江蘇省無錫市第一中學(xué) 黃 榮 (郵編：214031)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》強調(diào)應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題，將數(shù)學(xué)建模作為發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要課題[1]．本文以“三角函數(shù)的應(yīng)用”一課為例，談?wù)勱P(guān)于培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的教學(xué)思考．

1 內(nèi)容分析

作為刻畫周期變化規(guī)律的一種重要模型，三角函數(shù)模型具有廣泛應(yīng)用，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的優(yōu)良載體．“三角函數(shù)的應(yīng)用”是三角函數(shù)概念、圖象和性質(zhì)等知識的應(yīng)用和自然延續(xù)．本節(jié)以物理模型引入，創(chuàng)設(shè)真實情境，呈現(xiàn)豐富多樣、富有思考性的案例，通過數(shù)學(xué)建模與探究活動，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)；還可以反過來促進對三角函數(shù)相關(guān)知識的理解和運用，并為學(xué)習(xí)回歸分析作必要鋪墊．

2 目標(biāo)分析

基于對課標(biāo)和教材的研讀，將本節(jié)課目標(biāo)定位如下：

(1)能將周期變化的實際問題抽象為三角函數(shù)模型，并用三角函數(shù)知識解決問題；

(2)經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)建模過程，明晰數(shù)學(xué)建模解決問題的基本流程，體驗三角函數(shù)的應(yīng)用價值，感悟數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián)性；

(3)經(jīng)歷用y=Asin(ωx+φ)刻畫彈簧振子振動的過程，了解振幅、頻率、初相、相等概念；

(4)進一步完善對三角函數(shù)概念的理解，初步體會回歸分析的思想．

3 教學(xué)問題診斷與對策分析

診斷學(xué)生可能遇到的主要問題，并提出相應(yīng)的教學(xué)對策，具體如下：

(1)面對復(fù)雜的實際問題，學(xué)生在心理上存在畏難情緒，在數(shù)學(xué)思維上也存有障礙．教學(xué)時要創(chuàng)造民主寬松的課堂氛圍，創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生的真實情境，拉近學(xué)生與數(shù)學(xué)的距離，消彌畏難情緒；其次要深度分析學(xué)生的認(rèn)知障礙，在思維的最近發(fā)展區(qū)搭建必要的腳手架，以求突破疑難，提升學(xué)習(xí)信心．

(2)物理背景知識滯后于數(shù)學(xué)內(nèi)容，導(dǎo)致學(xué)生不易理解簡諧運動的相關(guān)物理概念．首先，應(yīng)當(dāng)尊重教材，簡諧運動是三角函數(shù)模型的經(jīng)典案例，不能回避；其次，杜絕照本宣科，應(yīng)結(jié)合三角函數(shù)概念將簡諧運動背后的數(shù)學(xué)原理講清講透，不妨用圓的投影去思考，既減輕認(rèn)知負(fù)擔(dān)，又契合本節(jié)課的主題．

(3)學(xué)生慣于固守“構(gòu)造直角三角形”的初中方法，不能正確運用三角函數(shù)的概念構(gòu)建數(shù)學(xué)模型．如果一味灌輸“建系，構(gòu)建三角函數(shù)”的解題套路，只是強化記憶模仿，無助于理解三角函數(shù)的概念．可結(jié)合具體案例(如彈簧振子和摩天輪)，讓學(xué)生經(jīng)歷暴露思維的過程，從而凸顯建系運用定義的優(yōu)勢，完善對三角函數(shù)概念的建構(gòu)．

4 教學(xué)流程設(shè)計

4.1 創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

情境通過之前所學(xué)，我們知道三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的一種重要函數(shù)模型．生活中很多現(xiàn)象都可以用三角函數(shù)模型來刻畫．

問題嘗試列舉一些能用三角函數(shù)模型刻畫的周期現(xiàn)象．

學(xué)生活動舉例如心電圖，聲波，潮汐，摩天輪．

設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生思考發(fā)現(xiàn)身邊的三角函數(shù)模型，感悟三角函數(shù)的應(yīng)用價值，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)．

4.2 物理情境，建構(gòu)概念

情境物理中物體作簡諧運動(如單擺、彈簧振子振動)，是一種來回往復(fù)的周期運動．如圖1，彈簧振子在豎直方向振動，O為平衡位置，規(guī)定向上偏移的位移為正，設(shè)到達最高點C時位移最大值為A．

圖1 圖2

問題如圖2，點P作勻速圓周運動，角速度ω rad/s，根據(jù)物理知識，彈簧振子的振動可以看做點P在直線l上的投影．設(shè)從P0開始記時，嘗試求出相對于平衡位置的位移y關(guān)于時間t的函數(shù)關(guān)系．

設(shè)計意圖教材呈現(xiàn)振幅、頻率、初相和相等物理概念較為直接，但鑒于學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容所需的物理知識相對滯后，因此不宜照本宣科．通過畫圖結(jié)合勻速圓周運動的投影進行解釋有兩個作用．一是數(shù)形結(jié)合，使得相關(guān)概念易于被學(xué)生接受；二是溫故知新，鞏固三角函數(shù)的概念，為后面建模作了鋪墊．

4.3 已知模型，直接用模

例1無錫作為歷史文化名城，風(fēng)景秀麗，春秋季為旅游黃金季節(jié)．某天0-16時氣溫變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b(A>0，ω>0)(函數(shù)圖象如圖3所示)．

圖3

(1)求出這段曲線的函數(shù)解析式；

(2)求x=12h時的氣溫；

(3)什么時間段溫度不低于30℃．

設(shè)計意圖本例已知問題符合三角函數(shù)模型，“用?！奔纯?，即直接利用三角函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式，再解決其他兩問，問題相對簡單，旨在通過學(xué)生的親自運算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算能力，初步感悟三角函數(shù)的應(yīng)用．

4.4 未知模型，探究建模

例2“太湖之星”水上摩天巨輪聳立于無錫市蠡湖北岸，“太湖之星”半徑為50 m，點O距水面的高度為65 m，摩天輪逆時針做勻速轉(zhuǎn)動，每18 min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點P的起始位置在最低點處P0．

(1)將點P距離水面的高度z(單位：m)表示為時間t(單位：min)的函數(shù)；

(2)在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有多長時間點P距離水面高度超過90 m？

圖4

設(shè)計意圖本例需要學(xué)生“建模”，通過解決真實問題，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)建模過程，體悟三角函數(shù)模型解決問題的有效性．解決此類問題學(xué)生常犯兩個錯誤：一是慣性思維，習(xí)慣于不建坐標(biāo)系，依賴圖形利用幾何關(guān)系求出高度，但是這樣做需要分類討論，不適宜；二是先入為主，默認(rèn)z和t滿足z=Asin(ωt+φ)+b.在教學(xué)中，教師要應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到不建系的弊端，通過分析、比較，引導(dǎo)學(xué)生打破慣性思維，回歸三角函數(shù)的定義，并對z和t滿足z=Asin(ωt+φ)+b的理由予以分析說明，培養(yǎng)思維的嚴(yán)密性．

例3貨船一般在漲潮靠近碼頭卸貨，在落潮時返航．下面為某港口時刻與水深的關(guān)系表．

時刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深/m5.07.55.02.55.07.55.02.55.0

(1)選用適宜的三角函數(shù)近似描述水深與時間的函數(shù)關(guān)系；

(2)一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為4 m，安全條例規(guī)定至少要有1.5 m的安全間隙(船底與水底的距離)，該船何時能進入港口？在港口能待多久？

探索你還能提出什么有意義的問題嗎？

師生活動學(xué)生自主建構(gòu)函數(shù)模型計算求解，教師巡視點撥．

設(shè)計意圖本例源于教材“應(yīng)用與建模”，屬于提高性要求，以表格形式呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，開放性增強，需要學(xué)生通過觀察、畫散點圖等方法自主選擇適宜的三角函數(shù)模型，進而擬合建模解決問題，不僅進一步體驗了完整的建模過程，也為今后學(xué)習(xí)回歸分析作了鋪墊．

4.5 課堂小結(jié)，提煉升華

(1)一個基本核心：構(gòu)建三角函數(shù)模型解決實際問題．

(2)兩種建模方法：運用三角函數(shù)定義，運用數(shù)據(jù)擬合．

(3)三大數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，回歸定義，函數(shù)方程．

(4)引申拓展：查閱資料，進一步了解三角函數(shù)的應(yīng)用(提供課外讀本)．

設(shè)計意圖提煉學(xué)習(xí)重點，形成知識方法的脈絡(luò)體系，鼓勵學(xué)生用發(fā)現(xiàn)的眼光，探尋三角的應(yīng)用，感悟數(shù)學(xué)的美妙．

5 指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的教學(xué)思考

5.1 創(chuàng)設(shè)真實情境，培育建模意識

數(shù)學(xué)建模是針對現(xiàn)實問題，基于數(shù)學(xué)視角發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的過程．因此對于數(shù)學(xué)建模的教學(xué)，要注重精心創(chuàng)設(shè)貼合學(xué)情的真實情境，逐步培育建模意識．比如本節(jié)課的“太湖之星”摩天輪情境，既可激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，又有思維挑戰(zhàn)，讓學(xué)生切實感悟到數(shù)學(xué)源于生活又用于生活．此外，對問題情境的設(shè)計還要具有一定的層次性，如本節(jié)課的三個案例，氣溫問題、摩天輪問題、港口水深問題，從“直接用模”，到“定向性建?！?，再到“開放性建模”，逐層深入，各有側(cè)重，通過讓學(xué)生解決不同類型、不同層次的問題，在思維碰撞中培育建模意識，形成建模素養(yǎng)．

5.2 化解認(rèn)知疑難，提升建模能力

數(shù)學(xué)建模的教學(xué)要基于對學(xué)情的診斷分析，著力化解認(rèn)知疑難，讓學(xué)生將更多時間集中于建模本身，從而提升建模能力．高中三角函數(shù)的概念與初中有著本質(zhì)不同，打破固有思維并非易事，所以建構(gòu)和完善三角函數(shù)的概念應(yīng)該貫穿于整個單元．本節(jié)課通過彈簧振子和摩天輪兩個案例自然地滲透了三角函數(shù)的概念，從而化解了認(rèn)知疑難，培養(yǎng)了建模能力．

5.3 融入信息技術(shù)，增強建模實效

融入信息技術(shù)，增強數(shù)學(xué)建模的實效性，是信息化時代數(shù)學(xué)建模教學(xué)的必由之路．其一，利用信息技術(shù)可以創(chuàng)設(shè)豐富多彩的生活情境，有助于激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，如本節(jié)課利用PPT展示“太湖之星”摩天輪，抓住學(xué)生眼球引入問題；其二，利用信息技術(shù)可以構(gòu)建形象的直觀情境，有助于揭示問題本質(zhì)，如本節(jié)課利用幾何畫板展示彈簧振子的振動，讓陌生抽象的簡諧振動變得直觀可感、易于理解；其三，利用信息技術(shù)可以繪制圖形、處理數(shù)據(jù)，有助于節(jié)省時間，讓學(xué)生從事更有價值的觀察、思考和探究活動[2]，如本節(jié)課利用GGB擬合港口水深關(guān)于時間的曲線．

5.4 加強知識整合，探索項目建模

真實問題具有現(xiàn)實性、綜合性、復(fù)雜性等特征，會涉及跨單元的知識內(nèi)容，如本節(jié)課中，牽涉數(shù)據(jù)處理、函數(shù)擬合等知識，可根據(jù)學(xué)情作必要鋪墊．更進一步，數(shù)學(xué)建模還會牽涉跨學(xué)科知識，如簡諧運動具有明顯的物理背景，氣溫、港口水深問題則涉及地理學(xué)科，勢必就要打破學(xué)科壁壘，加強知識整合[3]，實施跨學(xué)科的項目化建模教學(xué)，如此才能讓數(shù)學(xué)建模走向更深處，這將是今后數(shù)學(xué)建模教學(xué)需要積極探索的方向．