劉 彪 劉慶源 劉華勇
(安徽建筑大學(xué)數(shù)理學(xué)院,安徽 合肥 230601)
偏微分方程在物理學(xué)、化學(xué)等自然科學(xué)和工程技術(shù)等領(lǐng)域都有著十分廣泛的應(yīng)用。在這些研究領(lǐng)域中經(jīng)常出現(xiàn)很多描述某些物理規(guī)律的方程,稱其為數(shù)學(xué)物理方程。對(duì)這些方程的求解,不僅可以得到一些有實(shí)用價(jià)值的結(jié)論,而且還可以促進(jìn)這些領(lǐng)域的發(fā)展。數(shù)學(xué)物理方程課程的研究對(duì)象是3 類典型的偏微分方程——熱傳導(dǎo)方程、波動(dòng)方程、位勢(shì)方程。這些方程是在物理學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)、工程學(xué)等自然科學(xué)和工程技術(shù)應(yīng)用領(lǐng)域中產(chǎn)生的[1,2]。
數(shù)學(xué)物理方程課程是物理、聲學(xué)和土木工程等理工科專業(yè)本科生的一門專業(yè)基礎(chǔ)課,在實(shí)際教學(xué)過程中,學(xué)生反映課程難學(xué),授課教師表示難教。主要原因有以下幾個(gè):(1)本門課程涉及的相關(guān)課程的知識(shí)點(diǎn)比較多。主要涉及的有高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)和常微分方程的知識(shí),甚至有些章節(jié)還用到復(fù)變函數(shù)和泛函分析的知識(shí)點(diǎn)。(2)本門課程具有很強(qiáng)的理論性、計(jì)算量偏大。3 類經(jīng)典方程求解的過程復(fù)雜,涉及知識(shí)點(diǎn)比較多,推導(dǎo)冗長,學(xué)生比較容易產(chǎn)生畏難心理。(3)學(xué)生理論基礎(chǔ)較好,但是缺乏利用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)建模,進(jìn)而解決實(shí)際問題的能力。作為數(shù)學(xué)理論知識(shí)與解決實(shí)際問題聯(lián)系的一個(gè)非常重要橋梁,本課程具有很強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用背景,是國內(nèi)理工科大學(xué)很多專業(yè)的必修課之一。運(yùn)用數(shù)學(xué)物理方程中的某些方法或理論解決實(shí)際問題,可使學(xué)生開闊眼界,進(jìn)一步提高學(xué)生處理實(shí)際問題的能力,所以這就要求授課教師從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法及教學(xué)模式等方面進(jìn)行有效地創(chuàng)新,不斷積極探索該課程與實(shí)際問題的關(guān)系,加強(qiáng)數(shù)學(xué)物理方程的教學(xué)與實(shí)際應(yīng)用問題的銜接。
(1)在實(shí)際授課過程融入實(shí)際案例,比如,在講解反應(yīng)擴(kuò)散方程時(shí),介紹斑圖形成的原理。能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)物理方程的興趣,提高學(xué)生推導(dǎo)計(jì)算能力,增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維能力,進(jìn)而提高學(xué)生解決相關(guān)實(shí)際問題的能力。
(2)提升數(shù)學(xué)理論知識(shí)的圖形可視性,比如,反應(yīng)擴(kuò)散方程誘導(dǎo)斑圖發(fā)生時(shí)的圖形。隨著數(shù)學(xué)軟件的引入,數(shù)學(xué)問題的直觀性就會(huì)得到充分展現(xiàn)。
(3)在實(shí)際教學(xué)中,針對(duì)不同專業(yè)的學(xué)生講解內(nèi)容側(cè)重點(diǎn)不同。但是,重點(diǎn)不變的是與本門課程相關(guān)內(nèi)容的實(shí)際物理背景以及凸顯的基本數(shù)學(xué)思想。
利用Matlab 軟件,對(duì)數(shù)學(xué)物理方程中的相關(guān)模型求解,可以使抽象、復(fù)雜的問題簡單化、具體化、形象化,因此將Matlab 軟件合理運(yùn)用在教學(xué)過程中,可以降低教與學(xué)的難度,并通過對(duì)圖形的直觀認(rèn)識(shí)和理解,更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,調(diào)動(dòng)學(xué)生的創(chuàng)造力,發(fā)揮學(xué)生的想象力。
反應(yīng)擴(kuò)散方程作為3 類經(jīng)典物理方程之一,具有很強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用背景。同時(shí),反應(yīng)擴(kuò)散方程也可以解決許多實(shí)際問題,如各種動(dòng)物的外表的形成,生物體的自組織反應(yīng),神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)信息傳播,刻畫化學(xué)反應(yīng)中反應(yīng)物與抑制劑相互作用的過程[3]。本節(jié)將給出幾個(gè)反應(yīng)擴(kuò)散方程并利用Matlab 軟件仿真系統(tǒng)不同時(shí)間時(shí),時(shí)空解的演化趨勢(shì)。
第一,二維復(fù)Ginzburg-Landau 方程[4]
ut=(1+iv)Δu+u-(1+iμ)u|u|2,其中(x,y)∈Ω=[0,100]×[0,100],v,μ 為參數(shù),令v=0,μ=1.5,邊界條件為周期邊界條件,初值為u(0,x,y)=(ix+y)exp(-0.03(x2+y2))。
圖1 (a)表示系統(tǒng)的螺旋解(b)表示系統(tǒng)產(chǎn)生破缺現(xiàn)象(c)表示系統(tǒng)發(fā)生了混沌現(xiàn)象
第二,二維Gray-Scott 方程[5]。
ut=ξ1Δu+b(1-u)-uv2,vt=ξ2Δv+dv+uv2,其中,(x,y)∈Ω=[0,2]×[0,2],ξ1=0.00002,ξ2=0.00001為擴(kuò)散系數(shù)。初值為u(0,x,y)=1-exp(-80((x+0.05)2+(y+0.02)2)),v(0,x,y)=exp(-80((x-0.05)2+(y-0.02)2))。邊界條件為周期邊界條件。
圖2 (a)系統(tǒng)在t=3 500 時(shí)的Rolls 解,(b)系統(tǒng)在t=3 500 時(shí)的點(diǎn)狀解
第三,一類具有隨機(jī)Gaussian 分布項(xiàng)的捕食食餌模型[6]
第四,具有Beddington-DeAngelis 功能反應(yīng)函數(shù)的超擴(kuò)散反應(yīng)捕食食餌模型[7]
圖3 系統(tǒng)發(fā)生Hopf 分支時(shí),時(shí)間周期解的演化過程
圖4 參數(shù)在Turing-Hopf(余維-2)分支點(diǎn)附近選取時(shí),分?jǐn)?shù)階算子指數(shù)對(duì)系統(tǒng)時(shí)空周期斑圖的影響
式中:▽?duì)?為分?jǐn)?shù)階Riesz 算子,γ∈(1,2)邊界條件為Dirichlet 條件。參數(shù)取值分別為s=1,m=0.01,n=0.5,d=0.5,d1=0.2。當(dāng)d2=2.923,r=1.555 6 時(shí),系統(tǒng)發(fā)生余維-2 的Turing-Hopf 分支。(u0,v0)=(0.1+10-3(cosx+cosy),0.18+10-3(cosx+cosy))。
本文以反應(yīng)擴(kuò)散方程為例,介紹了幾類方程在不同邊界條件下,選擇合適的參數(shù)時(shí),數(shù)值仿真實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)時(shí)空解的演化趨勢(shì)的可視化教學(xué),所以在實(shí)際教學(xué)中適當(dāng)引入Matlab 軟件,能夠幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)概念、理解幾類邊界條件和時(shí)空解的內(nèi)涵、邏輯推演等,可有效地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)物理方程的積極性和創(chuàng)新性,進(jìn)一步擴(kuò)展拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和邏輯推演能力。同時(shí)Matlab 等軟件的使用有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性,更有利于教師探究性學(xué)習(xí)和翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式的開展;可以讓教師的教和學(xué)生的學(xué),更加關(guān)注物理圖像背后的概念與思想,實(shí)現(xiàn)領(lǐng)悟數(shù)學(xué)物理方程的思想。