劉 彪 劉慶源 劉華勇

（安徽建筑大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽 合肥 230601）

0 引言

偏微分方程在物理學(xué)、化學(xué)等自然科學(xué)和工程技術(shù)等領(lǐng)域都有著十分廣泛的應(yīng)用。在這些研究領(lǐng)域中經(jīng)常出現(xiàn)很多描述某些物理規(guī)律的方程，稱其為數(shù)學(xué)物理方程。對(duì)這些方程的求解，不僅可以得到一些有實(shí)用價(jià)值的結(jié)論，而且還可以促進(jìn)這些領(lǐng)域的發(fā)展。數(shù)學(xué)物理方程課程的研究對(duì)象是3 類典型的偏微分方程——熱傳導(dǎo)方程、波動(dòng)方程、位勢(shì)方程。這些方程是在物理學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)、工程學(xué)等自然科學(xué)和工程技術(shù)應(yīng)用領(lǐng)域中產(chǎn)生的[1，2]。

數(shù)學(xué)物理方程課程是物理、聲學(xué)和土木工程等理工科專業(yè)本科生的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，在實(shí)際教學(xué)過程中，學(xué)生反映課程難學(xué)，授課教師表示難教。主要原因有以下幾個(gè)：（1）本門課程涉及的相關(guān)課程的知識(shí)點(diǎn)比較多。主要涉及的有高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)和常微分方程的知識(shí)，甚至有些章節(jié)還用到復(fù)變函數(shù)和泛函分析的知識(shí)點(diǎn)。（2）本門課程具有很強(qiáng)的理論性、計(jì)算量偏大。3 類經(jīng)典方程求解的過程復(fù)雜，涉及知識(shí)點(diǎn)比較多，推導(dǎo)冗長，學(xué)生比較容易產(chǎn)生畏難心理。（3）學(xué)生理論基礎(chǔ)較好，但是缺乏利用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)建模，進(jìn)而解決實(shí)際問題的能力。作為數(shù)學(xué)理論知識(shí)與解決實(shí)際問題聯(lián)系的一個(gè)非常重要橋梁，本課程具有很強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用背景，是國內(nèi)理工科大學(xué)很多專業(yè)的必修課之一。運(yùn)用數(shù)學(xué)物理方程中的某些方法或理論解決實(shí)際問題，可使學(xué)生開闊眼界，進(jìn)一步提高學(xué)生處理實(shí)際問題的能力，所以這就要求授課教師從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法及教學(xué)模式等方面進(jìn)行有效地創(chuàng)新，不斷積極探索該課程與實(shí)際問題的關(guān)系，加強(qiáng)數(shù)學(xué)物理方程的教學(xué)與實(shí)際應(yīng)用問題的銜接。

（1）在實(shí)際授課過程融入實(shí)際案例，比如，在講解反應(yīng)擴(kuò)散方程時(shí)，介紹斑圖形成的原理。能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)物理方程的興趣，提高學(xué)生推導(dǎo)計(jì)算能力，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維能力，進(jìn)而提高學(xué)生解決相關(guān)實(shí)際問題的能力。

（2）提升數(shù)學(xué)理論知識(shí)的圖形可視性，比如，反應(yīng)擴(kuò)散方程誘導(dǎo)斑圖發(fā)生時(shí)的圖形。隨著數(shù)學(xué)軟件的引入，數(shù)學(xué)問題的直觀性就會(huì)得到充分展現(xiàn)。

（3）在實(shí)際教學(xué)中，針對(duì)不同專業(yè)的學(xué)生講解內(nèi)容側(cè)重點(diǎn)不同。但是，重點(diǎn)不變的是與本門課程相關(guān)內(nèi)容的實(shí)際物理背景以及凸顯的基本數(shù)學(xué)思想。

利用Matlab 軟件，對(duì)數(shù)學(xué)物理方程中的相關(guān)模型求解，可以使抽象、復(fù)雜的問題簡單化、具體化、形象化，因此將Matlab 軟件合理運(yùn)用在教學(xué)過程中，可以降低教與學(xué)的難度，并通過對(duì)圖形的直觀認(rèn)識(shí)和理解，更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的創(chuàng)造力，發(fā)揮學(xué)生的想象力。

1 反應(yīng)擴(kuò)散方程

反應(yīng)擴(kuò)散方程作為3 類經(jīng)典物理方程之一，具有很強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用背景。同時(shí)，反應(yīng)擴(kuò)散方程也可以解決許多實(shí)際問題，如各種動(dòng)物的外表的形成，生物體的自組織反應(yīng)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)信息傳播，刻畫化學(xué)反應(yīng)中反應(yīng)物與抑制劑相互作用的過程[3]。本節(jié)將給出幾個(gè)反應(yīng)擴(kuò)散方程并利用Matlab 軟件仿真系統(tǒng)不同時(shí)間時(shí)，時(shí)空解的演化趨勢(shì)。

第一，二維復(fù)Ginzburg-Landau 方程[4]

ut=（1+iv）Δu+u-（1+iμ）u|u|2，其中（x，y）∈Ω=[0，100]×[0，100]，v，μ 為參數(shù)，令v=0，μ=1.5，邊界條件為周期邊界條件，初值為u（0，x，y）=（ix+y）exp（-0.03（x2+y2））。

圖1 （a）表示系統(tǒng)的螺旋解（b）表示系統(tǒng)產(chǎn)生破缺現(xiàn)象（c）表示系統(tǒng)發(fā)生了混沌現(xiàn)象

第二，二維Gray-Scott 方程[5]。

ut=ξ1Δu+b（1-u）-uv2，vt=ξ2Δv+dv+uv2，其中，（x，y）∈Ω=[0，2]×[0，2]，ξ1=0.00002，ξ2=0.00001為擴(kuò)散系數(shù)。初值為u（0，x，y）=1-exp（-80（（x+0.05）2+（y+0.02）2）），v（0，x，y）=exp（-80（（x-0.05）2+（y-0.02）2））。邊界條件為周期邊界條件。

圖2 （a）系統(tǒng)在t=3 500 時(shí)的Rolls 解，（b）系統(tǒng)在t=3 500 時(shí)的點(diǎn)狀解

第三，一類具有隨機(jī)Gaussian 分布項(xiàng)的捕食食餌模型[6]

第四，具有Beddington-DeAngelis 功能反應(yīng)函數(shù)的超擴(kuò)散反應(yīng)捕食食餌模型[7]

圖3 系統(tǒng)發(fā)生Hopf 分支時(shí)，時(shí)間周期解的演化過程

圖4 參數(shù)在Turing-Hopf（余維-2）分支點(diǎn)附近選取時(shí)，分?jǐn)?shù)階算子指數(shù)對(duì)系統(tǒng)時(shí)空周期斑圖的影響

式中：▽?duì)?為分?jǐn)?shù)階Riesz 算子，γ∈（1，2）邊界條件為Dirichlet 條件。參數(shù)取值分別為s=1，m=0.01，n=0.5，d=0.5，d1=0.2。當(dāng)d2=2.923，r=1.555 6 時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生余維-2 的Turing-Hopf 分支。（u0，v0）=（0.1+10-3（cosx+cosy），0.18+10-3（cosx+cosy））。

2 結(jié)語

本文以反應(yīng)擴(kuò)散方程為例，介紹了幾類方程在不同邊界條件下，選擇合適的參數(shù)時(shí)，數(shù)值仿真實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)時(shí)空解的演化趨勢(shì)的可視化教學(xué)，所以在實(shí)際教學(xué)中適當(dāng)引入Matlab 軟件，能夠幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)概念、理解幾類邊界條件和時(shí)空解的內(nèi)涵、邏輯推演等，可有效地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)物理方程的積極性和創(chuàng)新性，進(jìn)一步擴(kuò)展拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和邏輯推演能力。同時(shí)Matlab 等軟件的使用有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性，更有利于教師探究性學(xué)習(xí)和翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式的開展；可以讓教師的教和學(xué)生的學(xué)，更加關(guān)注物理圖像背后的概念與思想，實(shí)現(xiàn)領(lǐng)悟數(shù)學(xué)物理方程的思想。