張 陽,李天興,代 震,周靜遠(yuǎn),張瑞瑤

(河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,河南 洛陽 471003)

0 引 言

隨著智能制造的發(fā)展,傳統(tǒng)制造業(yè)面臨著轉(zhuǎn)型與升級。這對工業(yè)機(jī)器人的性能與要求也愈來愈高。

機(jī)器人精密減速機(jī)是工業(yè)機(jī)器人肘關(guān)節(jié)的核心部件,其內(nèi)部擺線針輪副的傳動精度將直接影響著整機(jī)精度[1,2]。因此,精密減速器中擺線針輪的傳動分析是必不可少的。

嚙合點位置的確定是傳動分析的基礎(chǔ)。目前,國內(nèi)外學(xué)者對相關(guān)內(nèi)容也做了大量研究。

李宇濤等人[3]考慮了側(cè)隙對擺線針輪嚙合特性的影響,為評估初始以及磨損后側(cè)隙的影響提供了一種理論方法。楊偉朋等人[4]依托迭代原理判斷了最先接觸區(qū)間,給出了一種覆蓋嚙合全過程的分析方法。XU Li-xin等人[5]基于多體系統(tǒng)理論,建立了擺線針輪傳動的動力學(xué)模型,計算出了其接觸區(qū)域、最大接觸深度和接觸載荷。張躍明等人[6]提出了判斷擺線針輪最大嚙合力的方法,分析了擺線輪偏心距對整體機(jī)構(gòu)接觸特性的影響。HAN Lin-sha等人[7]分析了安裝誤差、軸承間隙等因素對擺線針輪傳動精度的影響程度,研究表明,精密減速器的曲軸跳動誤差對整機(jī)的傳動精度影響相對較大。耿婷等人[8]考慮了安裝誤差,分析了線齒輪角度和位移誤差的來源,對線齒輪進(jìn)行了齒面接觸分析。汪晨等人[9]選取了統(tǒng)計學(xué)的試驗方法,探索了針齒分布圓以及針齒半徑偏差對減速器傳動誤差的干擾。許立新等人[10]為排除修形等各因素對擺線針輪副的傳動影響,提出了一種估計嚙合齒數(shù)和位置的動力學(xué)方法。LIN K S等人[11]對精密減速器的各部件公差進(jìn)行了優(yōu)化,分析了擺線針輪傳動性能,給出了一種離散化齒面的接觸分析方法。趙雪飛[12]考慮了制造誤差,提出了計算人字齒輪的傳動精度方法,分析了各項誤差對其運(yùn)動精度的影響。張躍明等人[13]建立了分析模型,分析了機(jī)器人中各構(gòu)件誤差對系統(tǒng)誤差的影響。

以上研究都為擺線針輪嚙合特性分析打下了堅實的理論基礎(chǔ)。然而,上述研究沒有考慮到加工制造誤差對擺線輪齒廓的作用,不能夠反映其真實的嚙合情況。實際研究中發(fā)現(xiàn)齒廓偏差造成的齒廓變化對擺線針輪的嚙合特性、接觸點位置等都有著不小的影響。因此,在嚙合特性分析過程中必須充分考慮齒廓誤差的影響。

鑒于上述問題,筆者考慮齒廓偏差,提出一種確定擺線針輪真實齒廓嚙合點位置的方法。該方法采用齒輪測量中心直接對擺線輪齒廓數(shù)據(jù)進(jìn)行采集,再重新構(gòu)造真實齒廓方程,進(jìn)而得到其法矢;依據(jù)微分幾何與嚙合原理的相關(guān)方法,建立蘊(yùn)含有齒廓偏差的擺線針輪TCA模型,計算其傳動過程中的真實嚙合點位置。

1 含齒廓偏差的擺線輪齒廓

基于齒廓偏差的檢測機(jī)理,在擺線輪檢測流程中,測量機(jī)通過敏感探頭收集擺線輪齒廓上的離散點位置,得到實際齒廓的坐標(biāo)數(shù)據(jù)[14]。在這些收集到的數(shù)值中包括擺線輪的制造誤差,能夠更加真實地反映擺線輪齒廓。

在對擺線針輪進(jìn)行傳動分析時,它們的傳動狀態(tài)均為連續(xù)的[15]。然而齒輪測量中心所采集的數(shù)據(jù)均為離散點。因此,需對所獲得的離散點進(jìn)行插值擬合,擬合所采用的機(jī)制也極為重要,其擬合精度將直接影響所得結(jié)論的精準(zhǔn)性。

三次B樣條曲線具有比較好的局部支撐性,其每一條插值曲線都僅與4個控制頂點相關(guān)聯(lián),且相鄰兩條樣條曲線之間的拼接方式較為簡單。

三次B樣條重構(gòu)的過程如下:

(1)測量中心采樣得到實際齒廓的坐標(biāo)點數(shù)據(jù){Qs}(s=0,1,…,n);

(3)采取代數(shù)平均法,確定節(jié)點矢量U[u0,…,un+1+k],其中,u0≤u1≤…≤un+k+1;

(4)計算基函數(shù)Ni,k(u),設(shè)立以控制點為變量的線性方程組,反算得到n+1個數(shù)的控制頂點di;

(5)將基函數(shù)Ni,k(u)與控制頂點di代入插值方程,即可得真實齒廓的矢量方程:

(1)

式中:u—重構(gòu)齒廓的參變量，u∈U;k—曲線次數(shù)，k=3。

對擺線輪真實齒廓式(1)中的參量u進(jìn)行求導(dǎo)并單位化處理,得到擺線輪齒廓的單位法矢:

(2)

式中:k—z軸單位法向矢量,k=[0,0,1]。

2 擺線針輪傳動接觸分析模型

在擺線針輪副的運(yùn)動過程中,擺線輪處于一個較為復(fù)雜的行星運(yùn)動狀態(tài)。筆者對擺線針輪進(jìn)行輪系轉(zhuǎn)換,在保證其嚙合特性的基礎(chǔ)上,將其轉(zhuǎn)化為定軸輪系,由此構(gòu)建的擺線針輪副轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系,如圖1所示。

圖1 擺線針輪副轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系φ1—針輪的瞬時轉(zhuǎn)角;φ2—擺線輪的瞬時轉(zhuǎn)角;a—偏置距離;β—針輪的位置參數(shù);α—是擺線輪的位置參數(shù)

圖1中,坐標(biāo)系Sf是固定參考坐標(biāo)系,Sp和Sc分別是固連在針輪和擺線輪上的坐標(biāo)系;Op與Of分別是Sp與Sf兩坐標(biāo)系的原點,且兩原點位置重合;轉(zhuǎn)臂與固定坐標(biāo)系的yf軸線重疊,Oc為坐標(biāo)系Sc的坐標(biāo)原點。

根據(jù)輪齒嚙合理論可知:傳動過程中,兩齒面要保證相切接觸,存在相切接觸點。因此,齒輪的接觸點處的擺線針輪齒廓的位矢和法矢需相同,故可得如下方程式:

(3)

顯然,矢量方程組中包含3個標(biāo)量方程,4個未知參變量。當(dāng)給定其中1個參數(shù)時,就能得到滿足方程的解。

至此,筆者已經(jīng)建立含齒廓偏差的接觸分析模型,為真實嚙合點位置的計算提供理論依據(jù)。

3 真實嚙合點的計算

依據(jù)真實擺線齒廓構(gòu)造的原理及過程可知:引入的齒形誤差后,擺線輪齒廓形狀將不再是理論設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)齒形,根據(jù)節(jié)點確定初始嚙合點位置的傳統(tǒng)方法已經(jīng)不再適用。因此,需要通過對比每個針齒與擺線齒廓接觸時轉(zhuǎn)動角度大小來確定嚙合點位置。

該方式的計算流程如圖2所示。

圖2 嚙合點計算流程圖

3.1 初始嚙合點確定

圖2中,首先需要確定初始嚙合點,得到初始轉(zhuǎn)角。

通過繪制ROC曲線模型發(fā)現(xiàn)，Netrin-1聯(lián)合Kim-1預(yù)測AKI風(fēng)險的敏感度、特異度較高，利用COX回歸性分析證實，兩者均為新生兒窒息后AKI發(fā)生的獨立危險因素，進(jìn)一步提示兩者與AKI發(fā)生密切相關(guān)。因此，通過對尿Netrin-1、Kim-1進(jìn)行檢測，能為預(yù)測窒息后AKI風(fēng)險提供可靠性依據(jù)。有研究證實，AKI后上述兩項指標(biāo)呈正相關(guān)，且隨著損傷程度加重，兩者相關(guān)性越明顯[20]，提示AKI患者尿液中Netrin-1、Kim-1表達(dá)存在密切關(guān)聯(lián)。

初始嚙合示意圖如圖3所示。

圖3 初始嚙合位置示意圖

圖3中,虛線為針輪的理論初始位置;實線為針輪逆時針轉(zhuǎn)動δmin后的初始嚙合位置。

在理論初始位置處,即φ1,φ2均為零時,擺線針輪的各齒對處均有間隙di,要確定初始嚙合點位置,需先使擺線針輪嚙合。因此,筆者對擺線輪進(jìn)行固定,令針輪逆時針旋轉(zhuǎn),使其接觸間隙為零時,針輪轉(zhuǎn)過的角度稱為最小相對轉(zhuǎn)角,記為δmin,該轉(zhuǎn)角所對應(yīng)的針輪齒號稱為最先接觸齒號。

3.2 任意時刻嚙合點位置確定

為得到傳動過程中任意針輪轉(zhuǎn)角所對應(yīng)的嚙合點位置,筆者需要對擺線輪的每一齒廓進(jìn)行一維搜索,尋找任意針輪轉(zhuǎn)角對應(yīng)的嚙合點位置,進(jìn)而得到每個齒的接觸區(qū)。

與此同時,筆者將得到的各個嚙合點參數(shù)表示在其對應(yīng)的各個輪齒齒面上,獲得擺線輪真實齒面的接觸印痕。

4 實例驗證

筆者根據(jù)上述的真實嚙合點計算方法,求含齒廓偏差的真實嚙合點,并將其與傳統(tǒng)理論嚙合點計算方法得到理論標(biāo)準(zhǔn)齒廓嚙合點及印痕進(jìn)行對比。

為得到擺線輪的真實齒廓坐標(biāo),實驗采用JD45+齒輪測量中心進(jìn)行齒廓采樣。該齒輪測量中心測頭分辨率為0.1 μm,重復(fù)精度為0.5 μm,能夠滿足測量實驗要求。

筆者選取某型號擺線輪作為實例,對提出的算法進(jìn)行驗證。

擺線輪的基本參數(shù)如表1所示。

表1 擺線輪基本參數(shù)

擺線輪在JD45+測量中心采樣過程,如圖4所示。

圖4 測量采樣過程

圖4中,通過芯棒將擺線輪安裝在回轉(zhuǎn)臺上。安裝過程中,外圓打表測得其同軸度偏差為0.9 μm,端面水平度測得為0.015 mm/m,此外,測量中心內(nèi)嵌有偏心傾斜修正模塊,能夠根據(jù)測量的結(jié)果分離并補(bǔ)償其安裝誤差,有效地提高了測量精度。

筆者使用一維測頭對擺線輪齒廓進(jìn)行定位,擺線輪隨回轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動,測頭對擺線輪齒廓的實際坐標(biāo)位置采樣,最終得到擺線輪的實際測量齒廓的3 600個離散坐標(biāo)。

筆者對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,得到的全齒廓截面綜合偏差圖,如圖5所示。

圖5 全齒廓截面綜合偏差圖

由圖5可以看到:該擺線輪實際齒廓的最大誤差值為0.003 8 mm,最小誤差值為-0.025 7 mm。

筆者采用B樣條曲線對離散點重構(gòu),得到節(jié)點矢量U=[0,0,0,0,0.002 2,…,0.997 7,1,1,1,1]及3 600個控制頂點di,如表2所示。

表2 控制頂點

筆者將控制頂點與節(jié)點矢量代入插值方程中,得到擺線輪的真實齒廓表達(dá)。

筆者對構(gòu)造齒廓精度進(jìn)行分析,得到構(gòu)造誤差最大值為0.9×10-7mm,對該算法的結(jié)果影響很小,可以不予考慮并進(jìn)行下一步計算。

根據(jù)任意時刻嚙合點位置確定方法可知:

表3 實際齒廓嚙合點位置

每個針輪轉(zhuǎn)角都有唯一對應(yīng)的擺線輪轉(zhuǎn)角,每個時刻都只有一對輪齒接觸。

筆者根據(jù)楊靖釗等人[16]建立的理論齒廓接觸分析模型,求解得理論齒廓的嚙合點位置,如表4所示。

表4 理論齒廓嚙合點位置

對比表(3,4)可知:針輪轉(zhuǎn)過相同的角度時,擺線輪的理論與實際嚙合點轉(zhuǎn)角有所不同,平均相差0.3°,針輪與擺線輪的接觸位置的齒廓參數(shù)也均有變化,這都是由于擺線輪齒廓的變化所引起的改變。

此外,由于擺線輪為圓柱齒輪,在齒寬方向的接觸位置相同。

根據(jù)表(3,4)中的數(shù)據(jù),筆者將36號針齒對應(yīng)的含齒廓偏差的真實齒廓印痕和理論齒廓印痕表示在該齒面上。

單齒嚙合印痕對照圖如圖6所示。

圖6 單齒嚙合印痕對照圖

從圖6中可以看出:

考慮齒廓偏差影響后,實際的接觸印痕位置發(fā)生了明顯的變化。由此可見,齒廓偏差對擺線針輪傳動的影響不可忽視,該算法得到的結(jié)果能更真實地反應(yīng)擺線針輪接觸狀態(tài)[17]。

實際嚙合點的確定為擺線輪進(jìn)一步的靜態(tài)誤差分析和動態(tài)誤差分析提供依據(jù)。動態(tài)誤差中擺線針輪副承載以后,存在接觸變形,針齒變形量非常小,具體的數(shù)量級無法測量。

在仿真時,通常把針齒作為剛體,在實際制造中也常將針齒與殼體一體化,可見針齒在承載接觸中變形量非常小,可以不予考慮。

5 結(jié)束語

筆者充分考慮到齒廓偏差的影響,重構(gòu)出了實際測量齒廓,根據(jù)建立的輪齒接觸分析模型,計算出了實際齒廓的接觸印痕,并將其與理論齒廓接觸印痕進(jìn)行了對比。

研究結(jié)論如下:

(1)理論齒廓嚙合點與含齒廓偏差的真實嚙合點處的擺線輪轉(zhuǎn)角平均相差0.3°,針輪與擺線輪的接觸位置參數(shù)也均有所變化;

(2)考慮齒廓偏差后,理論齒廓與真實齒廓的接觸印痕不一致;

(3)齒廓偏差對擺線針輪嚙合特性存在較大影響,在分析過程中是一個不可忽視的因素。

在后續(xù)研究工作中,筆者將在考慮齒廓偏差的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步研究擺線針輪副承載嚙合位置。