王培先（山東省青島市城陽(yáng)第一高級(jí)中學(xué) 266108）

隨著新課改的推進(jìn)，廣大教師在日常的教研活動(dòng)中，通過(guò)聽(tīng)課、說(shuō)課與議課等方式共同探討數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)方案，以期進(jìn)一步提升自身的教學(xué)水平與學(xué)科素養(yǎng)。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，有些教師雖然注重教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)，但提出的課堂問(wèn)題在細(xì)節(jié)上總欠些火候，導(dǎo)致課堂教學(xué)少了點(diǎn)“數(shù)學(xué)味”，這也使學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)難以落地生根。細(xì)節(jié)雖小，卻能折射出教師教學(xué)的大理念、大智慧。細(xì)節(jié)是可以預(yù)設(shè)的，陶行知先生說(shuō)過(guò)：“發(fā)明千千萬(wàn)，起點(diǎn)是一問(wèn)?！薄爸钦邌?wèn)的巧，愚者問(wèn)的笨。”好的提問(wèn)方式和精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題能飛到學(xué)生的心坎上，引發(fā)學(xué)生深度思考與積極探究。因此，教師在設(shè)計(jì)有效的教學(xué)活動(dòng)時(shí)，應(yīng)從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度入手，從問(wèn)題細(xì)節(jié)處著手，踐行行知理論，從細(xì)節(jié)上優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、教學(xué)前的分析

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是從橢圓的定義出發(fā)，通過(guò)與圓方程的類(lèi)比推導(dǎo)而來(lái)，推導(dǎo)過(guò)程離不開(kāi)直角坐標(biāo)系與點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)量關(guān)系（方程）的支持。這部分教學(xué)內(nèi)容在整個(gè)高中階段起著至關(guān)重要的作用，其中有很多細(xì)節(jié)值得教師去推敲。精妙的細(xì)節(jié)設(shè)計(jì)能幫助學(xué)生更好地理解知識(shí)本質(zhì)。因此，本文結(jié)合個(gè)人的執(zhí)教經(jīng)驗(yàn)，對(duì)本節(jié)課教學(xué)過(guò)程中的一些問(wèn)題細(xì)節(jié)進(jìn)行分析和探討。

二、問(wèn)題細(xì)節(jié)的思考

問(wèn)題1假設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1與F2的距離是2c，那么橢圓上的任意一點(diǎn)P與F1、F2之間的距離之和是2a(2a＞2c)，為什么不設(shè)F1F2=c，PF1+PF2=a呢？

不少教師對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的第一反應(yīng)就是：這么設(shè)是為了便于運(yùn)算，無(wú)須跟學(xué)生解釋具體的理由。其實(shí)，這是一個(gè)值得深究的問(wèn)題，對(duì)于學(xué)生而言，解決這個(gè)問(wèn)題，便能達(dá)到知其然且知其所以然的境界。

此問(wèn)至少能從四個(gè)方面闡述理由：①按照標(biāo)準(zhǔn)方程建立直角坐標(biāo)系后，設(shè)點(diǎn)方便，可以避免出現(xiàn)分?jǐn)?shù)表示點(diǎn)坐標(biāo)的現(xiàn)象；②因?yàn)楦?hào)里都是整式，沒(méi)有分?jǐn)?shù)，化簡(jiǎn)方程時(shí)運(yùn)算更加便捷；③運(yùn)用a、b、c來(lái)表達(dá)，幾何意義明確；④如此獲得的橢圓方程形式簡(jiǎn)單，更利于用標(biāo)準(zhǔn)方程來(lái)研究其主要性質(zhì)。

若在推導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)方程之后，提出“設(shè)F1F2=c，PF1+PF2=a”這個(gè)假設(shè)，將標(biāo)準(zhǔn)方程與設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)、化簡(jiǎn)的方程以及方程的最后形式相對(duì)比，學(xué)生很快就會(huì)感知到哪種方式的運(yùn)算更加合理、簡(jiǎn)潔。用雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)時(shí)，學(xué)生會(huì)不由自主地聯(lián)想到設(shè)焦距與實(shí)軸長(zhǎng)。

為什么推導(dǎo)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，將焦點(diǎn)與準(zhǔn)線(xiàn)的距離設(shè)為P，而非2p呢？因?yàn)檫@種設(shè)法并不會(huì)減小拋物線(xiàn)方程的化簡(jiǎn)難度。原假設(shè)獲得的結(jié)果y2=2px(p＞0)為整系數(shù)的形式，倘若將焦點(diǎn)與準(zhǔn)線(xiàn)的距離設(shè)為2P，那么標(biāo)準(zhǔn)方程式則為y2=4px(p＞0)，此時(shí)的系數(shù)變大，違背了最簡(jiǎn)原則。

通過(guò)這個(gè)細(xì)節(jié)的分析，可以讓學(xué)生由小見(jiàn)大，明確數(shù)學(xué)假設(shè)必須科學(xué)、合理，且表達(dá)要清晰，遵循最簡(jiǎn)原則，讓結(jié)論最簡(jiǎn)化。

問(wèn)題2建立直角坐標(biāo)系時(shí)，為什么要將橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)所在的直線(xiàn)定為x軸，以F1F2的垂直平分線(xiàn)作為y軸呢？

觀(guān)察圓的方程的不同形式，可以發(fā)現(xiàn)圓的方程形式與圓在坐標(biāo)系中的位置有著直接的關(guān)系。圓心位于原點(diǎn)的圓的方程是最簡(jiǎn)化的，半徑為R、圓心為原點(diǎn)的圓的方程為x2+y2=R2。那么，橢圓方程的最簡(jiǎn)形式是什么呢？為了探尋這個(gè)問(wèn)題，就需要建立合適的直角坐標(biāo)系，從最簡(jiǎn)原則出發(fā)，用最簡(jiǎn)單的形式表達(dá)點(diǎn)坐標(biāo)與曲線(xiàn)方程。

對(duì)橢圓而言，通過(guò)圓心類(lèi)比橢圓的中心不可取，但從另外一個(gè)角度分析，如果以其中一個(gè)焦點(diǎn)作為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，顯然會(huì)出現(xiàn)兩焦點(diǎn)不對(duì)稱(chēng)的現(xiàn)象，若取兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)為原點(diǎn)，則恰到好處。

從整式方程看，若曲線(xiàn)圖形關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，那么曲線(xiàn)方程就不包含y的奇次項(xiàng)；若曲線(xiàn)同時(shí)關(guān)于x、y軸對(duì)稱(chēng)，那么方程不包含x、y的一次項(xiàng)；若曲線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，那么方程則沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)。橢圓給人的第一感覺(jué)就是勻稱(chēng)，此特點(diǎn)為建立坐標(biāo)系帶來(lái)感性的幫助。這種建系方法于雙曲線(xiàn)來(lái)說(shuō)同樣適用，而且在建立拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)能再次得到驗(yàn)證。

問(wèn)題3怎么化簡(jiǎn)橢圓方程?

直線(xiàn)和圓的方程式都比較簡(jiǎn)單，橢圓的方程相對(duì)復(fù)雜，我們當(dāng)然希望化簡(jiǎn)得越簡(jiǎn)單越好。看到此式，首先就想該怎么去根號(hào)，不少教師為了提高教學(xué)效率，會(huì)直接告知學(xué)生，將一個(gè)根號(hào)移到另一邊進(jìn)行平方，即可達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。

細(xì)細(xì)琢磨這種方法，就會(huì)產(chǎn)生不少疑點(diǎn)：①如果不移動(dòng)一個(gè)根號(hào)，而是選擇直接平方，是否可行？②想要化簡(jiǎn)這個(gè)方程，有什么辦法？③化簡(jiǎn)成什么樣子，才是最簡(jiǎn)的式子？對(duì)于此式，教師可從以下幾點(diǎn)進(jìn)行思考。

從視覺(jué)上看，移項(xiàng)之后進(jìn)行平方的方式使等式兩側(cè)各有一個(gè)根號(hào)，比較協(xié)調(diào)，且平方后的項(xiàng)數(shù)又比較少，最高次也只有2次，化簡(jiǎn)方便，因此這是一種比較妥當(dāng)?shù)幕?jiǎn)方法。

2.從化簡(jiǎn)的基本要求考慮，算式盡可能不要含有根號(hào)，項(xiàng)數(shù)越少越好，不要包含分式等，與直線(xiàn)截距方程和圓的方程進(jìn)行類(lèi)比，就能獲得化簡(jiǎn)橢圓方程的終極目標(biāo)。若提前設(shè)置一個(gè)推導(dǎo)橢圓方程的任務(wù)，啟發(fā)學(xué)生通過(guò)與直線(xiàn)截距式方程的類(lèi)比，明確化簡(jiǎn)目標(biāo)，通過(guò)逐步推導(dǎo)，亦可達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，獲取知識(shí)本質(zhì)。

3.究竟該向?qū)W生呈現(xiàn)哪種推導(dǎo)方法？是多講幾種，還是只選擇一種呢？這要結(jié)合學(xué)生實(shí)際與課堂動(dòng)態(tài)情況來(lái)確定。一般首選教材上呈現(xiàn)的方法，讓學(xué)生經(jīng)歷算式運(yùn)算、推導(dǎo)策略與過(guò)程等。在學(xué)生的接受能力范圍內(nèi)與理解能力較好的基礎(chǔ)上，教師可拓展推導(dǎo)方法，或?qū)⑵渌茖?dǎo)方法作為課后研究的課題供學(xué)生思考。

問(wèn)題5在研究橢圓的性質(zhì)以及標(biāo)準(zhǔn)方程的過(guò)程中，涉及哪些數(shù)學(xué)思想方法？

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，但有些教師常常忽視這方面的研究與思考，尤其對(duì)一些隱含的數(shù)學(xué)思想方法置之不理。其實(shí)，解析幾何由代數(shù)與幾何結(jié)合而來(lái)，堪稱(chēng)數(shù)形結(jié)合思想的典范，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程則淋漓盡致地揭示了這些幾何性質(zhì)。類(lèi)比思想也是研究幾何問(wèn)題最常用的方法之一，本節(jié)課借助圓的研究方法，類(lèi)比出橢圓的性質(zhì)，包括后續(xù)雙曲線(xiàn)和橢圓研究方法的類(lèi)比等，無(wú)不凸顯類(lèi)比思想的普遍性與重要性。另外，方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等在本節(jié)課中無(wú)處不在。

三、結(jié)語(yǔ)

課堂教學(xué)舉手投足間都存在著豐富的內(nèi)涵，每一個(gè)看似漫不經(jīng)心的問(wèn)題背后都暗藏著不少玄機(jī)，這就需要教師用心揣摩、體會(huì)、實(shí)踐、顯化，從細(xì)節(jié)上優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生深度思考、積極探究，讓學(xué)生在深度學(xué)習(xí)中培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)科思維與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的成長(zhǎng)。