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        探究2022年新高考Ⅰ卷第18題的多種解法及啟示

        2022-12-19 07:57:52李增濤
        數(shù)理化解題研究 2022年34期
        關(guān)鍵詞:鈍角銳角化簡

        李增濤

        (江蘇省揚(yáng)州市仙城中學(xué) 225200)

        1 試題再現(xiàn)

        2 解法探析

        2.1 第(1)問解析

        即cosAcosB=sinB+sinAsinB.

        即cos(A+B)=sinB.

        得cos(π-C)=sinB.

        即-cosC=sinB.

        即cosC=-sinB.(說明C為鈍角,B為銳角)

        即cosAcosB=sinB+sinAsinB.

        由cos(A+B)=sinB.(學(xué)生自然能聯(lián)想到余弦函數(shù)在(0,π)上是單調(diào)函數(shù)和誘導(dǎo)公式)

        cosA(1+cos2B)=sin2B(1+sinA).

        即cosA+cosAcos2B=sin2B+sin2BsinA.

        即cosAcos2B-sin2BsinA=sin2B-cosA.

        即cos(A+2B)=sin2B-cosA.

        即cosB=2sinBcosB.

        解法4 由題意可知

        2.2 第(2)問解析

        由(1)得-cosC=sinB.

        即cosC=-sinB且C為鈍角,B為銳角.

        而這個式子還容易聯(lián)想到平方關(guān)系,利用平方關(guān)系消元即

        sin2A=sin2(B+C)

        =(sinBcosC+cosBsinC)2

        =(-cos2C+sin2C)2

        =(2cos2C-1)2

        =4cos4C-4cos2C+1,

        令1-cos2C=t,則0

        解法2 由(1)得cos(A+B)=sinB.

        (以下同解法2)

        從本題的解法可以發(fā)現(xiàn)命題者的一個意圖:大部分學(xué)生對于如下兩種轉(zhuǎn)化很熟悉:

        (1)互補(bǔ)轉(zhuǎn)化:如cos(A+B)=-cosC;

        sin(A+B)=sinC.

        但是本題要分析化簡等式:-cosC=sinB,該式對中等靠刷題的學(xué)生而言就有困難了,不能隨機(jī)應(yīng)變導(dǎo)致學(xué)生在短時間內(nèi)不能清晰地化簡出來,找不到解題方向,所以我們在平時的教學(xué)中既要?dú)w納總結(jié)常見結(jié)論,更要注重結(jié)論的得來過程,認(rèn)清變化的本質(zhì),不能僅靠刷題來提升解決問題的能力.

        實(shí)際上,對于我們教師而言,擺在我們眼前的問題就是怎樣優(yōu)化高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程,怎樣深度思考發(fā)現(xiàn)教學(xué)的本質(zhì),以此來促進(jìn)學(xué)生的核心素養(yǎng)提升.

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