曾寧燁

(中鐵二院工程集團有限責任公司，四川成都 610031)

由于結(jié)構(gòu)局部參數(shù)(如質(zhì)量、剛度)的改變導致結(jié)構(gòu)的局部損傷，進而引起結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)(如頻率、阻尼、振型)的改變，最后體現(xiàn)在結(jié)構(gòu)動力學響應的改變上[1-3]。結(jié)構(gòu)損傷識別就是通過實際測量反映結(jié)構(gòu)力學特性的數(shù)據(jù)，對橋梁結(jié)構(gòu)是否有損傷、損傷位置、損傷程度等作出準確合理的判斷。

鑒于頻率是目前測試技術(shù)所能達到的最準確也是最易測的模態(tài)參數(shù)[4]，幾乎可在結(jié)構(gòu)的任何一點進行測量，國內(nèi)外在利用頻率進行結(jié)構(gòu)損傷識別方面也作了大量研究[5]。這些研究方法按有無反演可分為2類：

(1)有反演的損傷識別方法(反面方法)，是將待識別的未知量(結(jié)構(gòu)參數(shù)、剛度矩陣、損傷指標等)看成優(yōu)化變量，并組成目標函數(shù)，通過不斷地修正有限元模型，得到結(jié)構(gòu)的優(yōu)化參數(shù)，使正向計算結(jié)果能夠最大限度地與實測結(jié)果吻合，如Stubbs等[6]提出的整體損傷估計法，建立了頻率變化量、廣義剛度對單元剛度參數(shù)的靈敏度矩陣和損傷定位參數(shù)之間的線性方程組，由于所得的方程組高度欠定，迭代過程需要反復計算靈敏度矩陣，計算量很大，而且迭代沒有終止的可靠判據(jù)，很難得出準確的結(jié)果。

杜思義等[7]在結(jié)構(gòu)有限元計算模型中定義了單元的損傷識別參數(shù)，基于攝動理論和振動理論，推導了結(jié)構(gòu)振動特征值的一階和二階攝動方程，建立了結(jié)構(gòu)的一階和二階損傷識別方程，給出了兩方程欠定條件下?lián)p傷識別參數(shù)的優(yōu)化求解算法。在這種方法中，結(jié)構(gòu)的損傷位置、損傷程度和老化程度的結(jié)構(gòu)只需通過在役結(jié)構(gòu)的固有頻率的測量值就可以識別，這樣就避免了使用模態(tài)振型識別結(jié)構(gòu)損傷因測量精度不高或自由度不足帶來的誤差。

(2)無反演的損傷識別方法(正面方法)，如固有頻率向量法，特征值曲線交點法等。王樂等[8]引入固有頻率向量及固有頻率向量置信準則的概念，形成固有頻率向量損傷特征數(shù)據(jù)庫，從而提出基于固有頻率向量的結(jié)構(gòu)損傷檢測方法。該方法可以在較強的測量噪音的干擾下，準確地識別出結(jié)構(gòu)損傷的位置并能較準確的測出其損傷程度。特征值曲線交點法其原理最早是基于Cawley和Adams[9]提出的利用“頻率變化比(頻變比)”檢測結(jié)構(gòu)損傷的原理和方法。Hearn等[10]在此基礎(chǔ)上又提出了“頻率平方變化比”方法，指出當結(jié)構(gòu)只有一個單元發(fā)生損傷時，任意兩階頻率平方變化比只是損傷位置的函數(shù)，和損傷的程度大小沒有關(guān)系。故以各單元發(fā)生不同損傷程度時“頻率平方變化比”Δλi/Δλ1的平均值作為縱坐標，以單元編號為橫坐標，作出Δλi/Δλ1對應的曲線圖。根據(jù)實際工況損傷對應的“頻率平方變化比”Δλi/Δλ1的值，在上述曲線圖中作一條直線，直線與曲線的交點即為可能的損傷單元，此交點法即為“特征值曲線交點法”。

鑒于反面識別方法需要利用優(yōu)化算法求解欠定方程組，其識別是個相當復雜的過程，本文僅從正面進行結(jié)構(gòu)損傷診斷，闡述固有頻率向量法與特征值曲線交點法的基本原理，以一簡支梁數(shù)值模擬為例，比較2種方法的優(yōu)缺點，并指出了有待進一步研究的問題。

1 結(jié)構(gòu)損傷識別算法

1.1 固有頻率向量法

1.1.1 固有頻率向量及其組成的損傷特征數(shù)據(jù)庫

采用有限元法將具有一定健康狀態(tài)(完好或損傷)的結(jié)構(gòu)離散后，會具有N個自由度，再用振動特征方程求解出其N階固有頻率，記為f1,f2,f3…fN，定義向量[F]={f1,f2,f3…fN}T為結(jié)構(gòu)在該狀態(tài)下的固有頻率向量。顯然，完整或損壞結(jié)構(gòu)其各自的固有頻率向量是唯一的和固有的。

假定完好結(jié)構(gòu)狀態(tài)及不同損傷位置、不同損傷程度對應的結(jié)構(gòu)狀態(tài)—記為Di,j(i表示損傷位置，j表示損傷程度)，各自對應的固有頻率向量{F}、{FDij}可以組成一個廣義向量庫，即為該結(jié)構(gòu)的損傷特征數(shù)據(jù)庫。通常{F}、{FDij}是在基準模型(通常是經(jīng)過實測模態(tài)數(shù)據(jù)修正的有限元模型)的基礎(chǔ)上計算出來的，通過數(shù)值模擬求解各狀態(tài)對應的固有頻率向量，從而建立損傷特征數(shù)據(jù)庫。結(jié)構(gòu)損傷特征庫中進行基于固有頻率向量的結(jié)構(gòu)損傷檢測。

1.1.2 固有頻率向量置信準則

根據(jù)模態(tài)置信準則定義固有頻率向量置信準則(natural frequencies vector assurance criterion，NFVAC)公式見式(1)。

(1)

1.1.3 損傷判據(jù)

從理論上講，如果結(jié)構(gòu)的固有頻率向量在未知的損傷狀態(tài)下與損傷特征數(shù)據(jù)庫中某個向量所對應的結(jié)構(gòu)損傷狀態(tài)相同或非常接近，那么兩向量的INFVAC值應等于1或非常接近1。然而，在數(shù)值模擬中，用窮舉法計算結(jié)構(gòu)在所有可能損傷狀態(tài)下的固有頻率向量是不可能的。因此，用這種方法進行識別時，得到的INFVAC值不可能精確等于1。故用IDNFVAC=1/(1-INFVAC)先對損傷指標進行轉(zhuǎn)換，由公式(1)知，INFVAC∈ [0,1]，顯然IDNFVAC在[0,1]上單調(diào)遞增，且IDNFVAC越接近于1，其值越大。

但由INFVAC的數(shù)學意義可知，其本質(zhì)是求2個向量的相關(guān)性，只要2個向量互成比例，其相關(guān)性就等于1，但此時2個向量的模的偏差卻可能很大，即相關(guān)性只能表征2個向量的方向或者比例；因而在考察向量的一致性時，不但要考慮向量的方向，同時也要考慮向量模的變化，顯然，如果只考慮向量的相關(guān)性有可能造成損傷的誤檢。

損傷判據(jù)[11]定義為IDNFVAC值與平均偏差值ERR之比，顯然同時考慮2個固有頻率向量的相關(guān)性及這2個向量間的平均偏差，來衡量2個向量之間的一致性，公式見式(2)。

IDR=IDNFVAC/ERR

(2)

由于損傷數(shù)據(jù)庫中的數(shù)據(jù)信息較大，在進行向量計算時，利用MATLAB編程實現(xiàn)。具體步驟為：

(1)計算完好結(jié)構(gòu)及每個單元損傷不同程度后的頻率形成損傷特征數(shù)據(jù)庫。

(2)數(shù)值模擬指定工況的損傷，得一組頻率列向量。

(3)利用式(1)，將各工況所得的頻率列向量與損傷特征庫中的各個列向量相乘，將INFVAC值較大的對應的所有模式記為{Echange}。

(4)在{Echange}中，利用式(2)求IDR。

(5)結(jié)論：在{Echange}中IDR越大，則待檢測結(jié)構(gòu)的損傷模式就是對應的特征庫中損傷模式。

1.2 特征值曲線交點法

具有N自由度的自由振動系統(tǒng)，其振動方程為式(3)。

(3)

若忽略阻尼的影響，其特征值由式(3)的特征方程求解得到式(4)。

([K]-λ[M])[φ]={0}

(4)

式中:[K]、[M]、λ、[φ]分別為結(jié)構(gòu)的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣、特征值、特征向量(振型向量)，其中λ=ω2，ω為結(jié)構(gòu)的固有頻率。

當結(jié)構(gòu)遭到破壞時，結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量等會發(fā)生變化，從而導致結(jié)構(gòu)的頻率發(fā)生變化。因此，損傷識別可以根據(jù)自然結(jié)構(gòu)振動頻率的變化進行。設(shè)結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量矩陣[K]、[M]發(fā)生輕微變化[ΔK]、[ΔM]，則結(jié)構(gòu)的特征值λ和特征向量[φ]也會有微小的變化，另此變化為Δλ、[Δφ]，則式(4)可以寫作式(5)。

(([K]+[ΔK])-(λ+Δλ)([M]+

[ΔM]))([φ]+[Δφ])={0}

(5)

對于橋梁工程問題，結(jié)構(gòu)損傷往往會影響構(gòu)件和結(jié)構(gòu)的剛度，但是對其質(zhì)量沒有明顯的影響，因此可以忽略[ΔM]的影響，所以式(5)可以轉(zhuǎn)換為式(6)。

(([K]+[ΔK])-(λ+Δλ)[M])([φ]+[Δφ])={0}

(6)

將式(6)化簡，忽略二次項，可得式(7)。

(7)

對于其中某一個振型[φi] (i=1，2，……，N)來說，給出式(8)。

(8)

以[ΔKn]表示第n個單元剛度的變化，那么式(8)變?yōu)槭?9)。

(9)

式(9)建立了結(jié)構(gòu)剛度變化與結(jié)構(gòu)特征值之間的關(guān)系。當僅第n個單元損傷時(即單個單元損傷時)為式(10)。

(10)

將結(jié)構(gòu)特征值的變化定義為結(jié)構(gòu)損傷位置與單元損傷程度的函數(shù)，有式(11)。

Δλ=Δλ(αn,n)

(11)

式中：αn為一標量，表示n單元的損傷程度，又[ΔKn]=αn[Kn]，式(11)變?yōu)槭?12)。

(12)

式(12)表示特征值的變化不僅依賴于結(jié)構(gòu)損傷的位置，而且還依賴于結(jié)構(gòu)損傷的程度。取兩階振型對應的特征值為Δλi及Δλj，兩階模態(tài)對應的頻率變化比為式(13)。

(13)

式(13)表明：當結(jié)構(gòu)只有一個單元發(fā)生損傷時，任意兩階頻率平方變化比只是損傷位置的函數(shù)，和損傷的程度大小沒有關(guān)系。

不同位置單元的損傷對應一組特定的“頻率平方變化比”集合，根據(jù)結(jié)構(gòu)損傷前后各階模態(tài)對應的“頻率平方變化比”，就可以識別結(jié)構(gòu)的損傷位置。

基于以上理論，總結(jié)出用特征值曲線交點法進行結(jié)構(gòu)損傷識別的步驟：

(1)計算出結(jié)構(gòu)各單元損傷時對應的特征值，構(gòu)建“頻率平方變化比”指標，以作為損傷檢測的理論值。根據(jù)式(13)，以各單元不同損傷程度對應的“頻率平方變化比”Δλi/Δλ1的平均值作為縱坐標，以單元編號為橫坐標，作出Δλi/Δλ1(i=2,3)對應的曲線圖。由于不同單元對應的“頻率平方變化比”差異較大，這里采用對數(shù)坐標來表示。

(2)數(shù)值模擬指定工況的損傷，求出對應的“頻率平方變化比”Δλi/Δλ1(i=2,3)，并在步驟(1)的曲線圖中作一條直線，直線與曲線的交點即為可能的損傷單元。

2 仿真算例

選擇簡支梁作為損傷識別研究的對象。該簡支模型梁全長L=1000 mm，寬b=30 mm，高h=30 mm，彈性模量E=2.058×1011Pa，容重γ=7.86×107N/m3。

把梁劃分為20個單元進行計算，編號為1～20，21個節(jié)點，簡支梁模型如圖1所示。

圖1 簡支梁有限元模型(單位：mm)

2.1 前期工作

以剛度的下降模擬結(jié)構(gòu)單元的損傷程度，對于橋梁結(jié)構(gòu)通常的損傷而言，結(jié)構(gòu)剛度損傷超過50%時已失去其意義。

對于固有頻率向量法，計算完好結(jié)構(gòu)與各單元發(fā)生5%、10%、15%、20%、25%、30%、35%、40%、45%、50%損傷時的固有頻率，從而形成損傷特征數(shù)據(jù)庫。

對于特征值曲線交點法，在上述求得固有頻率的基礎(chǔ)上，求出每個單元在不同損傷程度下Δλi/Δλ1的均值。

2.2 損傷識別仿真

設(shè)置3個損傷單元，3種仿真工況如表1所示。仿真計算的目的為:①研究各方法損傷識別的能力；②比較各方法的優(yōu)劣。

表1 損傷工況

3種仿真工況對應的前10階頻率值見表2。

表2 各工況對應的頻率值

各工況對應的Δλi/Δλ1(i=2,3)的值見表3。

表3 各工況對應的頻率平方變化比值

2.3 損傷識別結(jié)果

2.3.1 固有頻率向量法

根據(jù)上述原理及計算步驟，MATLAB程序計算結(jié)果見圖2～圖4。

圖2 工況1損傷識別結(jié)果

圖3 工況2損傷識別結(jié)果

圖4 工況3損傷識別結(jié)果

由圖2～圖4可知，各工況損傷位置能夠精確識別，但由于損傷特征庫中沒有把所有可能損傷狀態(tài)下的固有頻率向量列出，對于本算例每隔5%才計算其固有頻率向量，故兩損傷狀態(tài)中間的量不能精確表達，所以從各圖中只能大致判斷出損傷程度。圖中判斷出的損傷程度與實際模擬的工況的損傷程度還是很接近的，如工況1，損傷程度為6.4%，很接近損傷程度為5%的情況；工況3，損傷程度為32.6%，很顯然其值介于30%～35%之間，且與兩者的均值相差很小，故圖4中30%與35%處柱狀比較突出，這種情況可由兩柱狀的均值反推出大致?lián)p傷程度。

2.3.2 特征值曲線交點法

特征值曲線交點法計算結(jié)果如圖5～圖7所示；直線與曲線的交點處即為損傷位置，各工況損傷位置能夠精確識別，但無法區(qū)分對稱位置的損傷。且僅從圖5～圖7中無法直觀估計出損傷程度，需另覓方法探測損傷程度。

圖5 工況1損傷識別結(jié)果

圖6 工況2損傷識別結(jié)果

圖7 工況3損傷識別結(jié)果

2.4 2種識別方法的比較

(1)損傷定位與程度識別方面：2種方法均可以精確識別損傷位置(對稱位置除外，鑒于實際結(jié)構(gòu)由于各種原因一般不會完全對稱，故此方面不做重點考慮)。固有頻率向量法可較準確的識別損傷程度，特征值曲線交點法無法識別損傷程度，這主要可從兩者的基本原理上即可看出。

(2)計算量方面：固有頻率向量法計算工作量大，需形成損傷特征數(shù)據(jù)庫(損傷程度劃分得越精細越好)，且組成向量所需頻率階次較多，本文計算到了前10階；特征值曲線交點法中，由于任意兩階頻率平方變化比只是損傷位置的函數(shù)，和損傷的程度大小沒有關(guān)系，故不需計算各損傷程度的值，只需要前2階頻率就可以進行評估，計算量相對較少。

3 結(jié)束語

(1)對于像橋梁這種具有分布參數(shù)的體系，由于自由度較多，利用固有頻率向量法建立損傷特征庫則是一個龐大的工程。該方法在單位置損傷識別時尚且不能把所有可能損傷狀態(tài)下的固有頻率向量列出，對于多位置損傷識別(多個損傷程度一致、多個損傷程度不一致) 其普遍適用性更有待后續(xù)工作的進一步研究。且如何使用較少的固有頻率得到較優(yōu)的識別結(jié)果也是一個亟待解決的問題。

(2)特征值曲線交點法計算量相對較小，但在利用交點定出損傷程度方面較欠缺。