郝俊紅， 鄔學峰， 張師寧， 田 亮， 戈志華

（華北電力大學 能源動力與機械工程學院，北京 102206）

引 言

“雙碳”戰(zhàn)略的提出和新型電力系統的建設與快速發(fā)展，對各類儲能方式都提出了新要求，如容量大、功率高、安全可靠、經濟成本低等[1].其中，儲熱材料在太陽能熱利用、光熱發(fā)電、居民采暖、電網調峰、余熱回收以及建筑節(jié)能等領域具有重要的研究和應用價值[2-3].然而，由于儲熱材料種類繁多，物性差異大，應用場景豐富，不同儲熱材料在儲熱、釋熱過程的外加激勵不同，其動態(tài)響應也存在較大差異，與相關的傳熱介質和傳熱方式關系密切，如何快速高效地選配儲熱材料和換熱工質，一直是學者們關注的研究重點.

目前，針對儲熱材料的動態(tài)特性，眾多研究者采用數值模擬[4-8]、實驗分析[9-10]和理論分析[11-14]等方法研究儲熱材料及不同結構的動態(tài)傳熱特性.如在數值模擬方面，Al-Sanea 等[4]通過有限體積法數值模擬研究墻體的動態(tài)傳熱特性以優(yōu)化墻體絕緣層厚度；Kuravi 等[5]對熱能存儲系統的動態(tài)行為進行數值研究，以評估儲熱材料熔化的影響因素；Li 等[6]基于Modelica 語言對陶瓷材料的瞬態(tài)傳熱過程進行建模數值模擬，分析了材料儲熱、釋熱的動態(tài)特性.在實驗分析方面，馬令勇等[9]通過搭建實驗平臺對含有儲熱材料的屋頂進行研究，對比分析了材料不同物性參數對屋頂動態(tài)傳熱的影響；Pedersen[10]通過大量實驗數據總結出水滴撞擊熱表面時的破裂速度與水滴狀態(tài)對傳熱系數的影響.在理論分析方面，Artmann 等[11]利用一維熱傳導的解析解，量化了建筑結構的動態(tài)儲熱能力，以分析不同參數對結構動態(tài)儲熱能力的影響；Ozel[12]采用隱式有限差分法研究墻體內不同絕緣層位置的瞬態(tài)傳熱時間延遲與衰減因子，并優(yōu)化了墻體分布.上述這些方法均能夠較好地計算材料和結構的瞬態(tài)傳熱響應，但針對不同的應用場景，不能對不同類型的儲熱材料進行歸一化的動態(tài)表征，并且儲熱系統與其他系統集成時，多維建模不利于跨系統的一體化整體分析.

另外，針對材料與結構的動態(tài)傳熱特性研究，已經有學者[15-16]明確了瞬態(tài)傳熱中的電容效應，并且Liu 等[17]通過比較瞬態(tài)電路中節(jié)點電流表達與非Fourier 傳熱中熱流表達的相似性，為電路分析法運用于研究材料和結構的動態(tài)傳熱特性提供了理論依據.而能量流法的提出[18-19]，將儲熱材料的瞬態(tài)傳熱過程進行熱電類比，構建的能量流模型可有效簡化計算過程，使得儲熱過程與熱系統能夠有效結合[20-21].如He 等[22]和邵衛(wèi)等[23]從能量守恒微分方程推導得出換熱器的瞬態(tài)熱量流模型，用于計算換熱器的瞬態(tài)響應，并提出了時間常數用于表征換熱器壁溫對流體溫度變化響應的快慢.Duan 等[24]和He 等[25]在計算單層和多層結構的瞬態(tài)傳熱時，對結構進行劃分并引入節(jié)點溫度，獲得了單層及多層墻體和熱防護的瞬態(tài)熱量流模型，以計算結構的瞬態(tài)傳熱響應，得到時間常數表征結構的瞬態(tài)傳熱響應的快慢.楊婧等[26]構建了熱網的熱電比擬模型用于求解熱網管道的瞬態(tài)響應，并推導得出了時間常數以表征管道出口溫度隨入口溫度變化響應的快慢.由此可見，瞬態(tài)熱量流模型可以很好地應用于材料和結構的瞬態(tài)傳熱計算中，并通過時間常數來表征材料的瞬態(tài)響應快慢.

本文從能量守恒微分方程出發(fā)，推導得出儲熱材料與流體換熱過程中的瞬態(tài)換熱熱阻，獲得儲熱材料與流體換熱的瞬態(tài)熱量流模型，提出以加熱、儲熱、釋熱時間常數對儲熱材料瞬態(tài)傳熱達到穩(wěn)態(tài)的快慢進行歸一化協同表征，并開展數值模擬仿真，驗證了所提出的基于多時間常數的歸一化動態(tài)模型表征含義的準確性和可行性.最后，進一步提出該模型的使用場景，對多類傳熱、儲熱材料進行了對比分析.

1 儲熱材料的瞬態(tài)傳熱模型

對儲熱材料與流體的換熱過程進行簡化分析，假設儲熱材料在與流體換熱時，熱流體、冷流體分別從儲熱材料的上表面、下表面流過.圖1 給出了二維視角下儲熱材料儲熱與釋熱時的換熱示意圖.熱流體、冷流體通道的寬度分別為δh和δc，其進口溫度分別為Th,i和Tc,i，熱容率（比熱容與質量流速的乘積）分別為Gh和Gc，熱容分別為Ch和Cc，儲熱材料的厚度為δ，熱容為Cs，其中間平面的平均溫度為Tm.并建立以進口位置為y軸，冷熱流體流動方向為x軸的坐標系.

圖1 儲熱材料瞬態(tài)換熱模型Fig. 1 The dynamic heat transfer model for heat storage materials

1.1 瞬態(tài)熱量流模型的建立

參考文獻[23]，從導熱微分方程和能量守恒微分方程出發(fā)，對于一定厚度的儲熱材料，其內部傳熱熱阻不可忽略，可以得到反映冷熱流體與儲熱材料中間面之間換熱關系的能量守恒微分方程：

式中Th，Tc分別為熱流體和冷流體的溫度，k為流體與壁面的對流傳熱系數，kh，kc分別為儲熱材料壁面與熱側流體和冷側流體的傳熱系數，L為儲熱材料長度，λ 為材料自身的熱導率，A為傳熱面積.式(1)描述了熱流體中熱量的變化，等式左側第一項表示熱流體中儲存熱量隨時間變化的非穩(wěn)態(tài)項，第二項表示因為流體與材料換熱，流體沿流動方向上熱量的變化，等式右側表示流體與材料中間面的熱量交換項.式(2)表示冷流體中的熱量變化，其中每一項的物理含義均與式(1)相同.式(3)左側表示材料中熱量隨時間變化的非穩(wěn)態(tài)項，右側第一項表示材料內部熱量在x方向的傳遞，第二、三項分別表示材料中間面與冷熱流體的熱量交換項.

假設材料與流體交接界面?zhèn)鳠嵯禂稻鶆?，材料內部溫度在x方向上保持均勻，僅隨時間變化，式(3)右側第一項可以忽略.假設流體流量和熱容率足夠大，流體內熱量隨時間變化的非穩(wěn)態(tài)項相比于流體沿流動方向熱量的變化很小，忽略式(1)、(2)左邊第一項.因此，式(1) ～ (3)可簡化為

式(8)、(9)中Th,i(t)，Tc,i(t)分別為熱流體和冷流體的進口溫度，將Th(x,t)，Tc(x,t)代入式(7)中，并從0 到L進行積分，取平均值，得到儲熱材料中熱量隨時間的變化關系：

將冷熱流體進口溫度與材料中間面溫度的傳熱溫差作為驅動勢，將傳熱溫差與換熱量之間的比值定義為傳熱熱阻，那么式(10)可以改寫為

結合熱電類比理論，將溫差類比為電路中的電勢差，熱阻類比為電阻，儲熱材料的熱容類比為電路中的電容，可得到儲熱材料換熱過程中的瞬態(tài)熱量流模型如圖2 所示.其中，熱流體向儲熱材料傳遞的熱量為Qh，材料向冷流體散熱為Qc，其中Qh-Qc的熱量儲存到材料中.

圖2 傳熱過程瞬態(tài)熱流模型Fig. 2 The transient heat flow model for heat transfer process

類比節(jié)點電流方程，式(12)可以看作以中間面為節(jié)點的熱量流方程，結合RC 電路中電容的零狀態(tài)響應，對式(12)從0 到t進行積分，便可得到材料中間面溫度隨時間的變化關系：

類比電路響應中的時間常數，τ 為儲熱材料瞬態(tài)熱量流模型的時間常數，表征傳熱達到穩(wěn)態(tài)的快慢程度.儲熱材料的快慢程度不僅與儲熱材料的熱容有關，還與冷熱流體的對流傳熱能力及傳熱材料的導熱能力有關.時間常數越小，儲熱材料越快達到穩(wěn)態(tài)；時間常數越大，儲熱材料達到穩(wěn)態(tài)越慢.

1.2 三階電路瞬態(tài)熱量流模型

為了更為準確地反映材料中間面溫度在外加激勵下的動態(tài)響應，參考文獻[25]，引入節(jié)點溫度Th,w，Tc,w，并經過對比驗證采取文獻中不同的劃分方式，將材料平均劃分為三份更能準確地反映材料中間表面溫升.Th,w，Tc,w分別為熱流體、冷流體與材料交接界面的節(jié)點溫度，節(jié)點位置與材料內部發(fā)生熱傳導，與冷熱流體發(fā)生對流換熱，如圖3 所示.增加節(jié)點方程個數，得到分層之后的能量守恒微分方程組：

圖3 儲熱材料分層示意圖Fig. 3 The layering diagram for the thermal storage materials

改寫后的式(16)、(17)建立了冷熱流體與節(jié)點之間的熱量變化關系，式(18) ～ (20)表示每一控制容積的熱量變化.

對引入節(jié)點后的微分方程組(16) ～ (20)采用上述的方法進行處理，仍以流體進口溫度代替流體沿程平均溫度，重新定義冷熱流體與材料中心面的換熱熱阻，每一控制容積的熱容都單獨類比為一個電容，便可以得到三階電路瞬態(tài)熱量流模型的節(jié)點熱量流方程組：

根據推導出的節(jié)點熱量流方程組，可得到傳熱過程的三階電路瞬態(tài)熱量流模型，如圖4 所示.繼續(xù)對式(21) ～ (23)進行積分，便可得到三個節(jié)點溫度隨時間變化的關系式：

圖4 三階電路瞬態(tài)熱流模型Fig. 4 The transient heat flow model for the 3rd-order circuit

由式(26) ～ (28)可以更精確地計算出材料中間面溫度的響應變化.類比電路分析，三階電路瞬態(tài)熱量流模型得到的三類時間常數τh，τc，τm分別定義為加熱、儲熱、釋熱時間常數，表征熱流體向材料傳熱、材料內部傳熱、材料向冷流體傳熱的快慢，并協同表征整個傳熱過程到達穩(wěn)態(tài)的快慢.從加熱、釋熱時間常數τh，τc的表達式可以看出，不同類型的儲熱材料和換熱流體組合時，會有不同的時間常數.針對動態(tài)換熱能力，以時間常數為依據可以為儲熱材料選取適合的換熱流體.儲熱時間常數τm只與材料的物性參數有關，說明中間控制容積達到穩(wěn)態(tài)的快慢不受外界影響，可以用于分析材料自身的動態(tài)傳熱特性.上述三個時間常數針對不同的換熱流體和儲熱材料，均可用來表示其瞬態(tài)傳熱過程，是一種歸一化的動態(tài)表征方法.

2 模型驗證及分析

為驗證基于多時間常數的瞬態(tài)熱量流模型，與有限元法計算結果進行對比.以圖1 所示模型為例，流道參數恒定，流道寬度均為3 cm，為保證流體到材料處達到充分發(fā)展，流道長度設為50 cm，材料長度L為20 cm，為方便觀察，初始溫度均設為300 K.采用FLUENT 進行驗證，網格采用Mesh 劃分的結構化網格，流體出口采用壓力出口邊界條件，流體流動選擇k-ε 標準湍流模型，算法選擇Simple 算法.表1 給出了仿真驗證設置，并將仿真計算所得換熱系數代入瞬態(tài)熱量流模型中，選取材料中間面平均溫度作為參考溫度進行對比.

表1 仿真驗證設置Table 1 Simulation verification settings

圖5 給出了不同流體與儲熱材料搭配時瞬態(tài)熱量流模型計算結果與仿真計算結果的對比，其中，FLUENT、TEAM1、TEAM2 分別為使用FLUENT 有限單元法、一階電路瞬態(tài)熱量流模型、三階電路瞬態(tài)熱量流模型計算出的結果.可以看出，一階電路瞬態(tài)熱量流模型與仿真計算結果變化趨勢相似，穩(wěn)態(tài)溫度也基本相同，但存在較大誤差，三階電路瞬態(tài)熱量流模型計算結果無論在瞬態(tài)階段還是穩(wěn)態(tài)階段，都能夠更好地與仿真結果擬合.因此，運用三階電路瞬態(tài)熱量流模型計算儲熱材料的瞬態(tài)傳熱過程更為合理.

圖5 瞬態(tài)熱流模型與仿真結果對比：（a）仿真1；（b）仿真2；（c）仿真3Fig. 5 Comparison between transient heat flow models and simulation results: (a) simulation 1; (b) simulation 2; (c) simulation 3

從表2 中可以看出，不同儲熱材料與換熱流體搭配時，計算所得時間常數存在明顯差異.表2 與圖5 結合來看，計算所得時間常數越大，達到穩(wěn)態(tài)越慢；時間常數越小，達到穩(wěn)態(tài)越快，以時間常數的大小可以簡單反映儲熱材料與換熱流體的動態(tài)傳熱與儲熱能力，三類時間常數可以協同表征瞬態(tài)傳熱達到穩(wěn)態(tài)的快慢.

表2 時間常數Table 2 Time constants

針對材料厚度δ 均為10 cm 的氧化鈣，冷側流體流速為1 m/s、溫度為300 K 的水，熱側流體速度為2 m/s、溫度為350 K.當儲熱材料與冷側流體保持不變，而熱側流體的類型發(fā)生變化時，表3 和圖6 給出了加熱時間常數和儲熱材料中心溫度的變化.所得到的加熱時間常數不同，并且材料中間面溫升快慢也不同，其中case 3 的加熱時間常數最小，傳熱過程最快達到穩(wěn)態(tài)，case 2 的加熱時間常數最大，達到穩(wěn)態(tài)時間最慢，與換熱流體的密度、比熱和導熱系數均有關系.由此可見，針對材料與流體的動態(tài)換熱能力，以時間常數為標準，可以為儲熱材料與換熱流體的選配提供依據.

表3 三種情況下熱流體物理性質及加熱時間常數Table 3 Physical properties and heating time constants of the thermal fluid in 3 cases

圖6 三種情況下三階電路瞬態(tài)熱量流模型計算結果Fig. 6 Calculation results of the 3rd-order circuit transient heat flux model in 3 cases

瞬態(tài)熱量流模型與仿真結果結合來看，不同參數的材料和流體搭配時，溫度變化速率不同.熱流體或冷流體的熱容率、流速越大，加熱或釋熱時間常數越小，材料內部溫度變化越快.材料越厚、熱導率越小，其內部傳熱熱阻越大，材料儲熱時間常數越大，其內部溫度變化越慢；材料的熱容越大，所能存儲的熱量越多，三類時間常數均越大，材料內部溫度變化越慢.通過計算得出三類時間常數，可以綜合考慮流體與材料各類參數對儲熱系統動態(tài)換熱能力的影響.

3 基于歸一化動態(tài)模型的不同材料對比分析

上述提及的基于多時間常數的歸一化動態(tài)表征模型能夠用來反映儲熱材料與換熱流體之間的儲熱與換熱動態(tài)關系.本節(jié)將運用三階電路瞬態(tài)熱量流模型及時間常數，對多類不同儲熱材料與換熱流體的組合進行對比分析.

3.1 高溫流體與固體儲熱材料換熱分析

太陽能熱發(fā)電系統中需要高溫流體與固體儲熱材料來實現高溫儲熱和放熱.如表4 所示的液態(tài)金屬高溫換熱流體與表5 所示的固體儲熱材料.在對比分析中，采用了相同的換熱與儲熱結構，換熱流體通道寬度均為3 cm，材料長度L為20 cm，材料厚度δ 為10 cm.其中，熱流體流速均為3 m/s，進口溫度為773.15 K，材料的初始溫度為300 K，冷側流體保持一致，均為溫度300 K、流速3 m/s 的水.其中流體與材料表面的換熱系數由FLUENT 計算得出，具體物性參數如表4 和表5 所示.

表4 換熱流體物性參數[27]Table 4 Physical parameters of heat exchanger fluids[27]

表5 儲熱材料物性參數[28]Table 5 Physical parameters of heat storage materials[28]

從表6 和圖7 可以看出，只考慮流體與儲熱材料物性參數影響下的動態(tài)換熱能力，液態(tài)金屬與材料換熱時能更快達到穩(wěn)態(tài).其中液態(tài)鋰與硅質耐火磚、鎂質耐火磚、鋼筋混凝土換熱時加熱時間常數最小，液態(tài)鈉與鑄鐵、鑄鋼換熱時加熱時間常數最小，HTS 熔融鹽加熱時間常數均最大.對于鑄鐵、鑄鋼高導熱系數、大熱容的材料，換熱流體對換熱達到穩(wěn)態(tài)的快慢影響較小，對于同一材料不同換熱流體的加熱時間常數的差別在1 s以內，對于硅質耐火磚、鎂質耐火磚、鋼筋混凝土，換熱流體對換熱達到穩(wěn)態(tài)的快慢影響有所增大，加熱時間常數的差別在10 s 以內.可見，對換熱達到穩(wěn)態(tài)的速率影響主要來自于儲熱材料.

表6 加熱時間常數(單位：s)Table 6 Heating time constants (unit: s)

圖7 不同換熱流體下儲熱材料中間面的溫升：（a）硅質耐火磚；（b）鎂質耐火磚；（c）鋼筋混凝土；（d）鑄鐵；（e）鑄鋼Fig. 7 Temperature rises of intermediate surfaces of thermal storage materials in different heat exchange fluids: (a) silicon refractory bricks; (b) magnesia refractory bricks; (c) reinforced concrete; (d) cast iron; (e) cast steel

3.2 高溫氣體與陶瓷材料換熱分析

陶瓷材料以其優(yōu)秀的熱傳導能力和化學性質穩(wěn)定的特點廣泛應用于工業(yè)儲熱領域，儲熱陶瓷材料多為多孔結構，主要用于吸收高溫氣體的熱量[29].下面簡單以加熱時間常數反映不同陶瓷材料在與高溫氣體換熱時達到穩(wěn)態(tài)的快慢，評價不同氣體與陶瓷材料組合時的動態(tài)換熱能力.陶瓷材料初始溫度為300 K，物性參數由表7 給出，所選流體通道和材料尺寸與3.1 小節(jié)中保持一致，高溫氣體流速為3 m/s，進口溫度為673.15 K，物性參數由表8 給出，低溫氣體保持空氣不變，進口溫度為300 K，流速為3 m/s.

表7 陶瓷儲熱材料物性參數[30]Table 7 Physical parameters of ceramic heat storage materials[30]

表8 高溫氣體物性參數[31]Table 8 Physical parameters of high temperature gases[31]

只考慮陶瓷材料的動態(tài)儲熱能力時，從表9 和圖8 中可以看出，由于換熱氣體的物性參數差別較小，使得其對不同陶瓷材料的加熱時間常數和溫升狀況影響差別不大，不同氣體和同一陶瓷材料換熱時的時間常數差別也在10 s 以內.相比較CO2和水蒸氣，空氣與不同種類陶瓷材料換熱時，加熱時間常數更小，能夠更快達到穩(wěn)態(tài).由此可見，針對陶瓷材料的儲熱，在選擇換熱氣體時可以優(yōu)先選擇空氣.

表9 加熱時間常數(單位：s)Table 9 Heating time constants (unit: s)

圖8 不同換熱流體下陶瓷材料中間面的溫升：（a）石英；（b）碳化硅；（c）剛玉Fig. 8 Temperature rises of ceramic material intermediate surfaces under different heat exchange fluids: (a) quartz; (b) silicon carbide; (c) corundum

4 結 論

儲熱材料與換熱流體的協同考慮及歸一化動態(tài)表征是儲熱系統中材料快速選擇與綜合設計的關鍵基礎.本文基于標準熱阻模型和能量流法，從能量守恒微分方程出發(fā)，推導得出儲熱材料與流體的瞬態(tài)換熱熱阻，并得到儲熱-傳熱過程的一階電路、三階電路瞬態(tài)熱量流模型，推導獲得了加熱、儲熱和釋熱三類時間常數，以此協同表征儲熱材料的動態(tài)響應特性.通過數值仿真計算，驗證了瞬態(tài)熱量流模型及時間常數表征含義的可行性和準確性.進一步基于多時間常數的歸一化動態(tài)表征模型，對不同應用場景中儲熱材料與換熱流體的適配性進行了對比分析.分析結果表明，當儲熱材料為硅質耐火磚、鎂質耐火磚、鋼筋混凝土時，流體選用液態(tài)鋰可以更早達到穩(wěn)態(tài)；而儲熱材料為鑄鐵、鑄鋼時，與液態(tài)鈉換熱能夠更早達到穩(wěn)態(tài).高溫工況下，對于石英、碳化硅、剛玉等儲熱材料，換熱氣體選用空氣，換熱達到穩(wěn)態(tài)最快.總之，本文提出的歸一化動態(tài)熱量流模型可有效簡化儲熱材料的瞬態(tài)傳熱計算，通過時間常數為儲熱材料與換熱流體的選配提供了依據，為儲熱系統與其他系統的綜合建模分析奠定了基礎.

參考文獻（ References ） ：

［1］ 陳海生, 李泓, 馬文濤, 等. 2021年中國儲能技術研究進展[J]. 儲能科學與技術, 2021, 11（3）: 1052-1076. （CHEN Haisheng, LI Hong, MA Wentao, et al. Research progress of energy storage technology in China in 2021[J].Energy Storage Science and Technology, 2021, 11（3）: 1052-1076.（in Chinese））

［2］ 姜竹, 鄒博楊, 叢琳, 等. 儲熱技術研究進展與展望[J]. 儲能科學與技術, 2021, 38（5）: 1-26. （JIANG Zhu, ZOU Boyang, CONG Lin, et al. Recent progress and outlook of thermal energy storage technologies[J].Energy Storage Science and Technology, 2021, 38（5）: 1-26.（in Chinese））

［3］ 汪翔, 陳海生, 徐玉杰, 等. 儲熱技術研究進展與趨勢[J]. 科學通報, 2017, 62（15）: 1602-1610. （WANG Xiang,CHEN Haisheng, XU Yujie, et al. Advances and prospects in thermal energy storage: a critical review[J].Chinese Science Bulletin, 2017, 62（15）: 1602-1610.（in Chinese））

［4］AL-SANEA S A, ZEDAN M F. Improving thermal performance of building walls by optimizing insulation layer distribution and thickness for same thermal mass[J].Applied Energy, 2011, 88（9）: 3113-3124.

［5］KURAVI S, TRAHAN J, RAHMAN M M, et al. Analysis of transient heat transfer in a thermal energy storage module[C]//Proceedings of the ASME 2010 International Mechanical Engineering Congress and Exposition. Vancouver, Canada, 2010: 1251-1258.

［6］LI Q, BAI F, YANG B, et al. Dynamic simulations of a honeycomb ceramic thermal energy storage in a solar thermal power plant using air as the heat transfer fluid[J].Applied Thermal Engineering, 2018, 129: 636-645.

［7］TAHER N B, BOUKADIDA N, LAJIMI N. Thermal response of a composite building envelope under the climatic conditions of Tunisia[C]//Proceedings of the 2018 9th International Renewable Energy Congress（IREC）.Hammamet, Tunisia, 2018: 1-6.

［8］ 張荻, 郭帥, 謝永慧. 基于球窩結構冷卻通道的強化傳熱數值及實驗研究[J]. 應用數學和力學, 2014, 35（3）: 254-263.（ZHANG Di, GUO Shuai, XIE Yonghui. Numerical and experimental study of heat transfer enhancement based on the structure of cooling-channels with dimples[J].Applied Mathematics and Mechanics, 2014, 35（3）: 254-263.（in Chinese））

［9］ 馬令勇, 朱永健, 鄭雨蒙, 等. 含石蠟玻璃屋頂動態(tài)傳熱性能分析[J]. 熱科學與技術, 2018, 17（6）: 444-448. （MA Lingyong, ZHU Yongjian, ZHENG Yumeng, et al. Analysis of dynamic heat transfer performance of glass roof containing paraffin[J].Journal of Thermal Science and Technology, 2018, 17（6）: 444-448.（in Chinese））

［10］PEDERSEN C. An experimental study of the dynamic behavior and heat transfer characteristics of water droplets impinging upon a heated surface[J].International Journal of Heat and Mass Transfer, 1970, 13（2）: 369-381.

［11］ARTMANN N, MANZ H, HEISELBERG P. Parametric study on the dynamic heat storage capacity of building elements[C]//Proceedings of the 28th AIVC Conference. Crete, Island, 2007 .

［12］OZEL M. Effect of insulation location on dynamic heat-transfer characteristics of building external walls and optimization of insulation thickness[J].Energy and Buildings, 2014, 72: 288-295.

［13］ 李長玉, 方彥奎, 劉福旭, 等. 熱防護服-空氣-皮膚熱傳導模型及其解析解[J]. 應用數學和力學, 2021, 42（2）: 162-169.（LI Changyu, FANG Yankui, LIU Fuxu, et al. A thermal protective clothing-air-skin heat conduction model and its analytical solution[J].Applied Mathematics and Mechanics, 2021, 42（2）: 162-169.（in Chinese））

［14］ 周保良, 李志遠, 黃丹. 二維瞬態(tài)熱傳導的PDDO分析[J]. 應用數學和力學, 2022, 43（6）: 660-668. （ZHOU Baoliang,LI Zhiyuan, HUANG Dan. PDDO analysis of 2D transient heat conduction problems[J].Applied Mathematics and Mechanics, 2022, 43（6）: 660-668.（in Chinese））

［15］OLIVETI G, ARCURI N, MAZZEO D, et al. A new parameter for the dynamic analysis of building walls using the harmonic method[J].International Journal of Thermal Sciences, 2015, 88: 96-109.

［16］FRAISSE G, VIARDOT C, LAFABRIE O, et al. Development of a simplified and accurate building model based on electrical analogy[J].Energy and Buildings, 2002, 34（10）: 1017-1031.

［17］LIU Y, LI L, WANG J. A novel relation for heat flow using Maxwell thermoelectricity analogy[J].International Communications in Heat and Mass Transfer, 2020, 117: 104745.

［18］ 陳群, 郝俊紅, 付榮桓, 等. 基于(火積 )理論的熱系統分析和優(yōu)化的能量流法[J]. 工程熱物理學報, 2017, 38（7）: 1376-1383. （CHEN Qun, HAO Junhong, FU Ronghuan, et al. Entransy-based power flow method for analysis and optimization of thermal systems[J].Journal of Engineering Thermophysics, 2017, 38（7）: 1376-1383.（in Chinese））

［19］CHEN Q, HAO J H, ZHAO T. An alternative energy flow model for analysis and optimization of heat transfer systems[J].International Journal of Heat and Mass Transfer, 2017, 108: 712-720.

［20］CHEN Q, FU R H, XU Y C. Electrical circuit analogy for heat transfer analysis and optimization in heat exchanger networks[J].Applied Energy, 2015, 139: 81-92.

［21］ZHAO T, MIN Y, CHEN Q, et al. Electrical circuit analogy for analysis and optimization of absorption energy storage systems[J].Energy, 2016, 104: 171-183.

［22］HE K L, CHEN Q, LIU Y T, et al. A transient heat current model for dynamic performance analysis and optimal control of heat transfer system[J].International Journal of Heat and Mass Transfer, 2019, 145: 118767.

［23］ 邵衛(wèi), 陳群, 賀克倫, 等. 換熱器動態(tài)特性分析的熱量流模型[J]. 工程熱物理學報, 2020, 41（11）: 2828-2833. （SHAO Wei, CHEN Qun, HE Kelun, et al. Heat current model for analying the dynamic characteristic of heat exchangers[J].Journal of Engineering Thermophysics, 2020, 41（11）: 2828-2833.（in Chinese））

［24］DUAN J, LI N, PENG J, et al. Full-response model of transient heat transfer of building walls using thermoelectric analogy method[J].Journal of Building Engineering, 2022, 46: 103717.

［25］HE K L, CHEN Q, DONG E F, et al. An improved unit circuit model for transient heat conduction performance analysis and optimization in multi-layer materials[J].Applied Thermal Engineering, 2018, 129: 1551-1562.

［26］ 楊婧, 唐嵐, 趙開聯, 等. 基于熱電比擬模型的電熱綜合能源優(yōu)化調度[J]. 電力科學與工程, 2022, 38（5）: 60-67.（YANG Jing, TANG Lan, ZHAO Kailian, et al. Optimization scheduling of integrated electric heating energy system based on thermoelectric analogy model[J].Electric Power Science and Engineering, 2022, 38（5）: 60-67.（in Chinese））

［27］ 謝剛. 熔融鹽理論與應用[M]. 北京: 冶金工業(yè)出版社, 1998. （XIE Gang.Theory and Application of Molten Salt[M]. Beijing: Metallurgical Industry Press, 1998. （in Chinese））

［28］GEYER M.Thermal Storage for Solar Power Plants[M]. Springer, 1991: 199-214.

［29］ 任雪潭, 曾令可, 劉艷春, 等. 蓄熱儲能多孔陶瓷材料[J]. 陶瓷學報, 2006, 27（2）: 217-226. （REN Xuetan, ZENG Lingke, LIU Yanchun, et al. Porous ceramic materials for heat and energy storage[J].Journal of Ceramics, 2006,27（2）: 217-226.（in Chinese））

［30］ 李愛菊, 王毅, 張仁元, 等. 蓄熱室新型蓄熱體的研究進展[J]. 冶金能源, 2007, 36（1）: 43-48. （LI Aiju, WANG Yi,ZHANG Renyuan, et al. Research deveiopment of new type regenerative materials in regenerator chamber[J].Energy for Metallurgical Industry, 2007, 36（1）: 43-48.（in Chinese））

［31］ 陶文銓. 傳熱學[M]. 5版. 北京: 高等教育出版社, 2018. （TAO Wenquan.Heat Transfer[M]. 5th ed. Beijing: Higher Education Press, 2018. （in Chinese））