王顯彬,孫 陽(yáng),王軍龍

(1.福建船政交通職業(yè)學(xué)院 通用航空產(chǎn)業(yè)學(xué)院,福建 福州 350007;2.浙江工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,浙江 杭州 310023;3.博世電動(dòng)工具(中國(guó))有限公司,浙江 杭州 310000)

0 引 言

在已發(fā)表的文獻(xiàn)中,有關(guān)于齒輪嚙合剛度的計(jì)算方法可分為四大類:解析法、有限元法(FEM)、解析-FEM以及實(shí)驗(yàn)法[1-3]。其中,FEM可以很容易地考慮到齒形誤差和齒輪柔度的影響,因此,FEM被普遍認(rèn)為是時(shí)變嚙合剛度計(jì)算精度最高的方法[4]。

WANG J等人[5]用FEM計(jì)算了漸開線直齒圓柱齒輪副的扭轉(zhuǎn)剛度。唐進(jìn)元等人[6,7]利用FEM對(duì)修形和裂紋直齒輪副嚙合剛度計(jì)算進(jìn)行了研究。WANG J D和LI Shu-ting等人[8,9]運(yùn)用FEM對(duì)直齒輪副進(jìn)行了加載接觸分析,并計(jì)算了齒間載荷分配與傳動(dòng)誤差。WU Yong-jun和LI Run-fang等人[10,11]運(yùn)用FEM分析了直齒輪副的動(dòng)態(tài)嚙合特性。

雖然FEM計(jì)算精度高,但需要對(duì)不同的齒輪參數(shù)進(jìn)行重復(fù)建模,網(wǎng)格細(xì)化,并占用大量的計(jì)算資源。而解析法則由于求解效率高,被廣泛應(yīng)用于時(shí)齒輪變嚙合剛度的快速計(jì)算中。

WU Si-yan和TIAN X H等人[12,13]基于能量等效原理,在YANG D C H[14]研究成果的基礎(chǔ)上,提出了一種包含剪切變形的嚙合剛度改進(jìn)模型。陳再剛等人[15,16]基于能量等效思想,提出了一種內(nèi)嚙合與外嚙合直齒輪副時(shí)變剛度模型。馬輝[17]863-884與萬(wàn)志國(guó)等人[18]運(yùn)用能量法,提出了一種將輪齒等效為齒根圓上的懸臂梁,替換原有基圓上懸臂梁的剛度解析模型。MA Hui等人[19,20]在考慮根圓角、尖端圓角的基礎(chǔ)上,提出了一種直齒圓柱齒輪時(shí)變嚙合剛度改進(jìn)解析計(jì)算方法。

然而以上研究對(duì)于齒對(duì)間的赫茲接觸均基于赫茲假設(shè)進(jìn)行計(jì)算,并未考慮齒對(duì)間的非線性接觸;并且受輪齒柔度的影響,在受載發(fā)生變形的情況下,會(huì)導(dǎo)致接觸齒在理論接觸開始前接觸,在理論接觸結(jié)束后脫離接觸的現(xiàn)象。若對(duì)直齒輪副實(shí)際動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行預(yù)測(cè),則必須考慮該因素。

筆者從能量等效思想出發(fā),結(jié)合懸臂梁模型,考慮接觸對(duì)間的非線性接觸,提出一種適用于不同載荷下的直齒輪副單齒嚙合剛度解析模型;通過(guò)補(bǔ)充變形協(xié)調(diào)與力平衡方程,導(dǎo)出齒廓修形直齒輪副綜合嚙合剛度解析模型,對(duì)比解析方法與FEM的結(jié)果,并分析載荷、摩擦系數(shù)與不同齒輪參數(shù)對(duì)齒輪副嚙合剛度的影響。

1 基于能量法的單齒嚙合剛度模型

1.1 齒廓修形直齒輪數(shù)學(xué)模型

筆者構(gòu)建齒面及齒根過(guò)渡曲面方程[17]864,以二元二次多項(xiàng)式定義齒廓修形量[21];利用B樣條曲面,將修形后的齒面數(shù)據(jù)擬合成新的齒面方程R(u,v)[22]。

重構(gòu)的齒面如圖1所示。

圖1 B-spline曲面擬合u—向—齒長(zhǎng)方向;v—向—齒廓方向;u,v的范圍均為[0,1]

法向矢量n即可表示為:

n(u,v)=Ru×Rv

(1)

式中:Ru—u的一階偏導(dǎo);Rv—v的一階偏導(dǎo)。

1.2 接觸分析

齒廓修形直齒輪的接觸示意圖,如圖2所示。

圖2 接觸示意圖

由圖2可知:齒廓修形直齒輪副為線接觸,受載下的接觸區(qū)域呈帶狀分布;兩端齒廓端點(diǎn)在齒寬方向上一一對(duì)應(yīng),求得齒寬方向任意截面齒廓上點(diǎn)的參數(shù)u,v,即可得到該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)接觸跡線參數(shù)為u[0,1],v。

因此,筆者將齒輪副三維空間中的接觸問(wèn)題等效到二維平面中,然后進(jìn)行求解。

嚙合分析示意圖,如圖3所示。

圖3 嚙合分析示意圖

由圖3可知:假設(shè)小輪繞向量n旋轉(zhuǎn)up角度,大輪繞zg軸旋轉(zhuǎn)ug角度后,兩輪截面齒廓于p點(diǎn)接觸。由齒輪嚙合理論可知:齒面瞬時(shí)接觸點(diǎn)的求解就是計(jì)算兩曲面(這里是齒面)的瞬時(shí)相切點(diǎn)。

(2)

式中:Cd—中心距。

結(jié)合式(2),接觸點(diǎn)的參數(shù)vg、vp,以及旋轉(zhuǎn)角度μg、μp(此處ug、up根據(jù)截面齒廓位于齒寬方向上的位置給定)可由下式得到:

(3)

1.3 基于勢(shì)能法的齒輪嚙合剛度求解原理

齒輪副受載產(chǎn)生變形,其存儲(chǔ)的應(yīng)變能包括赫茲接觸應(yīng)變能Uh、彎曲應(yīng)變能Ub、剪切應(yīng)變能Us、軸向壓縮應(yīng)變能Ua以及齒基變形應(yīng)變能Uf。

各應(yīng)變能可表示為:

(4)

式中:F—法向接觸力;Kb—彎曲等效剛度;Ks—剪切等效剛度;Ka—軸向壓縮等效剛度;Kh—赫茲等效剛度;Kf—齒輪基體等效剛度。

串聯(lián)剛度模型如圖4所示。

圖4 串聯(lián)彈簧示意圖

根據(jù)圖4,單齒嚙合剛度K可表示為:

(5)

式中:腳標(biāo)1—主動(dòng)輪;腳標(biāo)2—從動(dòng)輪。

1.4 各等效剛度的求解

輪齒等效的懸臂梁模型如圖5所示。

圖5 受力示意圖

由圖5可知:直齒輪的齒廓曲線可分為齒根曲線DE、過(guò)渡曲線CD、齒廓曲線BC和齒頂曲線AB。

結(jié)合梁變形理論,輪齒應(yīng)變能可表示為:

式中:Mt1—過(guò)渡曲線上的力矩;Mt2—齒廓曲線上的力矩;Ix—橫截面的慣性矩;Ax—橫截面的面積;E—彈性模量;G—剪切模量。

這些參數(shù)可分別表示為:

(7)

式中:W—齒寬;β—壓力角。

壓力角可由下式求得:

β=arccos(n·PPx/(|n||PPx|))

(8)

將式(7)代入式(6),可得如下表達(dá)式:

(9)

齒輪赫茲接觸剛度一般是非線性的,即與非線性接觸力有關(guān)。該結(jié)果也通過(guò)FEM[23]和實(shí)驗(yàn)[24]得到了證實(shí)。

由于齒輪體和齒的剛度幾乎與載荷無(wú)關(guān),接觸變形必須是非線性的。為了方便地模擬非線性赫茲接觸,筆者采用了一個(gè)簡(jiǎn)單的近似公式[25]:

Kh=E0.9W0.8F0.1/1.275

(10)

式中:E—彈性模量，E=2E1E2/(E1+E2);E1—小輪的彈性模量;E2—大輪的彈性模量。

齒基剛度Kf可表示為:

(11)

式(11)中,uf、Sf,L*、M*、P*、Q*等參數(shù)詳見(jiàn)文獻(xiàn)[26]。

1.5 考慮摩擦的剛度求解

若對(duì)直齒輪副的實(shí)際動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行預(yù)測(cè),則需考慮摩擦力對(duì)齒輪副齒輪徑向和切向嚙合力的影響,從而導(dǎo)致輪齒彎曲、剪切、軸向壓縮等變形剛度的變化。

輪齒接觸摩擦力示意圖,如圖6所示。

由圖6可知:節(jié)點(diǎn)處無(wú)相對(duì)滑動(dòng)速度,摩擦因素μ趨于0即無(wú)摩擦力,靠近節(jié)點(diǎn)時(shí)摩擦力減小,遠(yuǎn)離節(jié)點(diǎn)時(shí),摩擦力增大;對(duì)于主動(dòng)輪,從齒根嚙合至節(jié)點(diǎn)為嚙入階段,從節(jié)點(diǎn)嚙合至齒頂為嚙出階段;從動(dòng)輪則相反。

圖6 摩擦力示意圖

由文獻(xiàn)[27]可知,實(shí)測(cè)的齒輪副摩擦系數(shù)一般在0.02～0.08之間。為簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程,此處筆者僅采用0～0.1的恒定摩擦系數(shù)。

結(jié)合式(9),可得摩擦力影響下的輪齒變形等效剛度如下:

(12)

2 時(shí)變嚙合剛度計(jì)算模型

齒輪副實(shí)際重合度與承載有關(guān),若僅運(yùn)用幾何重合度導(dǎo)出時(shí)變嚙合剛度模型[2]100,在不同扭矩的工況下,誤差浮動(dòng)會(huì)比較明顯。

嚙合過(guò)程示意圖,如圖7所示。

圖7 嚙合過(guò)程示意圖

由圖7(a)可知:假設(shè)齒對(duì)i無(wú)載情況下開始接觸,齒對(duì)j在該狀態(tài)下存在間隙Eij;由圖7(b)可知,當(dāng)齒對(duì)i在當(dāng)前接觸位置受力產(chǎn)生變形時(shí),根據(jù)變形協(xié)調(diào)與力平衡條件可得:

也許與王羲之喜鵝有關(guān)，華堂村的白鵝養(yǎng)殖歷史悠久，遠(yuǎn)近聞名.華堂村的白鵝養(yǎng)殖一直是一家一戶主要利用天然雜草、采用傳統(tǒng)的放牧方式養(yǎng)殖，在本地集市上出售，收益很低.隨著放牧地減少，現(xiàn)在幾乎沒(méi)有農(nóng)戶飼養(yǎng)了.

δi=δj+Eij，F(xiàn)=Fi+Fj

(13)

由剛度與變形量間的關(guān)系可得:

Fi=Kiδi

(14)

結(jié)合式(13)中的第二式可得:

(15)

假設(shè)其中第k對(duì)齒的變形量最大,則多齒嚙合剛度Ke可表示為:

Ke=F/δk

(16)

法向載荷除以法向變形量即為嚙合剛度,因此,結(jié)合式(13～16),經(jīng)整理可得多齒嚙合區(qū)綜合剛度的表達(dá)式為:

(17)

3 算例分析

3.1 解析模型的驗(yàn)證

筆者運(yùn)用FEM中的穩(wěn)態(tài)計(jì)算方法,對(duì)該解析模型的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。其中，用于對(duì)比驗(yàn)證的齒輪副參數(shù)如表1所示。

表1 輪齒參數(shù)

筆者采用文獻(xiàn)[28]的前后處理方法完成分析與數(shù)據(jù)的處理。

μ=0,扭矩分別為30 Nm、200 Nm、400 Nm時(shí)的齒輪副單齒與綜合嚙合剛度對(duì)比圖,如圖8所示。

圖8 不同扭矩下的嚙合剛度對(duì)比圖

從圖8中可以看出:解析模型與FEM計(jì)算結(jié)果吻合良好;從剛度曲線的變化可知,載荷的增大導(dǎo)致嚙合剛度的增大,但無(wú)明顯的線性規(guī)律。

表2 嚙合剛度計(jì)算誤差對(duì)比

由表2可知:解析法的計(jì)算誤差能夠保證在3%以內(nèi);同時(shí)計(jì)算耗時(shí)的對(duì)比方面,在保證精度的前提下,筆者所提出的齒廓修形直齒輪時(shí)變嚙合剛度計(jì)算方法能夠達(dá)到快速計(jì)算的目的。

3.2 嚙合剛度的影響因素分析

3.2.1 摩擦系數(shù)對(duì)嚙合剛度的影響

μ=0、0.05和0.1,扭矩為30 Nm的單齒與綜合嚙合剛度示意圖,如圖9所示。

圖9 不同摩擦系數(shù)的嚙合剛度

從圖9中可知:摩擦力的作用使單齒剛度在嚙入階段增大,嚙出階段減小;節(jié)點(diǎn)處摩擦力的大小不變而方向發(fā)生突變,直齒輪副嚙合剛度在節(jié)點(diǎn)處發(fā)生突變;摩擦因數(shù)越大,嚙合剛度變化量越大。

3.2.2 齒數(shù)對(duì)嚙合剛度的影響

μ=0,扭矩30 Nm,小輪齒數(shù)分別為20、25以及30的直齒輪副單齒與綜合嚙合剛度示意圖,如圖10所示。

圖10 不同齒數(shù)的嚙合剛度

由圖10可知:隨著小輪齒數(shù)的增大,嚙合剛度減小。這是因?yàn)楫?dāng)齒數(shù)增加時(shí),齒輪的齒厚和齒高參數(shù)不變,齒輪的節(jié)圓變大,法向力變小;扭矩不變時(shí),齒輪的嚙合線位移減小。在嚙合線位移和法向力的共同作用下,嚙合剛度的變化即如圖10所示,即隨著主動(dòng)齒輪齒數(shù)的增加,嚙合剛度逐漸減小。

3.2.3 壓力角對(duì)嚙合剛度的影響

μ=0,扭矩30 Nm,壓力角分別為20°、22.5°以及25°的單齒與綜合嚙合剛度示意圖,如圖11所示。

圖11 不同壓力角的嚙合剛度

從圖11中可知:當(dāng)壓力角增大時(shí),單齒嚙合剛度增大;但隨著壓力角的增大,接觸比減小,單齒嚙合段相對(duì)時(shí)間增大,多齒嚙合間反而減小。

3.2.4 齒寬對(duì)嚙合剛度的影響

μ=0,扭矩30 Nm,齒寬分別為15 mm、20 mm以及25 mm的單齒與綜合嚙合剛度示意圖,如圖12所示。

圖12 不同齒寬的嚙合剛度

從圖12中可知:增加輪齒寬度實(shí)際上增大了有效接觸線長(zhǎng)度,隨著齒寬的增大,嚙合剛度增大。

3.2.5 軸孔內(nèi)徑對(duì)嚙合剛度的影響

μ=0,扭矩30 Nm,內(nèi)孔直徑分別為30 mm、40 mm以及50 mm的單齒與綜合嚙合剛度示意圖,如圖13所示。

圖13 不同內(nèi)徑的嚙合剛度

從圖13中可知:隨著內(nèi)孔直徑的增大,嚙合剛度增大。

3.2.6 模數(shù)對(duì)嚙合剛度的影響

μ=0,扭矩30 Nm,模數(shù)分別為2 mm、3 mm以及4 mm的直齒輪副單齒嚙合剛度示意圖,如圖14所示。

圖14 不同模數(shù)的單齒嚙合剛度

從圖14中可知:在內(nèi)孔直徑等參數(shù)不變的情況下,增大模數(shù),使得嚙合剛度減小。

4 結(jié)束語(yǔ)

筆者運(yùn)用B樣條曲面重構(gòu)了齒輪的齒面方程,并結(jié)合齒輪的嚙合原理完成了其接觸分析;然后結(jié)合能量等效原理以及非線性赫茲接觸模型,構(gòu)建了齒廓修形直齒輪單齒嚙合剛度模型;最后通過(guò)補(bǔ)充變形協(xié)調(diào)與力平衡方程,提出了一種考慮齒輪副非線性接觸的,齒廓修形直齒輪綜合嚙合剛度模型。

研究結(jié)論如下:

(1)基于能量等效原理與赫茲接觸理論,將輪齒等效為齒根圓上的變截面懸臂梁模型,有效構(gòu)建了適用不同載荷下的非線性接觸齒廓修形直齒圓柱齒輪副單齒嚙合剛度計(jì)算模型;

(2)基于變形協(xié)調(diào)與力平衡原則,提出了齒廓修形直齒輪副綜合嚙合剛度快速解析計(jì)算模型,相較于FEM結(jié)果,其計(jì)算誤差能夠保證在3%以內(nèi),而計(jì)算速度快了150倍。因此,該嚙合剛度模型能夠在保證計(jì)算精度的前提下,達(dá)到快速計(jì)算的目的;

(3)確定了嚙合剛度與載荷、摩擦、齒數(shù)、壓力角、內(nèi)孔直徑、有效接觸線長(zhǎng)度等參數(shù)有關(guān)。

對(duì)于裂紋、磨損等的線接觸齒輪副的計(jì)算均可考慮上述計(jì)算方法。

在后續(xù)的工作中,筆者將進(jìn)一步結(jié)合微元法以及點(diǎn)接觸赫茲修正模型,完成齒向修形、齒廓和齒向雙修形的直齒輪副時(shí)變嚙合剛度計(jì)算方法的研究。