄漏和無(wú)泄漏兩種情況. 最后, 通過(guò)充放電實(shí)驗(yàn)討論區(qū)分充放電不同工況以及泄漏電流對(duì)SOC估計(jì)精度的影響, 并驗(yàn)證非線性觀測(cè)器的性能.

1 超級(jí)電容器兩分支等效電路建模

超級(jí)電容器有一對(duì)金屬箔電極, 每個(gè)電極表面都有活性炭, 多孔的活性炭表面在電解液中與離子形成電雙層, 可以決定超級(jí)電容器的容性. 超級(jí)電容器的物理化學(xué)特性比較復(fù)雜, 單一的電路器件不足以描述其充放電行為. 因此, 研究人員通常利用一些簡(jiǎn)化的等效電路模型來(lái)代替超級(jí)電容器[14].

本文綜合考慮了超級(jí)電容單體等效電路模型的準(zhǔn)確性和實(shí)用性, 選用Faranda[12]提出的二分支等效模擬電路模型, 如圖1所示. 圖中：R0為等效串聯(lián)電阻；R2為電荷再分配電阻；C1為微分電容；C2為小孔隙電容(電荷再分配電容)；Rl為泄漏電阻；i1為短期支路電流；i2為中長(zhǎng)期支路電流；i3為泄漏電流；i為輸入的充放電電流；v1為微分電容C1兩端的電壓；v2為小孔隙電容C2兩端的電壓；v為單體的端電壓.

圖1 二分支等效模擬電路模型Fig.1 Two-branch equivalent analog circuit model

利用Kirchhoff定律, 建立了基于圖1所示的二階非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型:

(1)

式中：狀態(tài)變量x1=v1和x2=v2為電容器內(nèi)部多電容的端電壓；電容器的可控輸入u=i為充放電電流, 可測(cè)輸出y=v為端電壓.

(2)

式中：k為微分電容C1隨兩端電壓v1線性變化的斜率；C0為微分電容C1兩端電壓為0時(shí)的初始電容. 這些參數(shù)因超級(jí)電容器的型號(hào)及規(guī)格而不同.

流過(guò)泄漏電阻Rl的電流是自放電現(xiàn)象產(chǎn)生的泄漏電流, 一般都比較小.由于泄漏電阻Rl遠(yuǎn)大于R0和R2, 所以泄漏電流比較小, 在某些情況下也可以忽略. 電容器的狀態(tài)空間模型式(1)在無(wú)泄漏電阻情況下[15]的各參數(shù)為

(3)

注意到無(wú)泄漏效應(yīng)對(duì)應(yīng)模型式(3)并非式(2)的特例.

文獻(xiàn)[11]針對(duì)模型參數(shù)選取不準(zhǔn)給擴(kuò)展卡爾曼濾波SOC估計(jì)帶來(lái)誤差的問(wèn)題, 設(shè)計(jì)了變電流放電工況和變電流充電工況實(shí)驗(yàn), SOC估計(jì)結(jié)果顯示: 對(duì)于變電流充電工況, 使用充電模型參數(shù)的擴(kuò)展卡爾曼濾波SOC 估計(jì)值更接近真實(shí)值, 而使用放電模型參數(shù)的SOC估計(jì)值則偏離真實(shí)值; 反之亦然. 因此, 電池充電模型參數(shù)和放電模型參數(shù)是不同的, 如果單獨(dú)使用一種模型的參數(shù)進(jìn)行SOC估計(jì)就會(huì)增大誤差.

本文針對(duì)充電和放電兩種不同的工況, 分別辨識(shí)不同的模型參數(shù)來(lái)表征超級(jí)電容器不同的物理特性.

2 充放電實(shí)驗(yàn)與模型參數(shù)辨識(shí)

以某型號(hào)為UCK42V28000的超級(jí)電容器單體為測(cè)試研究對(duì)象. 對(duì)超級(jí)電容單體進(jìn)行100 A恒定電流的充放電實(shí)驗(yàn), 規(guī)定充電電流為正, 放電電流為負(fù), 直到超級(jí)電容端電壓達(dá)到額定電壓3.8 V為止, 分別記錄電流i和端電壓v的測(cè)試數(shù)據(jù), 如圖2和圖3所示. 圖中：t為時(shí)間.

圖2 充電工況的輸入電流和端電壓Fig.2 Input current and terminal voltage of charging conditions

圖3 放電工況的輸入電流和端電壓Fig.3 Input current and terminal voltage of discharging conditions

參考Liu等[16]使用遺傳算法辨識(shí)等效電路模型相關(guān)參數(shù)的方法, 分別對(duì)充電和放電兩種不同場(chǎng)景下的模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí). 對(duì)比不區(qū)分充放電工況[8], 即僅一組參數(shù)來(lái)表征超級(jí)電容器的充放電特性, 辨識(shí)了單一模型的參數(shù). 各模型參數(shù)如表1所示.

表1 辨識(shí)的模型參數(shù)Tab.1 Model parameters identified

在MATLAB R2020a/Simulink環(huán)境中, 保持和實(shí)驗(yàn)一致的條件, 對(duì)式(1)進(jìn)行仿真. 設(shè)置帶噪聲的100 A電流作為輸入, 仿真時(shí)間與試驗(yàn)數(shù)據(jù)一致, 即272.6 s. 分別記錄有泄漏和無(wú)泄漏情況下輸出的端電壓值, 并與實(shí)驗(yàn)得到的端電壓值作對(duì)比, 如圖4所示.

圖4 充電時(shí)端電壓的仿真值和實(shí)測(cè)值比較Fig.4 Comparison of simulated value and measured value of terminal voltage during charging

不引入泄漏電阻情況下的端電壓仿真值與實(shí)測(cè)值間的誤差會(huì)越來(lái)越大, 整體最大誤差為 0.075 V. 而引入泄漏電阻情況下的端電壓仿真值與實(shí)測(cè)值在中間部分的誤差比較大, 但在兩端的誤差都比較小, 整體最大誤差為0.048 V. 在充電起始階段和接近結(jié)束時(shí)誤差變小, 而在充電中間過(guò)程誤差較大, 這是由于超級(jí)電容器端電壓的非線性變化以及模型中RC電路的滯后特性引起的. 在起始階段和結(jié)束階段, 模型能夠比較準(zhǔn)確地反映端電壓的變化情況；而在中間過(guò)程, 模型準(zhǔn)確性相對(duì)較低. 在實(shí)際工程應(yīng)用場(chǎng)景中, 超級(jí)電容器模型在接近充電結(jié)束時(shí)的準(zhǔn)確度更加重要, 這對(duì)精確估計(jì)SOC值從而判斷超級(jí)電容器是否充滿電具有非常重要的意義. 在充電場(chǎng)景下, 考慮泄漏電流因素, 即引入泄漏電阻情況下的模型能夠提高約0.03 V的精度.

類似地, 設(shè)置帶噪聲的 -100 A 電流作為輸入(規(guī)定充電電流為正，放電電流為負(fù)), 測(cè)試時(shí)間為272.4 s. 分別記錄有泄漏和無(wú)泄漏情況下輸出的端電壓值, 并與實(shí)驗(yàn)得到的端電壓值作對(duì)比, 如圖5所示.

圖5 放電時(shí)端電壓的仿真值和實(shí)測(cè)值比較Fig.5 Comparison of simulated value and measured value of terminal voltage during discharging

在放電初始階段, 無(wú)泄漏電阻和有泄漏電阻兩種情況的端電壓基本一致. 隨著放電過(guò)程的進(jìn)行, 無(wú)泄漏電阻情況下的端電壓誤差先增大再減小, 最大誤差為0.06 V, 在接近結(jié)束的時(shí)候誤差會(huì)變小, 但與實(shí)測(cè)值仍然有0.038 V的誤差. 有泄漏電阻情況下的端電壓仿真值與實(shí)測(cè)值的誤差較小, 僅在放電中間階段誤差比較大, 最大誤差為0.036 V, 在接近結(jié)束時(shí)誤差會(huì)變得很小, 最終為0.004 V. 類似地, 端電壓在放電中間過(guò)程誤差較大, 在起始和結(jié)束時(shí)的誤差較小, 這也是由于超級(jí)電容器端電壓的非線性變化和模型中RC電路的滯后特性導(dǎo)致的. 與無(wú)泄漏電阻的模型相比, 引入泄漏電阻能夠把端電壓最大誤差從1.60%降低到0.96%, 將接近放電結(jié)束時(shí)的端電壓誤差從1.02%降低到0.11%. 另外, 超級(jí)電容器內(nèi)部存在自放電現(xiàn)象, 故需要在建模時(shí)引入泄漏電阻來(lái)描述這一特性. 因此, 在放電場(chǎng)景下, 考慮泄漏電流, 即引入泄漏電阻情況下的模型有更好的準(zhǔn)確性.

綜上所述, 在充電和放電不同場(chǎng)景下, 考慮泄漏效應(yīng)的模型有更高的模擬精度.

3 非線性觀測(cè)器及性能驗(yàn)證

引入文獻(xiàn)[10]的SOC, 定義為

(4)

式中：Qn為超級(jí)電容器的額定容量, 即存儲(chǔ)的最大電荷量.本文的Qn為 25 200 C. 系統(tǒng)模型式(1)是非線性的, 因此利用非線性觀測(cè)器來(lái)觀測(cè)內(nèi)部電壓, 進(jìn)而估計(jì)SOC.

對(duì)式(1)構(gòu)造非線性狀態(tài)觀測(cè)器：

(5)

非線性觀測(cè)器式(5)的全局漸近穩(wěn)定性的證明過(guò)程如下.

設(shè)控制輸入信號(hào)是有界的, 即存在uM>0, 對(duì)于任意的t, 有|u(t)|≤uM.

定義飽和函數(shù):

(6)

式中：xM是充分大的正常數(shù).

由于狀態(tài)變量電壓xk非負(fù), 將其代入式(6)可得：

σ(xk)=xk,k=1, 2

且所得函數(shù)σ(xk)具有Lipschiz性質(zhì), 即對(duì)于任意的n維向量x,y∈Rn, 有

|σ(x)-σ(y)|≤|x-y|

定義函數(shù)：

φσ(x,u)=φ1(x1)φ2(x,u)

φ2(x,u)=a11σ(x1)+a12σ(x2)+b1u

注意到函數(shù)φσ(x,u)對(duì)x滿足Lipschiz性質(zhì), 即存在實(shí)數(shù)γ>0, 有

(7)

對(duì)任意的t≥0, 定義Lyapunov函數(shù)：

此函數(shù)關(guān)于t求導(dǎo), 得：

(8)

將(7)式代入(8)式得：

(9)

由于φσ具有Lipschitz性, 所以存在γ≥0, 有

(10)

根據(jù)楊氏不等式, 存在設(shè)計(jì)常數(shù)ε>0, 使得

(11)

將式(11)代入式(10)得：

(12)

式(12)代入式(9), 并整理可得：

因此, 可觀測(cè)到系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)x1=v1,x2=v2的信息, 代入式(4)從而求得SOC的估計(jì)值.

通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)驗(yàn)證式(5)的有效性. 參考文獻(xiàn)[13], 考慮到非線性觀測(cè)器的魯棒性和收斂速度, 選擇觀測(cè)器增益為λ1=7，λ2=9,充電電流和放電電流均與第2節(jié)中的保持一致. 在恒流的模式下進(jìn)行充放電, 采用安時(shí)法得到的SOC作為實(shí)際參照值.

在充電工況下, 為了研究區(qū)分充放電不同工況對(duì)SOC估計(jì)的影響, 把基于充電模型的SOC估計(jì)值與參照值之間的誤差和基于充放電單一模型[8]的SOC估計(jì)值與參照值之間的誤差作對(duì)比, 如圖6所示. 圖中：SOCE為SOC估計(jì)誤差. 計(jì)算充電模型和單一模型的最大誤差(ME)、平均絕對(duì)誤差(MAE)和均方根誤差(RMSE), 如表2所示.

圖6 充電模型與單一模型的SOCE比較Fig.6 Comparison of SOCE between charging model and single model

表2 單一模型和充電模型的SOC估計(jì)誤差Tab.2 SOC estimation error of single model and charging model %

由圖6和表2可知, 不區(qū)分充放電的模型得到的SOC估計(jì)誤差是逐漸增大的, 并不收斂.本文建立的充電模型得到的估計(jì)誤差波動(dòng)范圍很小. 因此在充電時(shí), 基于充電模型估計(jì)的SOC值比基于不區(qū)分充放電模型估計(jì)的SOC值更加準(zhǔn)確.

把仿真得到的觀測(cè)器估計(jì)的SOC值(包括基于有泄漏的模型和基于無(wú)泄漏的模型[10]兩種情況) 與參照值進(jìn)行比較, 如圖7所示. 計(jì)算有泄漏模型和無(wú)泄漏模型的ME、MAE和RMSE, 結(jié)果如表3所示.

表3 充電工況下不同模型的SOC估計(jì)誤差Tab.3 SOC estimation errors of different models under charging conditions %

圖7 充電時(shí)有無(wú)泄漏估計(jì)的SOC值與參照值比較Fig.7 Comparison of estimated SOC value with reference value when charging with or without leakage

無(wú)泄漏電流情況下非線性觀測(cè)器估計(jì)的SOC值與實(shí)際參照值的誤差會(huì)越來(lái)越大, 到充電后期, 甚至?xí)^(guò)1, 這是很不合理的. 而在考慮有泄漏電阻情況下估計(jì)的SOC值與實(shí)際參照值吻合程度非常好, 均方根誤差降低了4%. 因此, 考慮泄漏會(huì)提高SOC的估計(jì)精度.

在放電工況下, 將基于原充放電單一模型和放電模型得到的SOCE進(jìn)行對(duì)比, 如圖8所示. 計(jì)算其ME、MAE和RMSE, 如表4所示.

由圖8和表4可知, 基于單一模型估計(jì)的SOC范圍并沒(méi)有包含0%～2%之間的部分, 這會(huì)損失一部分的SOC信息. SOC估計(jì)誤差是逐漸增大的, 并不收斂. 而基于放電模型估計(jì)的SOC在合理的范圍內(nèi), 均方根誤差比基于單一模型的小4倍左右. 因此, 基于放電模型的估計(jì)效果更好.

圖8 放電模型與單一模型的SOCE比較Fig.8 SOCE comparison of discharging model and single model

表4 單一模型和放電模型的SOC估計(jì)誤差Tab.4 SOC estimation error of single model and discharging model %

將基于無(wú)泄漏和有泄漏的模型仿真得到的SOC估計(jì)值進(jìn)行對(duì)比, 如圖9所示. 計(jì)算其ME、MAE和RMSE, 如表5所示.

圖9 放電時(shí)有無(wú)泄漏估計(jì)的SOC值與參照值比較Fig.9 When discharging with or without leakage, the estimated SOC value is compared with the reference value

表5 放電工況下不同模型的SOC估計(jì)誤差Tab.5 SOC estimation errors of different models under discharging conditions %

無(wú)泄漏情況下非線性觀測(cè)器估計(jì)的SOC值甚至?xí)陀?, 這在實(shí)際應(yīng)用中不可能發(fā)生, 且SOC估計(jì)誤差逐漸增大. 而有泄漏情況下估計(jì)的SOC最大誤差和均方根誤差都比無(wú)泄漏情況下的小一個(gè)數(shù)量級(jí). 所以, 考慮泄漏會(huì)提高SOC估計(jì)結(jié)果的可靠性.

綜上所述, 非線性觀測(cè)器算法具有良好的估計(jì)能力, 考慮泄漏因素會(huì)提高模型的準(zhǔn)確度, 而區(qū)分充放電不同工況進(jìn)行建?？梢愿訙?zhǔn)確地表征超級(jí)電容器的充放電特性, 從而顯著降低SOC的估計(jì)誤差.

4 結(jié)語(yǔ)

以超級(jí)電容器單體的二分支等效模擬電路模型為基礎(chǔ), 推導(dǎo)了以電容器模型中多電容端電壓為狀態(tài)的二階非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程. 針對(duì)充電和放電工況不同, 辨識(shí)了充電和放電各自的模型參數(shù)集. 討論了自放電現(xiàn)象產(chǎn)生的泄漏電流對(duì)模型精度的影響. 實(shí)際的充放電實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明, 與不考慮泄漏相比, 考慮泄漏能夠降低約1%的電容器端電壓模型預(yù)測(cè)誤差. 依托電容器模型中多電容端電壓, 設(shè)計(jì)了非線性觀測(cè)器來(lái)估計(jì)SOC的值, 并通過(guò)仿真和實(shí)驗(yàn)對(duì)觀測(cè)器進(jìn)行了驗(yàn)證. 結(jié)果表明, 非線性觀測(cè)器算法具有穩(wěn)定的跟蹤能力. 與不區(qū)分充電放電相比, 區(qū)分充電放電能夠降低SOC的估計(jì)誤差, 最大誤差降低了一個(gè)數(shù)量級(jí), 故基于區(qū)分充電放電的模型能夠更好模擬實(shí)際充放電特性, 顯著提高了SOC的估計(jì)精度. 不考慮泄漏得到的SOC估計(jì)值在充放電后期會(huì)偏離實(shí)際參照值, 甚至不在合理范圍內(nèi), 所以考慮泄漏會(huì)降低SOC估計(jì)值的誤差, 提高結(jié)果的可靠性. 本文提出的考慮泄漏因素且區(qū)分充電放電不同工況估計(jì)SOC的方法具有一定的理論價(jià)值和實(shí)用性, 后續(xù)將進(jìn)一步在車輛加速、勻速、減速等不同工況下開展深入研究和應(yīng)用.