◎朱云云

(常州市濱江中學(xué)，江蘇 常州 213034)

引言

GeoGebra是一種跨平臺的數(shù)學(xué)軟件，能夠為幾何、代數(shù)、統(tǒng)計等方面的教學(xué)提供重要支持，從而提升教學(xué)的質(zhì)量.初中學(xué)生正處在思維快速提升的年齡階段，而數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，探究性的教學(xué)更有助于學(xué)生思維的健全發(fā)展.但是在以往的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師卻過于重視知識的填充，忽視了學(xué)生心智上的發(fā)展，導(dǎo)致數(shù)學(xué)教學(xué)的價值沒有充分體現(xiàn)出來[1].對于上述問題，通過在教學(xué)中合理地利用GeoGebra，教師可以更加簡便地將抽象的數(shù)學(xué)知識形象化、具體化，從而有效提升學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的深度探究，提高學(xué)生的思維水平.因此在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要結(jié)合學(xué)生的實際學(xué)習(xí)需要，合理地開發(fā)GeoGebra的功能，優(yōu)化教學(xué)環(huán)境，逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素養(yǎng)[2].

一、GeoGebra輔助初中數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)勢

首先，GeoGebra是一款開源的軟件，能讓用戶獲得更好的使用體驗.不僅教師可以利用GeoGebra進(jìn)行備課并開展課堂教學(xué)，而且學(xué)生可以在課余的時間對其進(jìn)行操作，開展自主練習(xí)和探究，從而讓自主學(xué)習(xí)能力獲得提升.并且GeoGebra官方網(wǎng)站提供了豐富的素材，包括數(shù)學(xué)游戲素材、圖形素材等，有利于提升教學(xué)的趣味性[3].

其次，GeoGebra有多種版本，除了在課堂上可以借助電腦使用GeoGebra軟件之外，還可以使用手機(jī)、平板下載和使用這一軟件，這為學(xué)生的自主學(xué)習(xí)提供了更加多元化的選擇.學(xué)生可以根據(jù)自己的環(huán)境及需要，靈活地選擇GeoGebra的各種版本，開展個性化的學(xué)習(xí).

接著，GeoGebra有助于學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的形成和發(fā)展.初中學(xué)生正處在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵時期，而數(shù)形結(jié)合是學(xué)生理解數(shù)學(xué)抽象本質(zhì)的一個重要數(shù)學(xué)思想.GeoGebra軟件為學(xué)生提供了很多可以用來進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化的工具，為學(xué)生探究數(shù)形結(jié)合思想提供了很大的便利.

最后，GeoGebra有助于提升課堂教學(xué)的效率.一，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常會遇到畫圖的問題，如果花費(fèi)較多的時間作圖，不僅會浪費(fèi)課堂時間，而且畫出來的圖像經(jīng)常不標(biāo)準(zhǔn)，這會影響學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，但是教師可以使用GeoGebra提前制作好課堂上需要用到的圖像，快捷展示出來，從而提升課堂的效率.二，數(shù)學(xué)教學(xué)中有很多比較抽象的知識，這給學(xué)生的理解帶來了困難，但是通過GeoGebra的使用，則可以將抽象的知識轉(zhuǎn)化為學(xué)生容易理解的直觀內(nèi)容，由此增進(jìn)學(xué)生的理解.三，GeoGebra可以成為學(xué)生開展自主探究的平臺，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.綜上，GeoGebra可以有效地彌補(bǔ)傳統(tǒng)課堂教學(xué)的各種不足，從而提升課堂教學(xué)的效率.

二、GeoGebra在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用路徑

1.運(yùn)用GeoGebra進(jìn)行教學(xué)準(zhǔn)備

備課對教師來說十分重要，但在以往的備課過程中，教師大多是結(jié)合自己的經(jīng)驗及對學(xué)情的了解，制作出簡單的課件，導(dǎo)致備課往往缺乏針對性，無法滿足學(xué)生在課堂上的學(xué)習(xí)需要.在新課程改革的背景下，教師要在備課的過程中對學(xué)生的需要進(jìn)行充分的分析，并且結(jié)合學(xué)生的需要來開發(fā)有助于學(xué)生深度學(xué)習(xí)的教學(xué)資源，進(jìn)而為學(xué)生有效的課堂學(xué)習(xí)做好保障.因此在備課的過程中，教師可以根據(jù)需要使用GeoGebra軟件，借助GeoGebra上的資源和功能來準(zhǔn)備更有助于學(xué)生學(xué)習(xí)的課堂.

比如，在教學(xué)“二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)”時，教師可以通過對教學(xué)內(nèi)容、學(xué)情及教學(xué)目標(biāo)的分析來利用GeoGebra完成備課的活動.本單元內(nèi)容是九年級的知識，是對二次函數(shù)概念的深度延伸，也是學(xué)生學(xué)會利用二次函數(shù)的知識解決問題的基礎(chǔ).這一單元對三種形式的二次函數(shù)圖像和性質(zhì)進(jìn)行了整合，而GeoGebra的使用可以幫助學(xué)生更好地體會不同形式二次函數(shù)之間的關(guān)系，同時鍛煉學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想及分類討論能力.在學(xué)習(xí)這一單元的知識之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了如何研究一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像及其性質(zhì)，能按照一般的步驟來繪制函數(shù)的相關(guān)圖像，知道要從哪些角度總結(jié)函數(shù)圖像的性質(zhì).但是本單元所學(xué)習(xí)的二次函數(shù)圖像對學(xué)生來講仍然比較困難，尤其需要學(xué)生將三種形式的二次函數(shù)圖像的差異進(jìn)行對比，這給學(xué)生的歸納總結(jié)帶來了阻礙.結(jié)合上述的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)情分析以及對GeoGebra作用的整理，可以將這一單元的教學(xué)目標(biāo)設(shè)計為：可以用一般的方法畫出三種形式的二次函數(shù)圖像，理解不同系數(shù)的變化給二次函數(shù)帶來的影響，掌握三種形式下二次函數(shù)的性質(zhì)；有序觀察GeoGebra呈現(xiàn)的二次函數(shù)圖像，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合意識，提升幾何直觀素養(yǎng)；利用GeoGebra探索二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，提升數(shù)學(xué)欣賞能力.而根據(jù)這一目標(biāo)，教師可以先使用GeoGebra軟件制作出y=ax2的函數(shù)圖像；再結(jié)合函數(shù)圖像進(jìn)行左右平移，得到另一種形式的二次函數(shù)圖像；之后再進(jìn)行上下平移，得到第三種圖像.通過觀察這一過程中函數(shù)解析式和函數(shù)圖像發(fā)生的變化，幫助學(xué)生總結(jié)出二次函數(shù)的性質(zhì).

總之，教師在準(zhǔn)備教學(xué)的過程中要充分地發(fā)揮GeoGebra的作用，將其融入備課中，從而簡化教師的備課流程，提升教師備課的效率，增強(qiáng)教師備課的能力.

2.運(yùn)用GeoGebra進(jìn)行教學(xué)傳遞

在課堂教學(xué)的過程中，教師可以使用GeoGebra向?qū)W生傳遞一些比較復(fù)雜的內(nèi)容，從而幫助學(xué)生突破平面作圖的限制，使他們對數(shù)學(xué)知識形成更加深刻的理解.GeoGebra是一款十分優(yōu)秀的教學(xué)軟件，尤其在畫圖方面，它可以即時呈現(xiàn)教學(xué)所需的各種圖像，從而給了教師和學(xué)生更多的時間來進(jìn)行語言和思維上的交流，便于學(xué)生建立邏輯清晰的知識鏈條.因此在實際的教學(xué)中，除了在上課之前使用GeoGebra來完成備課，教師還可以根據(jù)學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)需要，即時使用GeoGebra進(jìn)行知識傳遞，打造靈活多變的數(shù)學(xué)課堂[4].

比如，在教學(xué)“一次函數(shù)的圖像”時，教師可以利用GeoGebra豐富學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)經(jīng)歷.教師可以在課堂上利用課件或者電子白板向?qū)W生展示與一次函數(shù)有關(guān)的實際問題，比如“科學(xué)家測量得到，當(dāng)海拔每上升1千米的時候，溫度就會下降6攝氏度，那么溫度和海拔之間的關(guān)系可以怎么表示？”.學(xué)生在之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)的概念，掌握了一次函數(shù)的建模方法，因此學(xué)生可以很快地將這個問題中的數(shù)量表示出來，寫出y=-6x的式子.在學(xué)生寫出函數(shù)式后，教師再使用信息技術(shù)向?qū)W生展示更多的相關(guān)問題，進(jìn)一步激活學(xué)生對一次函數(shù)的印象.接下來，教師再引導(dǎo)學(xué)生借助GeoGebra探究一次函數(shù)的圖像，首先讓學(xué)生在紙上畫出y=-6x和y=-6x+5的圖像，接著教師在GeoGebra上輸入相關(guān)的數(shù)據(jù)，快速呈現(xiàn)兩個函數(shù)的圖像，讓學(xué)生觀察軟件上的圖像和自己的圖像之間是否存在差別，同時使用GeoGebra上的播放功能來展示這兩個圖像的形成過程，強(qiáng)化學(xué)生對畫圖步驟的理解.之后，教師再引導(dǎo)學(xué)生對兩個圖像之間的差異進(jìn)行分析，讓學(xué)生對y=kx+b函數(shù)中b的變化給函數(shù)圖像帶來的影響進(jìn)行探索，之后再向?qū)W生展示y=6x的函數(shù)圖像，讓學(xué)生再次進(jìn)行對比，從而總結(jié)出k的變化給函數(shù)圖像帶來的影響.

總之，GeoGebra可以為教師的信息傳遞提供很多便利，因此在實際的教學(xué)中，教師要根據(jù)課堂教學(xué)情況，靈活地開發(fā)GeoGebra，幫助學(xué)生完善學(xué)習(xí)活動.

3.運(yùn)用GeoGebra引導(dǎo)自主探究

數(shù)學(xué)是對學(xué)生思維的教育，因此在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要使用各種方法來促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)自主探究，讓學(xué)生學(xué)會靈活地運(yùn)用已有的知識經(jīng)驗構(gòu)建新的知識，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.而GeoGebra有十分便利的功能，可以為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究提供重要的支持，因此教師可以將GeoGebra作為學(xué)生自主探究的平臺，幫助學(xué)生開展深度數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)[5].

比如，在教學(xué)“等腰三角形的軸對稱性”時，教師可以將學(xué)生的實踐操作和GeoGebra的功能聯(lián)系在一起，幫助學(xué)生進(jìn)一步探索等腰三角形的性質(zhì).第一，教師在GeoGebra上向?qū)W生展示等腰銳角三角形、等腰直角三角形和等腰鈍角三角形這三種圖形(注意不要設(shè)置網(wǎng)格，從而讓學(xué)生對這三種等腰三角形形成更加直觀的印象).第二，教師引導(dǎo)學(xué)生回憶軸對稱圖形的概念等與本節(jié)課有關(guān)的知識，進(jìn)一步激活學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài).第三，教師在GeoGebra上標(biāo)出其中一個三角形的頂點(diǎn)、腰和底邊等關(guān)鍵要素，并且讓學(xué)生說一說另外兩個三角形的相關(guān)要素.第四，教師讓學(xué)生展開自主學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生想一想可以怎么做出一個等腰三角形，在學(xué)生做好后，讓學(xué)生通過折一折、比一比等方式初步探索等腰三角形的性質(zhì).第五，教師在GeoGebra上添加網(wǎng)格，并且適當(dāng)調(diào)整做好的三角形，過其中一個三角形的頂點(diǎn)做一條角平分線，之后再做出這個三角形底邊的垂線，讓學(xué)生通過GeoGebra上顯示的坐標(biāo)發(fā)現(xiàn)兩條線是重合的，從而讓學(xué)生進(jìn)一步了解等腰三角形的對稱軸在哪里、如何畫.第六，在教師完成演示后，可以再在GeoGebra上畫出一個隨機(jī)的等腰三角形，邀請學(xué)生上臺對等腰三角形的軸對稱性進(jìn)行講解，從而讓學(xué)生進(jìn)一步完善自己的認(rèn)識.

這樣，GeoGebra可以為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究提供重要的支撐，幫助學(xué)生更好地探索數(shù)學(xué)知識的形成過程，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)能力.

4.運(yùn)用GeoGebra發(fā)展數(shù)學(xué)思想

GeoGebra可以為數(shù)學(xué)思想教學(xué)的落實提供幫助.初中學(xué)生正處在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵時期，讓學(xué)生掌握各種數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵及使用方法，可以使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到啟發(fā).因此教師要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，以GeoGebra為平臺來引導(dǎo)學(xué)生展開探索，幫助學(xué)生建立對數(shù)學(xué)思想的全面認(rèn)識.

比如，在教學(xué)“反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)”時，這是學(xué)生第一次接觸圖像是曲線的函數(shù)，這對學(xué)生來講存在一定的難度，因此教師要重視數(shù)形結(jié)合思想的滲透，從而為學(xué)生以后的曲線函數(shù)圖像學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ).教師可以給出提出一個反比例函數(shù)，讓學(xué)生列出這個函數(shù)的幾個對應(yīng)值，制作一份關(guān)于函數(shù)值的表格.在學(xué)生完成表格后，教師對表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察，并且搜集一些數(shù)據(jù)，輸入到GeoGebra上，畫出描點(diǎn)圖.之后教師讓學(xué)生利用計算機(jī)或者猜想的方式，思考這個函數(shù)圖像的大致走向，并且讓學(xué)生說一說自己猜想的依據(jù).在學(xué)生進(jìn)行了充分的猜想后，教師再在GeoGebra上輸入函數(shù)解析式，將完整的圖像畫出來，讓學(xué)生將自己的計算結(jié)果和真實的圖像結(jié)果進(jìn)行對照，看看自己的猜想是否正確.如此，有助于學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的形成，有助于降低教學(xué)的難度，有助于增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心.

5.運(yùn)用GeoGebra提升課堂參與

數(shù)學(xué)知識的抽象性使得很多學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中經(jīng)常產(chǎn)生消極的情緒，導(dǎo)致了課堂教學(xué)效果不理想的情況.而GeoGebra軟件的使用可以將原本枯燥的數(shù)學(xué)知識以更加直觀的方式呈現(xiàn)出來，從而有效地提升學(xué)生的課堂參與度，讓學(xué)生在更加具有趣味性的環(huán)境中學(xué)習(xí)知識.

比如，在教學(xué)“設(shè)計軸對稱圖案”時，教師可以將GeoGebra作為師生互動的平臺，給學(xué)生提供充足的自主操作機(jī)會，讓學(xué)生試著使用GeoGebra來開展軸對稱圖案的設(shè)計和創(chuàng)作.教師可以在機(jī)房提前安裝好GeoGebra軟件，并且對學(xué)生進(jìn)行分組，先幫助學(xué)生了解用GeoGebra畫圖的方法，之后再給學(xué)生自主操作的時間，讓學(xué)生們合作進(jìn)行軸對稱圖形的制作.在學(xué)生合作完成制作后，教師不僅要讓學(xué)生展示最終的作品，同時還要讓學(xué)生回憶作圖過程中都用到了哪些知識和技能，并且讓學(xué)生自己說一說怎么用軸對稱的知識來檢驗自己所做的圖形是否是軸對稱圖形，從而進(jìn)一步升華學(xué)生的思想.

隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的信息素養(yǎng)也成為教師現(xiàn)如今的一個主要任務(wù)，因此教師要利用好GeoGebra平臺，提升學(xué)生在課堂上的參與度，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生的創(chuàng)新意識、信息素養(yǎng)和實踐能力得到更好的發(fā)展.

三、GeoGebra在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用注意事項

GeoGebra的使用對于提升初中數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量有十分積極的作用，但是在實際的應(yīng)用過程中，還有很多值得教師關(guān)注的問題.為將GeoGebra的價值真正體現(xiàn)出來，并避免由于GeoGebra的不合理使用而導(dǎo)致教學(xué)質(zhì)量下降的問題，應(yīng)注意如下事項.

首先，教師自身要不斷地進(jìn)行學(xué)習(xí)，充分認(rèn)同在數(shù)學(xué)教學(xué)中使用GeoGebra的必要性，并且熟練掌握GeoGebra的各種功能，從而為GeoGebra的使用奠定扎實的基礎(chǔ).教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者，對于學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量起到很大的影響，但是在當(dāng)前的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多教師缺乏學(xué)習(xí)教育技術(shù)的意識，從而導(dǎo)致了課堂信息含量匱乏的問題.因此教師只有正確認(rèn)識教育信息化改革的必要性，積極探索GeoGebra的功能，提升自身的GeoGebra操作水準(zhǔn)，才能給學(xué)生提供更好的教學(xué)服務(wù).

其次，教師在使用GeoGebra的時候要選擇好時機(jī).GeoGebra是一款十分便于操作的工具，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以很方便地利用它來引導(dǎo)學(xué)生開展角度、圖形軌跡、圖形形狀等方面的探索.但是需要注意的是，學(xué)生是教學(xué)的主體，如果教師在教學(xué)中過于依賴GeoGebra，一味地使用GeoGebra來呈現(xiàn)各種信息，很容易使學(xué)生失去思考的意識，產(chǎn)生反作用.因此，教師要選擇好用GeoGebra呈現(xiàn)信息的時機(jī)，在學(xué)生思考后再使用GeoGebra平臺，幫助學(xué)生驗證猜想或者輔助學(xué)生完成猜想，從而真正發(fā)揮出GeoGebra的作用.

接著，教師要根據(jù)實際需要，為學(xué)生提供恰當(dāng)?shù)腉eoGebra操作機(jī)會.在絕大多數(shù)的情況下，教師都是自己動手操作GeoGebra，讓學(xué)生進(jìn)行觀察，這種做法雖然可以節(jié)省課堂上的時間，但是容易導(dǎo)致學(xué)生失去探索的動力.初中學(xué)生正處在好奇心旺盛的年齡階段，因此在實際的教學(xué)中，教師要注重為學(xué)生提供多一些的實踐機(jī)會，滿足學(xué)生的好奇心，讓學(xué)生可以在動手操作中獲得對數(shù)學(xué)知識的進(jìn)一步了解.教師可以在學(xué)生針對教學(xué)內(nèi)容提出猜想后，讓學(xué)生自己動手操作GeoGebra，用方便快捷的軟件來驗證自己的猜想，從而讓學(xué)生收獲更多的課堂參與感，切實提升學(xué)生在課堂上的參與度.

最后，教師要鼓勵學(xué)生在課后利用GeoGebra進(jìn)行學(xué)習(xí).GeoGebra是一款免費(fèi)的軟件，而且有手機(jī)版、網(wǎng)頁版等各種版本，十分適合學(xué)生的數(shù)學(xué)課后學(xué)習(xí)，讓學(xué)生可以根據(jù)自己的需要了解更多的數(shù)學(xué)知識.因此，在教學(xué)的過程中，對于學(xué)生在課堂上產(chǎn)生的一些想法，教師可以鼓勵學(xué)生在課后使用GeoGebra進(jìn)行獨(dú)立驗證，之后在課堂上分享自己的成果，以此營造良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)氛圍，并且提高學(xué)生自主解決數(shù)學(xué)問題的能力.

結(jié)語：GeoGebra軟件在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有廣泛的應(yīng)用價值.在實際的教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生的具體需要，分析軟件的具體用法，為學(xué)生的自主學(xué)習(xí)提供更多的便利，使學(xué)生能在信息技術(shù)的幫助下真正掌握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，獲得數(shù)學(xué)探究的方法，進(jìn)而推動核心素養(yǎng)教育目標(biāo)的落實，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，提升教學(xué)的整體質(zhì)量，并且驅(qū)動數(shù)學(xué)教育信息化改革，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)知識水平和創(chuàng)新能力獲得協(xié)調(diào)的成長.