安徽省金寨第一中學(xué) 六安市徐道奎名師工作室 徐道奎 (郵編：237300)

1 問題提出

根據(jù)普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版，2020年修訂)，人教版新教材對(duì)概率內(nèi)容進(jìn)行了調(diào)整,在原教材(課程標(biāo)準(zhǔn)·實(shí)驗(yàn)版對(duì)應(yīng)的教材)條件概率的基礎(chǔ)上增加了樣本空間(有限)、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式(選學(xué))等內(nèi)容，新增內(nèi)容使得高中概率知識(shí)體系更加完整，尤其條件概率、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式的整體“融入”，強(qiáng)化了條件概率在求解概率問題中的應(yīng)用，有利于學(xué)生全面領(lǐng)悟概率的本質(zhì).

條件概率及新增的內(nèi)容概念性強(qiáng)，邏輯性強(qiáng)，運(yùn)用概念和公式時(shí)對(duì)問題的分析和推理能力要求高，因此，對(duì)教師教學(xué)要求高.

條件概率、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式(以下稱為一個(gè)概念三個(gè)公式)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維方式和邏輯推理能力，形成解決概率問題的能力，掌握概率問題解決的方法，體悟概念和公式的現(xiàn)實(shí)和哲學(xué)上意義，落實(shí)“立德樹人”的根本任務(wù)，都有著特別重要的價(jià)值.本文就條件概率定義(概念)及條件概率定義之后的乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式的教學(xué)談一點(diǎn)認(rèn)識(shí).

2 學(xué)情分析

學(xué)生學(xué)習(xí)“一個(gè)概念，三個(gè)公式”之前已初步掌握了概率的基本概念，初步理解樣本空間，樣本點(diǎn)，古典概型，事件及其關(guān)系，能夠理解并事件、和事件、互斥事件、對(duì)立事件的基本含義.而這一部分內(nèi)容(選擇性必修(第三冊(cè)))一般安排在高二下學(xué)期或高三上學(xué)期學(xué)習(xí)，學(xué)生的邏輯思維能力，直觀觀察能力和問題探究意識(shí)相比之前的概率學(xué)習(xí)時(shí)明顯增強(qiáng).不利因素是，學(xué)生對(duì)通過概率研究隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)事件的方法不適應(yīng)，習(xí)慣于用“統(tǒng)計(jì)”的方法解決概率問題，對(duì)一些抽象的概念不理解，缺乏解決概率問題的基本方法(事件和樣本空間分析).

3 邏輯關(guān)系

(1)條件概率是理解并進(jìn)行復(fù)雜概率運(yùn)算的基礎(chǔ)，乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式是條件概率的應(yīng)用和拓展.條件概率的本質(zhì)是縮小樣本空間后的事件概率，通過古典概型(或其他概型)，抽象概括成條件概率的概念(定義式)[1].

(2)將條件概率的“定義式”進(jìn)行變形即可得到乘法公式，乘法公式與條件概率定義式是概率的同一關(guān)系的不同顯現(xiàn)形式，由乘法公式立即可以得到獨(dú)立事件概率計(jì)算公式.乘法公式徹底解決了積事件概率問題.

(3)全概率公式是概率加法和乘法公式的綜合運(yùn)用，其本質(zhì)是將一個(gè)復(fù)雜事件的概率分解成若干個(gè)兩兩互斥的事件“相并”的概率，用以解決由“原因”事件引起“結(jié)果”事件概率問題，從已知的可求的事件的概率推算未知的復(fù)雜事件的概率是概率論問題解決的基本思想，全概率公式充分體現(xiàn)了這一思想.

(4)貝葉斯公式

貝葉斯公式是條件概率、全概率公式和概率乘法公式的融合.貝葉斯公式的本質(zhì)是條件概率，其應(yīng)用的意義在于，按照事件發(fā)生發(fā)展的順序針對(duì)“結(jié)果”反求“原因”的概率問題.

4 體系建構(gòu)

“一個(gè)概念三個(gè)公式”的教學(xué)重心是概念的建立，其中，條件概率和全概率公式是相對(duì)初始的概念，是概念建立的關(guān)鍵環(huán)節(jié).

4.1 條件概率：分析“事件”和“空間”，抽象、概括形成概念

如前所述，條件概率的本質(zhì)是縮小樣本空間后事件概率.人教版教材A版(以下簡(jiǎn)稱“教材”)采取“問題情境——思考探究——抽象概括”的方式，以古典概型為基礎(chǔ)，得出條件概率的概念(定義式)，值得注意的是，條件概率雖從古典概型推出，但其適用范圍卻具有一般性，也適用于其他概型.

條件概率概念的建立要抓住“事件”和“空間”進(jìn)行分析，要分析“條件”是必然性還是“隨機(jī)”性，是以“條件”重構(gòu)的樣本空間還是在原樣本空間中運(yùn)用“條件”.因此，“事件”“空間”和“條件”是概念建立的關(guān)鍵詞.

(1)對(duì)條件A的理解.第一，從縮小樣本空間的角度上看，在條件“已經(jīng)發(fā)生”的基礎(chǔ)上，樣本空間縮小了，是在縮小了的空間上用概率模型或概率計(jì)算方法求解概率.第二，從概率之間的相互聯(lián)系分析，在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率P(B|A)又與在原樣本空間上事件A發(fā)生的概率P(A)有關(guān)系，正因?yàn)榇藭r(shí)的P(A)是事件A在原樣本空間發(fā)生的概率，因而事件A在原樣本空間里不是“必然發(fā)生”的事件，不是“發(fā)生過了”的事件，而是隨機(jī)事件.

(2)對(duì)P(B|A)和P(AB)的分析.學(xué)生容易混淆P(B|A)和P(AB)，認(rèn)為它們都是“事件A發(fā)生了，事件也B發(fā)生了”，實(shí)際上，它們有著本質(zhì)的區(qū)別.第一，前者指縮小樣本空間后事件B發(fā)生的概率，此時(shí)，事件A已經(jīng)發(fā)生了，以A發(fā)生為條件重新組構(gòu)樣本空間.第二，后者指原樣本空間上事件A、B同時(shí)發(fā)生的概率，此時(shí)事件A不一定是必然發(fā)生的事件，一般為隨機(jī)事件.亦即，第一，它們的樣本的空間不同，前者以事件A發(fā)生為條件，縮小了樣本空間即ΩA，后者是原來樣本空間Ω沒有改變.第二，事件不同，前者是針對(duì)縮小樣本空間后的事件B，后者是針對(duì)原樣本空間的事件AB.

教學(xué)時(shí)一定要搞清楚P(B|A)和P(AB)兩者的不同，否則，之后的“三個(gè)公式”教學(xué)就會(huì)出現(xiàn)誤區(qū)，陷入困境.

(5)條件概率的性質(zhì).根據(jù)條件重構(gòu)樣本空間、縮小樣本空間后“新”的樣本空間上概率的性質(zhì)即是條件概率的性質(zhì)(見教材).

案例1(2022全國(guó)高考Ⅰ卷第20題)試題略.

分析第二問的第(ⅰ)問.考查意圖：考查條件概率定義式，如果把左右兩邊的條件概率都進(jìn)行轉(zhuǎn)化，就有以下解法一.

所以，左邊=右邊，原式得證.

如果從左邊直接向右邊轉(zhuǎn)化，需要將左邊的條件概率用定義式轉(zhuǎn)化，化成“一般”(非條件)概率，然后把“一般”(非條件)概率再轉(zhuǎn)化為變換“條件”后的條件概率，體現(xiàn)了“條件”的相對(duì)性.

4.2 乘法公式：注重條件的變化，條件概率定義的變式運(yùn)用

由①式得乘法公式，P(AB)=P(A)·P(B|A)，P(AB)=P(B)·P(A|B)②.②式與①式是等價(jià)的，說明在求積事件AB概率時(shí)，“條件”可以是A，也可以是B，積事件中的“條件”是相對(duì)的.“一個(gè)概念，三個(gè)公式”的概念建立環(huán)環(huán)相扣，積事件中“條件”的變化是之后理解貝葉斯公式的基礎(chǔ).

運(yùn)用公式②時(shí)，由于P(B|A)與P(AB)在同一式子中，我們一般通過縮小樣本空間先求出條件概率P(B|A)，再用公式②求積事件AB的概率.

兩個(gè)事件的積事件概率公式可以推廣到n個(gè)事件，即之前發(fā)生的事件作為之后事件發(fā)生的條件.

直觀上，當(dāng)事件A與B相互獨(dú)立時(shí)，事件A發(fā)生與否對(duì)事件B發(fā)生的概率沒有影響，此時(shí)P(B|A)=P(B)(P(A)>0)，P(A|B)=P(A)(P(B)>0注意：作為條件的事件其概率必須大于零)，相應(yīng)的，公式②變成了P(AB)=P(A)·P(B)③.如果從直觀上判定兩個(gè)事件是獨(dú)立事件后，③式是作為獨(dú)立事件的結(jié)論的，如果我們假定或已知兩個(gè)事件相互獨(dú)立，則可以用③式的結(jié)論求積事件概率了.而如果從獨(dú)立事件定義角度上看，③式則作為判斷獨(dú)立事件的條件.

以下四條中的任意一條均可作為判斷獨(dú)立性的條件[6]：

(1)P(AB)=P(A)·P(B).

(2)P(B|A)=P(B)(P(A)>0).

4.3 全概率公式：抓住事件的轉(zhuǎn)化，積事件、和事件的綜合運(yùn)用

全概率公式概是概率論又一個(gè)難點(diǎn)，其概念建立的關(guān)鍵是處理好事件的關(guān)系，尤其是通過對(duì)事件的發(fā)生發(fā)展的“路徑”分析和樣本空間中事件關(guān)系的分析把事件進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

建立概念時(shí)，可按照“形成全概率公式初步印象(形式)→建立全概率公式意圖和思想方法→全概率公式的證明→全概率公式的直觀理解→全概率公式應(yīng)用要點(diǎn)”的思路進(jìn)行.

(1)形成全概率公式的初步印象

案例2甲袋中裝有3只紅球和2只白球，乙袋中2只紅球和5只白球，現(xiàn)從甲袋中任取一球放入乙袋， 再從乙袋中任取一球，求從乙袋中取出的是紅球的概率.

設(shè)計(jì)意圖以事件的發(fā)生發(fā)展把事件進(jìn)行轉(zhuǎn)化的“樸素”的思維方式，處理好事件關(guān)系，滲透分類討論思想.

由概率的有限可加性和乘法公式，得

全概率公式的基本含義是通過事件轉(zhuǎn)化求解概率.怎樣把事件進(jìn)行轉(zhuǎn)化呢？第一，當(dāng)一個(gè)事件發(fā)生有多種情況時(shí)，要考慮分類，通過分類理出事件發(fā)生發(fā)展的條理.第二，分類后的每一個(gè)事件一般不再是“單一”的事件，而是積事件.第三，事件轉(zhuǎn)化后，通過和事件與積事件求概率.

(2)建立全概率公式意圖和思想方法

把一個(gè)復(fù)雜事件變成若干個(gè)互斥事件相并，通過并事件(互斥)概率和積事件概率乘法公式即可求得復(fù)雜事件的概率，這就是全概率公式的基本思想.

全概率公式是概率論的重要內(nèi)容，生產(chǎn)實(shí)踐中我們遇到的事件是復(fù)雜的，用“隱含的事件關(guān)系簡(jiǎn)單”“概率關(guān)系簡(jiǎn)單”的事件表示復(fù)雜事件，然后求其概率是我們處理概率問題的基本方法.

(3)全概率公式及其證明

全概率公式可以利用并事件與積事件概率關(guān)系證明.由于B=B∩Ω，所以B=B∩(A1∪A2∪…∪An)=(BA1)∪(BA2)∪…∪(BAn)，由概率性質(zhì)，

P(B)=P(BA1)+P(BA2)+…+P(BAn)，再由積事件公式②，④式即得證.

(4)注重通過邏輯和直觀理解全概率公式

注重通過“邏輯”和“直觀”理解全概率公式.全概率公式的邏輯基礎(chǔ)是并事件、積事件的概率，用并事件求概率體現(xiàn)了求事件概率的分類討論思想.從邏輯的角度上講，原樣本空間Ω被分成n個(gè)兩兩互斥事件A1,A2,…,An后，在原樣本空間中的每一個(gè)Ai(i=1,2,…n)上，事件B就是積事件BAi(教材和教師用書中，“新的樣本空間上事件B就是積事件AB”[2]即是這個(gè)含義)，而P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)，求出事件B在原樣本空間的每一個(gè)Ai(i=1,2,…n)上發(fā)生其概率和即可.

直觀上，可以借助于概率“樹圖”和韋恩圖分析，以集合視角理解全概率公式.教學(xué)時(shí)，要根據(jù)高中學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，對(duì)照直觀的圖形，用通俗易懂的語言解釋全概率公式.

(5)全概率公式的運(yùn)用要領(lǐng)

第一，化難為易，找準(zhǔn)樣本空間及空間的合理“劃分”.

用全概率公式解決概率問題，關(guān)鍵要理解原樣本空間和該空間的一個(gè)“劃分”的意義，什么是樣本空間的一個(gè)“劃分”，為什么要?jiǎng)澐?？以“教材”的?為例，樣本空間的樣本點(diǎn)是三臺(tái)機(jī)床加工的零件，顯然，這個(gè)樣本點(diǎn)要分為第一臺(tái)、第二臺(tái)和第三臺(tái)機(jī)床加工的零件，相應(yīng)的事件“任取一個(gè)零件為次品”有三種情況，即取出的次品是第一臺(tái)生產(chǎn)的、第二臺(tái)生產(chǎn)的和第三臺(tái)生產(chǎn)的.如果不把空間進(jìn)行劃分，問題理不出條理，我們稱事件中隱含的關(guān)系復(fù)雜.因此，劃分樣本空間，可以突出樣本空間的層次，使事件關(guān)系變得簡(jiǎn)單.

有些問題，明顯可以看出構(gòu)成“空間”的樣本點(diǎn)(基本事件)具有不同的類型，這往往也是我們劃分空間的標(biāo)準(zhǔn).

第二，用全概率公式解決問題的基本路徑是：①全概率問題一般涉及事件和“條件”，所以要用字母表示相應(yīng)的事件，這里的“事件”盡量“單一”，一般不交叉，如：涉及男女性別不同和色盲與否的問題，一般不用如：“男生色盲”“女生不色盲”作為一個(gè)事件，而用“男生”“女生”“色盲”“不色盲”為一個(gè)事件.②根據(jù)問題所反映的“事實(shí)”，確定具體的樣本空間及其“構(gòu)成”空間中的樣本點(diǎn)(基本事件).③分析樣本空間中的事件有沒有層次和不同的類型，依據(jù)事件的層次和類型進(jìn)行空間劃分.④分析問題中(題目)的每一個(gè)條件，把條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的“事件關(guān)系”或“事件的概率”.⑤根據(jù)全概率公式進(jìn)行計(jì)算.

案例3(根據(jù)文[3]例題改編) 根據(jù)數(shù)據(jù)分析，一種較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，某班級(jí)學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的學(xué)生有90%的可能會(huì)做，學(xué)習(xí)能力不強(qiáng)的學(xué)生有90%的可能不會(huì)做.據(jù)分析，這個(gè)班有80%的學(xué)生其學(xué)習(xí)能力是強(qiáng)的(可認(rèn)為任意抽取一個(gè)學(xué)生，其有80%的可能性是學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的).

(1)現(xiàn)隨機(jī)選一名學(xué)生，其會(huì)做的可能性有多大？

(2)若某個(gè)學(xué)生會(huì)做，其多大可能是學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的？

實(shí)踐性強(qiáng)是醫(yī)學(xué)學(xué)科的一大特點(diǎn)。模擬醫(yī)學(xué)教學(xué)的主要特點(diǎn)是教學(xué)場(chǎng)景高仿真、可重復(fù)。在醫(yī)學(xué)診斷學(xué)，醫(yī)學(xué)解剖學(xué)等領(lǐng)域已取得了顯著效果[18]。由于患者隱私權(quán)保護(hù)，維權(quán)意識(shí)提高，尋求醫(yī)療服務(wù)質(zhì)量的心理需求等因素下，全科醫(yī)生仍然缺乏直接對(duì)患者行有創(chuàng)操作的機(jī)會(huì)。模擬醫(yī)學(xué)教學(xué)環(huán)境創(chuàng)造了安全可靠的教學(xué)平臺(tái)，且有利于激勵(lì)全科醫(yī)生全面提高技能。

全概率公式教學(xué)的難點(diǎn)是：當(dāng)A1,A2,…,An都是引發(fā)事件B發(fā)生的原因時(shí)(A1∪A2∪…∪An=Ω，Ai·Aj=?，P(Ai)>0,i=1,2,…,n，)，為什么B=(BA1)∪(BA2)∪…∪(BAn)(事件關(guān)系的轉(zhuǎn)化式)？突破難點(diǎn)有一個(gè)過程，不能急于求成，要滲透于概念形成的各個(gè)環(huán)節(jié)，在全概率概念建立和完善之后，要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)“事件關(guān)系的轉(zhuǎn)化式”的意義.

(1)自然語言的直觀意義是：事件B發(fā)生總是在樣本空間的每一個(gè)Ai空間中與事件Ai同時(shí)發(fā)生.

(2)邏輯的角度(最嚴(yán)謹(jǐn))分析為：B=B∩Ω，A1∪A2∪…∪An=Ω.

(3)集合的視角理解是：樣本空間Ω上，事件B與Ai交集的并集(參看圖1).

圖1

(4)結(jié)論反映的本質(zhì)是(從事件的概率關(guān)系反觀事件關(guān)系)：事件B在樣本空間Ω上發(fā)生的概率是它在該空間的每一個(gè)劃分Ai上發(fā)生概率的加權(quán)平均數(shù)[4].這個(gè)“權(quán)”即P(Ai).

4.4 貝葉斯公式：領(lǐng)悟概率問題解決的思維轉(zhuǎn)化，概念、公式的全面融合

貝葉斯公式的本質(zhì)是條件概率，從思維策略上分析，全概率公式和貝葉斯公式體現(xiàn)了解決概率問題的兩種不同的思維方式，前者“由因推果”，分類討論，用來解決已知“原因”事件求“結(jié)果”事件概率的問題，后者“執(zhí)果尋因”，“分析每個(gè)原因?qū)Y(jié)果所做的貢獻(xiàn)”，用以求解已知“結(jié)果”發(fā)生時(shí)，“某個(gè)原因”事件導(dǎo)致的概率.

案例4(人教版教材例5，題略)

分析問題涉及零件是否為次品和來自哪一臺(tái)車床，因此，要先把事件用字母表示，理出事件及其關(guān)系條理.設(shè)B=“任取一零件為次品”，Ai=“零件為第i(i=1,2,3)臺(tái)車床加工”.整個(gè)問題圍繞B和Ai(i=1,2,3)展開，顯然A1，A2，A3兩兩互斥，A1∪A2∪A3=Ω，P(B|A1)=0.06，P(B|A2)=P(B|A3)=0.05，P(A1)=0.25，P(A2)=0.30，P(A3)=0.45.

(1)求P(B).因?yàn)锳1，A2，A3是樣本空間Ω的一個(gè)劃分，所以，由全概率公式，P(B)=P(B|A1)+P(B|A2)+P(B|A3)=0.0525.

重點(diǎn)分析第二問.

(2)題目要我們求P(Ai|B)(i=1,2,3).

就是貝葉斯公式，即條件概率.

問題解決的出發(fā)點(diǎn)是條件概率，通過改變“條件”求積事件(P(A1B))概率，再結(jié)合全概率公式(求P(B)時(shí)用全概率公式，A1∪A2∪A3=Ω，A1，A2，A3是樣本空間的一個(gè)劃分)，問題得到解決.這樣，即可得出貝葉斯公式的基本形式.

貝葉斯公式是條件概率、全概率公式、乘法公式的融合，教學(xué)的關(guān)鍵是理順其與條件概率、全概率公式之間的邏輯聯(lián)系和公式自身的邏輯關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生理解公式的本質(zhì)及其意義.公式的結(jié)論形成后要引導(dǎo)學(xué)生分析：(1)公式的來龍去脈，怎樣由條件概率推出公式.(2)公式的意義，已知“結(jié)果”的概率求某個(gè)“原因”概率是改變“條件”后概率之間的關(guān)系.(3)公式中哪一部分用積事件概率求出，哪一部分通過全概率公式求出.

貝葉斯公式的運(yùn)用，使我們充分理解了條件概率、乘法公式和全概率公式之間的聯(lián)系，在生產(chǎn)實(shí)踐中，貝葉斯公式的這種“執(zhí)果尋因”的意義更為重要.

案例5大數(shù)據(jù)表明，50周歲以上男性的低風(fēng)險(xiǎn)人群中，每1000名中有3名患有結(jié)腸癌(以下簡(jiǎn)稱為“J病”).如果一名男性患有“J病”，其大便檢查有隱血的可能性是50%，如果沒有患“J病”，其大便檢查有隱血的可能性只有3%.現(xiàn)有一50周歲低風(fēng)險(xiǎn)男性的大便檢查有隱血，問其患“J病”的概率有多大？

問題意圖貝葉斯公式，“執(zhí)果尋因”.

分析用字母表示出相關(guān)事件，A：50周歲低風(fēng)險(xiǎn)男性患“J病”；B：大便檢查有隱血.

由貝葉斯公式⑥，

貝葉斯公式之所以著名，“在于其現(xiàn)實(shí)以至哲理意義上的解釋”，在不知事件B是否發(fā)生的情況下，人們把A1，A2，…，An發(fā)生的可能性P(A1)，P(A2)，…，P(An)，稱為“先驗(yàn)概率”，現(xiàn)在已知事件B發(fā)生，人們對(duì)Ai發(fā)生的可能性大小就按照公式⑤進(jìn)行估計(jì)，稱為“后驗(yàn)概率”.

5 結(jié)束語

“一個(gè)概念，三個(gè)公式”的教學(xué)絕不能止于公式的記憶和死板教條的應(yīng)用，要讓學(xué)生理解概念、公式之間的聯(lián)系，把握概念和公式的本質(zhì).第一，以條件概率為邏輯起點(diǎn)，理順關(guān)系，掌握知識(shí)間的邏輯結(jié)構(gòu).第二，要充分理解“條件概率”之于三個(gè)公式的意義，“條件”的相對(duì)性，“條件”的變化.第三，要掌握通過“事件”引領(lǐng)，注重事件的轉(zhuǎn)化和樣本空間的分析，以事件和空間串聯(lián)問題線索的問題解決方法，分析事件之間關(guān)系、概率之間關(guān)系.