鄧宏光，陳新度，王 晗，梁忠偉

（1.廣東工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，廣東 廣州 510006；2.廣州大學(xué)機(jī)械與電氣工程學(xué)院，廣東 廣州 510006）

1 引言

光柵尺作為高精度位移傳感器廣泛應(yīng)用于數(shù)控系統(tǒng)，宏微平臺(tái)等精密位移控制系統(tǒng)和工業(yè)測(cè)量領(lǐng)域[1?2]。目前以螺栓直接固定尺體于運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的凸臺(tái)基面的安裝方式[3]，使得運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的振動(dòng)與沖擊直接作用于光柵尺[4]。隨著微納加工的發(fā)展，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)振動(dòng)對(duì)光柵尺精度的影響日益凸顯。目前針對(duì)光柵尺振動(dòng)的研究較多集中于數(shù)據(jù)后處理，如通過(guò)對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)信號(hào)進(jìn)行誤差補(bǔ)償處理等方法[5]降低振動(dòng)對(duì)測(cè)量精度的影響等，但無(wú)法從根本上消除振動(dòng)對(duì)光柵尺測(cè)量精度的影響。

光柵尺一般為截面不變的均勻長(zhǎng)條狀尺體，其長(zhǎng)度取決于安裝平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)范圍，對(duì)于大尺寸的數(shù)控機(jī)床系統(tǒng)，其長(zhǎng)寬比更大。受逼仄的安裝空間限制，光柵尺難以采用普通隔振機(jī)構(gòu)。切削加工時(shí)，機(jī)床振動(dòng)難以避免，非平穩(wěn)切削、切削顫振[5]等更惡劣工況甚至引起機(jī)床自激振動(dòng)[6]。故亟需研究其在振動(dòng)與沖擊工況下的力學(xué)特性并探索隔振設(shè)計(jì)，減低運(yùn)動(dòng)平臺(tái)振動(dòng)對(duì)光柵尺測(cè)量精度的影響。基于上述分析，結(jié)合光柵尺的結(jié)構(gòu)特性，建立了5自由度動(dòng)力學(xué)模型并進(jìn)行了解耦分析，得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)。通過(guò)頻率響應(yīng)和階躍沖擊仿真分析了機(jī)床振動(dòng)對(duì)光柵尺的精度影響，為具體的隔振設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

2 光柵尺動(dòng)力學(xué)建模

光柵尺幾何特征通常為長(zhǎng)條狀、對(duì)稱(chēng)且質(zhì)量均勻，其質(zhì)心通常與幾何中心重合。以某數(shù)控機(jī)床工作臺(tái)上平行于X軸導(dǎo)軌的光柵尺為例，該光柵尺X方向與機(jī)床X軸導(dǎo)軌平行，Y方向平行于Y軸導(dǎo)軌，與X向正交，Z方向平行于Z軸導(dǎo)軌，垂直于工作臺(tái)豎直向上，即所定義的光柵尺坐標(biāo)系與機(jī)床坐標(biāo)系一致。其余安裝位置的光柵尺分析時(shí)亦可參考建立類(lèi)似的坐標(biāo)系，不失一般性。

光柵尺在上述X、Y、Z3個(gè)平動(dòng)自由度均易受機(jī)床振動(dòng)影響，其中，X方向平動(dòng)自由度的振動(dòng)直接影響讀數(shù)頭讀取的光柵條紋位置，是誤差敏感方向；Y、Z此2個(gè)平動(dòng)方向自由度的振動(dòng)主要影響光柵尺體與讀數(shù)頭的動(dòng)態(tài)間距，即影響讀數(shù)頭的光學(xué)焦距。繞Y、Z軸回轉(zhuǎn)方向即Ry，Rz2個(gè)回轉(zhuǎn)自由度由θ，φ描述。由于光柵尺條狀外形長(zhǎng)邊與X軸同向，考慮其安裝時(shí)平行于導(dǎo)軌裝于機(jī)床滑臺(tái)上，可理解為光柵尺與機(jī)床滑臺(tái)在繞X軸回轉(zhuǎn)方向的剛度極大，故此方向振動(dòng)可以忽略。

由上述分析，可建立光柵尺5自由度動(dòng)力學(xué)模型，如圖1所示。

圖1 光柵尺5自由度動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 5?DOF Dynamic Model of Grating Ruler

其中，C點(diǎn)為光柵尺的質(zhì)心，M、Iy、Iz分別為尺體質(zhì)量、繞Y軸及繞Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。kx、cx為X方向的剛度和阻尼；ky1、kz1、cy1、cz1為安裝點(diǎn)1處隔振器對(duì)應(yīng)y方向與z方向的剛度和阻尼；ky2、kz2、cy2、cz2為安裝點(diǎn)2處隔振器對(duì)應(yīng)y方向與z方向的剛度和阻尼；qx、qy、qz分別為平臺(tái)各方向?qū)鈻懦叩恼駝?dòng)激勵(lì)。l1、l2分別為光柵尺質(zhì)心與安裝點(diǎn)1，2的距離。顯然，微幅振動(dòng)時(shí)有：z1=z?l1θ；z2=z+l2θ；y1=y?l1φ；y2=y+l2φ則運(yùn)動(dòng)微分方程為：

3 光柵尺動(dòng)力學(xué)模型解耦與簡(jiǎn)化

考察式（2），y、z、θ、φ這4個(gè)自由度顯然存在剛度耦合與阻尼耦合，有必要解耦上述動(dòng)力學(xué)模型，以便簡(jiǎn)化隔振系統(tǒng)設(shè)計(jì)與分析過(guò)程。分析剛度矩陣K和阻尼矩陣C，若l1=l2，則矩陣K和C的非對(duì)角元素為零，實(shí)現(xiàn)了解耦。實(shí)際應(yīng)用中，光柵尺尺體通常為均勻質(zhì)量，長(zhǎng)條狀；即其質(zhì)心與幾何中心重合，位于兩側(cè)安裝點(diǎn)連線(xiàn)中點(diǎn)，滿(mǎn)足上述解耦條件?？紤]實(shí)際的隔振系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，通常取同一方向的隔振單元其剛度和阻尼參數(shù)為相同值，故定義式（2）光柵尺動(dòng)力學(xué)模型相關(guān)參數(shù)如下：

顯然，光柵尺動(dòng)力學(xué)模型式（2）實(shí)現(xiàn)解耦。由振型疊加原理[8]，可知，式（2）解耦后，該5自由度系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型可描述為各方向單自由度振動(dòng)的疊加，即：

4 仿真與分析

根據(jù)上述動(dòng)力學(xué)模型，在Matlab中建立了光柵尺5自由度隔振系統(tǒng)模型，分析其在安裝基座激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)特性。隔振系統(tǒng)各參數(shù)值，如表1所示。

表1 某光柵尺隔振系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Parameters of Vibration Isolation System for One Grating Ruler

切削加工時(shí)，引起機(jī)床振動(dòng)的因素很多，主軸不平衡、機(jī)床運(yùn)動(dòng)部件安裝誤差、導(dǎo)軌磨損、非平穩(wěn)切削等是較常見(jiàn)因素，某些工況下，不穩(wěn)定的切削過(guò)程甚至可導(dǎo)致機(jī)床顫振。而機(jī)床加工過(guò)程中的各種振動(dòng)均會(huì)通過(guò)安裝位置傳遞給光柵尺，因此，機(jī)床的振動(dòng)特性即光柵尺的振動(dòng)激勵(lì)特性。

由隔振原理，輸入激勵(lì)頻率在共振峰 2 倍以上，則隔振系統(tǒng)可以有效隔離[11]。自由度頻響特性值，包括固有頻率、 2 倍頻率點(diǎn)、對(duì)應(yīng)隔振率及25Hz頻率點(diǎn)隔振率，如表2所示?？疾煸摫砜芍撓到y(tǒng)固有頻率和 2 倍頻率均較低。其中X、Y、Z三個(gè)平動(dòng)自由度，固有頻率均小于8.5Hz， 2 倍頻率小于11.9Hz，對(duì)應(yīng)的機(jī)床主軸轉(zhuǎn)速分別為510rpm和714rpm。Ry，Rz兩回轉(zhuǎn)自由度固有頻率分別為14.24Hz 和13.63Hz， 2 倍頻率略高，分別為20.14 Hz和19.27Hz。

表2 各自由度頻率響應(yīng)特性Tab.2 Frequency Response Characteristics

數(shù)控機(jī)床工作時(shí)切削用量隨工況變化范圍較大，主軸轉(zhuǎn)速與進(jìn)給速度等參數(shù)變化的區(qū)間同樣范圍較大。但對(duì)于光柵尺精度較敏感的精加工而言，通常主軸轉(zhuǎn)速設(shè)定較高，因此由于機(jī)床主軸旋轉(zhuǎn)誤差和顫振所引起的振動(dòng)激勵(lì)頻率也較高。上述X，Y，Z平動(dòng)自由度和Rx，Ry回轉(zhuǎn)自由度的 2 倍頻率點(diǎn)對(duì)應(yīng)的主軸轉(zhuǎn)速分別為714rpm 以下和1209rpm 以下，對(duì)光柵尺誤差敏感的精加工較少工作于此轉(zhuǎn)速范圍。

光柵尺隔振系統(tǒng)各自由度的頻率響應(yīng)曲線(xiàn)，如圖2、圖3 所示。比較直觀反映了激勵(lì)頻率在1000Hz以下的隔振效果，圖中，橫坐標(biāo)為對(duì)數(shù)頻率坐標(biāo)（f∕Hz），縱坐標(biāo)為位移放大系數(shù)（dB）。其中，圖2為X、Y、Z方向平動(dòng)自由度頻率響應(yīng)曲線(xiàn)，振動(dòng)激勵(lì)頻率為25Hz時(shí)，對(duì)于光柵尺誤差敏感方向X，隔振率為?11.9dB。Y，Z兩平動(dòng)自由度隔振率為?9.31dB。

圖2 光柵尺X、Y、Z平動(dòng)自由度頻響曲線(xiàn)Fig.2 X、Y、Z DOF Frequency Response Curve of Grating Ruler

光柵尺Ry、Rz兩回轉(zhuǎn)自由度頻率響應(yīng)曲線(xiàn)，如圖3所示。Ry、Rz兩回轉(zhuǎn)自由度在25Hz激勵(lì)頻率的響應(yīng)分別為?1.52dB、?1.99 dB。系統(tǒng)各自由度隔振效果隨頻率增加而愈加顯著，在100 Hz處（對(duì)應(yīng)機(jī)床主軸轉(zhuǎn)速3000rpm），X、Y、Z方向平動(dòng)自由度隔振率均已超過(guò)?23dB，Ry、Rz方向則超過(guò)?14dB。由于數(shù)控機(jī)床精加工時(shí)主軸轉(zhuǎn)速較高，其振動(dòng)激勵(lì)頻率通常更高，故本系統(tǒng)在高速切削工況下隔振效果良好。隨著數(shù)控機(jī)床的高速化，其工作臺(tái)各軸快速平移，急起、急停等已經(jīng)成為常規(guī)工況，使得機(jī)床各運(yùn)動(dòng)部件具有較高加速度[7]。同時(shí)，加工過(guò)程中，刀具切入、切出時(shí)還會(huì)對(duì)機(jī)床形成突加載荷。

圖3 光柵尺Ry、Rz轉(zhuǎn)動(dòng)自由度頻響曲線(xiàn)Fig.3 Ry、Rz DOF Frequency Response Curve of Grating Ruler

由于各軸導(dǎo)軌安裝間隙的存在，上述高加速度工況通常以沖擊激勵(lì)的形式作用于工作臺(tái)等機(jī)床運(yùn)動(dòng)部件。以單位階躍響應(yīng)和單位沖擊響應(yīng)仿真光柵尺隔振系統(tǒng)在上述突加載荷與沖擊工況下的穩(wěn)定性。系統(tǒng)在階躍和單位沖擊下X方向和Ry方向的時(shí)域響應(yīng)曲線(xiàn)，如圖4、圖5所示。

圖4 X方向單位階躍響應(yīng)與沖擊響應(yīng)Fig.4 X Direction’s Step Response and Impact Response

由圖4，系統(tǒng)在X方向的階躍響應(yīng)穩(wěn)定時(shí)間為0.25s，峰值保持的時(shí)間<0.1s；單位沖擊響應(yīng)穩(wěn)定時(shí)間為0.2s，峰值保持的時(shí)間<0.06s。由圖5，Ry方向的階躍響應(yīng)穩(wěn)定時(shí)間為0.08s，峰值保持的時(shí)間<0.05s；單位沖擊響應(yīng)穩(wěn)定時(shí)間為0.18s，峰值保持的時(shí)間<0.05s。單位階躍響應(yīng)與單位沖擊響應(yīng)的仿真結(jié)果反映了光柵尺隔振系統(tǒng)穩(wěn)定性較好，對(duì)突加載荷和沖擊下所導(dǎo)致的擾動(dòng)，能很快回復(fù)正常狀態(tài)。因此，本隔振系統(tǒng)能更好適應(yīng)高速數(shù)控機(jī)床愈加嚴(yán)苛的工況。

5 結(jié)論

在分析光柵尺結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，建立了光柵尺隔振系統(tǒng)5自由度動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了解耦及隔振傳遞函數(shù)分析。對(duì)該隔振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型仿真分析結(jié)果表明：

（1）建立了5自由度光柵尺動(dòng)力學(xué)模型，該模型較好地體現(xiàn)了光柵尺的特征與工況。為光柵尺的隔振分析與隔振系統(tǒng)設(shè)計(jì)奠定理論基礎(chǔ)，也為類(lèi)似條狀結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析提供了參考。

（2）基于隔振對(duì)象結(jié)構(gòu)特性進(jìn)行的動(dòng)力學(xué)模型解耦，可有效降低分析難度且不失準(zhǔn)確性。

（3）依此方法，可易于計(jì)算隔振系統(tǒng)的各自由度固有頻率，以便設(shè)計(jì)隔振系統(tǒng)時(shí)，為不同應(yīng)用場(chǎng)合與工況，適時(shí)調(diào)整剛度、阻尼等隔振系統(tǒng)參數(shù)。

（4）合理設(shè)計(jì)隔振系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)各階固有頻率的 2 倍頻率均小于機(jī)床主要工況的激勵(lì)頻率，則可獲得明顯的隔振效果，更有利于光柵尺在顫振等工況下的測(cè)量精度保持。