成金德

(浙江省義烏市第二中學(xué) 322000)

動量定理FΔt=mv-mv0作為力學(xué)中的重要規(guī)律之一，它反映了物體受到的沖量與動量變化間的關(guān)系，尤其是解決諸如短時(shí)間的力作用問題可謂非它莫屬.正因?yàn)檫@樣，動量定理是中學(xué)物理教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考必考的知識點(diǎn).如何正確理解動量定理的物理涵義和靈活運(yùn)用至關(guān)重要，本文就此問題作詳細(xì)的分析和探討.

1 對F的理解

1.1 F是恒力

動量定理FΔt=mv-mv0中的F可以是恒力.

例1一個(gè)質(zhì)量為m=1 kg的小球，從距地面h=5 m高處，以初速度v0=10 m/s沿水平方向拋出，空氣阻力不計(jì)，g取10 m/s2.則小球落地時(shí)的速度多大？

分析由于小球作平拋運(yùn)動，其豎直方向的分運(yùn)動是自由落體運(yùn)動，即

代入數(shù)據(jù)解得小球的落地時(shí)間：

在小球飛行過程中，小球只受重力作用，設(shè)小球在豎直方向獲得的分速度為vy，由動量定理得：

mgt=mvy-0，

解得：vy=gt=10 m/s.

由速度的合成知識可得小球落地時(shí)的速度大?。?/p>

點(diǎn)評：小球只受到重力的作用，且重力是恒力，重力只改變豎直方向的動量.

1.2 F是變力

當(dāng)F是變力時(shí)，由動量定理FΔt=mv-mv0求出的F一般是平均作用力.

例2(2018年全國Ⅱ卷)高空墜物極易對行人造成傷害.若一個(gè)50 g的雞蛋從一居民樓的25層墜下，與地面的撞擊時(shí)間約為2 ms，則該雞蛋對地面產(chǎn)生的沖擊力約為( ).

A.10 N B.102N C.103N D.104N

分析由于每層樓的高度大約是3 m，由動能定理可求出雞蛋落地瞬間的速度為：

雞蛋落地與地面發(fā)生相互作用的過程中，雞蛋受到地面的支持力和重力的作用，取向上方向?yàn)檎较?，?yīng)用動量定理得：

(FN-mg)t=0-(-mv)

代入數(shù)據(jù)解得：FN≈1×103N，由牛頓第三定律可知雞蛋對地面產(chǎn)生的沖擊力約為103N，因此，選項(xiàng)C正確.

點(diǎn)評雞蛋與地面間的作用力是一個(gè)變力，本題中應(yīng)用動量定理求出的雞蛋對地面的沖擊力是平均作用力.

1.3 F是某個(gè)方向的力

動量定理也可寫成分量形式，即FxΔt=mvx-mv0x和FyΔt=mvy-mv0y.

例3某質(zhì)量為m的物體A，現(xiàn)以速度v0沿水平方向拋出，由于物體A受到水平向左的恒力F的作用，當(dāng)物體A下落了一段距離后，其水平速度的大小仍為v0，但水平速度的方向與原水平速度方向相反，如圖1所示.則此時(shí)物體的速度多大？

圖1

分析物體A在下落運(yùn)動的過程中，受到重力和水平向左的恒力F的作用，因此，物體A在水平方向(設(shè)為x方向)作勻減速運(yùn)動；在豎直方向(設(shè)為y方向)作初速度為零的勻加速運(yùn)動，則在兩個(gè)方向上分別應(yīng)用動量定理得：

在x方向：Ft=mv0-(-mv0)

在y方向：mgt=mvy-0

由速度的合成原理得：

點(diǎn)評物體A在下落運(yùn)動的過程中，受到水平方向的恒力F和豎直方向的重力mg作用，則物體A在水平方向和豎直方向的動量均要發(fā)生變化，因此，可以分別對兩個(gè)方向應(yīng)用動量定理求出兩個(gè)分速度，再應(yīng)用矢量合成法則求出合速度.

1.4 F是電學(xué)中的力

動量定理FΔt=mv-mv0中的F可以是力學(xué)中的重力、彈力和摩擦力，也可以是電學(xué)中的電場力、安培力.

例4如圖2所示，平行光滑金屬軌道ABCD和A′B′C′D′固定在水平地面上，軌道間的距離為d=0.8m，DD′之間連接一個(gè)定值電阻，其阻值R=0.3Ω.傾角為θ=30°的傾斜軌道與水平軌道順滑連接，BB′C′C是寬為x=0.25m的矩形區(qū)域，在該區(qū)域內(nèi)存在方向豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=1.0T的勻強(qiáng)磁場.質(zhì)量為m=0.2kg、電阻為r=0.1Ω的導(dǎo)體棒在傾斜軌道上與BB′距離L=1.6m處靜止釋放.取g=10m/s2，求導(dǎo)體棒離開勻強(qiáng)磁場B時(shí)的速度大小v；

圖2

分析(1)導(dǎo)體棒從斜面上下滑到水平面上時(shí)，設(shè)此時(shí)的速度為v1，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律得：

代入數(shù)據(jù)解得：v1=4m/s

設(shè)導(dǎo)體棒離開勻強(qiáng)磁場B時(shí)的速度為v，導(dǎo)體棒在磁場B區(qū)域中運(yùn)動時(shí)，受到安培力的作用，根據(jù)動量定理可得：

而：ΔΦ=Bdx

解以上各式得：

=2m/s

點(diǎn)評導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場后，由于安培力的作用，使導(dǎo)體棒做減速運(yùn)動，要求出導(dǎo)體棒離開磁場時(shí)的速度，必須應(yīng)用動量定理.

2 對m的理解

2.1 m可以是單個(gè)物體的質(zhì)量

動量定理FΔt=mv-mv0中的m可以是單個(gè)物體的質(zhì)量.

例5某運(yùn)動員用頭顛球，若足球用頭頂起，每次上升高度為h=0.80 m，足球的質(zhì)量為m=0.40kg，與頭部作用時(shí)間Δt為0.1 s，空氣阻力不計(jì)，g=10 m/s2，求足球?qū)︻^部的作用力.

分析設(shè)豎直向上為正方向，由于空氣阻力不計(jì)，所以頂球前后足球的速度大小相同，其速度由運(yùn)動學(xué)公式得：

v2=2gh

在用頭部顛球的過程中，設(shè)頭部對足球的作用力為FN，對足球應(yīng)用動量定理得：

(FN-mg)Δt=mv-(-mv)

解以上兩式得：

=36 N，

根據(jù)牛頓第三定律可知，足球?qū)︻^部的作用力為36 N，方向豎直向下.

點(diǎn)評在應(yīng)用動量定理時(shí)，本題中只涉及足球這個(gè)物體，其表達(dá)式中的m即為足球的質(zhì)量.

2.2 m可以是多個(gè)物體的質(zhì)量

動量定理FΔt=mv-mv0中的m可以是多個(gè)物體的質(zhì)量.

例6用細(xì)線將質(zhì)量分別為M、m的金屬塊與木塊連在一起浸在水中，開始時(shí)木塊的上表面剛好與水面相平，如圖3所示.現(xiàn)從靜止釋放后，系統(tǒng)以加速度a加速下沉，經(jīng)t1時(shí)間細(xì)線突然斷裂，又經(jīng)t2時(shí)間木塊回到初始位置，且具有向上的速度v.求此時(shí)金屬塊的速度vM.

圖3

分析取豎直向下方向?yàn)檎较?對由兩物體組成的系統(tǒng)應(yīng)用牛頓第二定律得：F=(M+m)a

對系統(tǒng)在整個(gè)運(yùn)動過程應(yīng)用動量定理得：

F(t1+t2)=(MvM-mv)-0

解以上兩式得：

點(diǎn)評在本題中，涉及金屬塊和木塊兩個(gè)物體，但依然可以應(yīng)用動量定理.如果兩個(gè)物體的速度相同，則可以將兩個(gè)物體合并為一個(gè)，但如果兩個(gè)物體的速度不相同，在計(jì)算動量時(shí)可分別計(jì)算.

2.3 m可以是連續(xù)介質(zhì)的質(zhì)量

動量定理FΔt=mv-mv0中的m可以是連續(xù)介質(zhì)的質(zhì)量，尤其是某一部分液體的質(zhì)量.

例7(2019年高考全國Ⅰ卷)最近，我國為“長征九號”研制的大推力新型火箭發(fā)動機(jī)聯(lián)試成功，這標(biāo)志著我國重型運(yùn)載火箭的研發(fā)取得突破性進(jìn)展．若某次實(shí)驗(yàn)中該發(fā)動機(jī)向后噴射的氣體速度約為3km/s，產(chǎn)生的推力約為4.8×106N，則它在1s時(shí)間內(nèi)噴射的氣體質(zhì)量約為( ).

A.1.6×102kg B.1.6×103kg

C.1.6×105kg D.1.6×106kg

分析設(shè)發(fā)動機(jī)在1s內(nèi)噴射出的氣體的質(zhì)量為m，取這部分連續(xù)氣體作為研究對象，這部分連續(xù)氣體受到運(yùn)載火箭的推力和重力的作用，由于重力遠(yuǎn)小于推力，因此，這部分連續(xù)氣體所受到的重力可以忽略不計(jì).對這部分連續(xù)氣體應(yīng)用動量定理得：

Ft=mv-0

代入數(shù)據(jù)解得：

可見，選項(xiàng)B正確.

點(diǎn)評從火箭發(fā)動機(jī)內(nèi)噴出連續(xù)的氣體介質(zhì)，由于反沖使火箭獲得方向向上的加速度.對此類連續(xù)介質(zhì)的問題，可以取某一部分連續(xù)介質(zhì)為研究對象，如本題取1s內(nèi)噴出的氣體為研究對象，再應(yīng)用動量定理求解相關(guān)的問題.

2.4 涉及的物體的質(zhì)量m可以是變化的

動量定理FΔt=mv-mv0中的m可以是變化的，即動量定理對變質(zhì)量的物體也可應(yīng)用.

例8宇宙飛船進(jìn)入一個(gè)宇宙塵埃區(qū)，每前進(jìn)x=1 m，就有n=10個(gè)平均質(zhì)量為m=2×10-7kg的微塵粒與飛船相撞，并附在飛船上.若塵埃微粒原來的速度不計(jì)，要保持飛船的速度v=10km/s，飛船噴氣產(chǎn)生的推力至少應(yīng)維持多大？

分析取飛船為研究對象，由于飛船在運(yùn)動過程中，有微粒附在飛船上，使得飛船的質(zhì)量不斷增大，為使飛船的速度保持不變，需要飛船向后噴氣獲得一個(gè)推力來維持.設(shè)這個(gè)推力為F，在飛船前進(jìn)x=1m的過程中，飛船增加的質(zhì)量為ΔM=nm，經(jīng)歷的時(shí)間為t=x/v.則由動量定理得：

Ft=(M+ΔM)v-Mv

整理后得：

即飛船噴氣產(chǎn)生的推力為200N.

點(diǎn)評本題涉及的飛船由于在運(yùn)動過程中有微粒不斷附著，使得飛船的質(zhì)量發(fā)生變化.求解時(shí)，一般選取飛船和附著的微粒為研究對象.

3 對FΔt的理解

3.1 若F是恒力，則沖量FΔt是恒量

例9質(zhì)量為m的物體以初速度v0做平拋運(yùn)動，經(jīng)過時(shí)間t，下落的高度為h，速度大小為v，不計(jì)空氣阻力，在這段時(shí)間內(nèi)，該物體的重力產(chǎn)生的沖量大小為( ).

A.mv-mv0B.mgt

分析由于物體所受的重力是恒力，則它的沖量大小為：FΔt=mgt.則選項(xiàng)B正確.

由于重力的作用，使得物體的動量發(fā)生了變化，設(shè)物體落地時(shí)沿豎直方向的分速度為vy，取豎直向下方向?yàn)檎较?，根?jù)動量定理可得：

FΔt=mgt=mvy-0

在豎直方向應(yīng)用運(yùn)動學(xué)公式可得：vy2=2gh

所以，重力產(chǎn)生沖量的大小為：

顯然，選項(xiàng)D正確，故本題的正確選項(xiàng)為BD.

點(diǎn)評FΔt是指F在時(shí)間Δt內(nèi)產(chǎn)生的沖量，如果F是恒力，則沖量FΔt是恒量.

3.2 若F是變力，則應(yīng)用動量定理求出的沖量FΔt是平均值

例10在一光滑的水平面上，有一輕質(zhì)彈簧，彈簧一端固定在豎直墻壁上，另一端緊靠著一物體A，已知物體A的質(zhì)量m=4 kg，如圖4所示.現(xiàn)用一水平力F作用在物體A上，并向左壓縮彈簧，力F做功50 J后(彈簧仍處在彈性限度內(nèi))，突然撤去力F，物體A從靜止開始運(yùn)動.則當(dāng)撤去力F后，彈簧的彈力對物體A的沖量大小為( ).

A.20 N·s B.50 N·s C.25 N·s D.40 N·s

圖4

分析撤去力F后，在彈簧的彈力作用下，物體向右做加速運(yùn)動.設(shè)彈簧恢復(fù)原長時(shí)物體A的速度為v.

根據(jù)動量定理得FΔt=mv-0

解以上幾式得：

可見，選項(xiàng)A正確.

點(diǎn)評本題中涉及的彈簧的彈力是一個(gè)變力，則應(yīng)用動量定理求出的沖量FΔt是一個(gè)平均值.

3.3 改變時(shí)間Δt，在沖量FΔt不變時(shí)，可以改變F的大小

例11雜技演員做高空表演時(shí)，為了安全常在下面掛一張很大的安全網(wǎng)，演員不小心從高處掉下落在網(wǎng)上，跟落在相同高度的地面上相比較，下列說法正確的是( ).

A.下落的人與安全網(wǎng)接觸時(shí)間較長，人落在網(wǎng)上時(shí)沖量變化較小

B.下落的人與安全網(wǎng)接觸時(shí)間較長，人落在網(wǎng)上時(shí)動量變化較小

C.下落的人與安全網(wǎng)接觸時(shí)間較長，人落在網(wǎng)上時(shí)動量變化較大

D.下落的人與安全網(wǎng)接觸時(shí)間較長，網(wǎng)對人的作用力比落在地上的作用力較小

分析雜技演員落在網(wǎng)上或者地面上，從速度v減小到零的過程中，動量的變化量為Δp=mv-0，顯然，雜技演員落到網(wǎng)上或者地面上，最終動量的變化是相同的，所以，選項(xiàng)B、C錯(cuò)誤；由動量定理FΔt=mv可知，人落在網(wǎng)上或者地面上時(shí)，沖量的變化是一樣的，則選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)動量定理FΔt=mv可知，人落在網(wǎng)上時(shí)接觸時(shí)間長，則網(wǎng)對人的作用力較小，因此，選項(xiàng)D正確.

點(diǎn)評由動量定理FΔt=mv-mv0看到，當(dāng)某物體的動量變化相同時(shí)，通過增大力的作用時(shí)間Δt，可以減小作用力F的大小.

4 對Δmv的理解

4.1 由于物體速度的變化而引起動量的變化，即P=Δmv=mΔv

例12如圖5所示，一物體分別沿三個(gè)傾角不同的光滑斜面由靜止開始分別從頂端下滑到底端C、D、E三處，三個(gè)過程中重力的沖量依次為I1、I2、I3,動量變化量的大小依次為Δp1、Δp2、Δp3，則有 ( ).

A.I1

C.Δp1=Δp2=Δp3D.Δp1<Δp2<Δp3

圖5

答案：AC.

點(diǎn)評本題中的物體沿不同的斜面下滑的過程中，由于速度變化量的大小相等，則物體的動量變化量的大小也相等.

4.2 由于物體某部分的動量變化而引起整體動量的變化，即P=Δmv

例13如圖6所示，一個(gè)下面裝有輪子的貯氣瓶停放在光滑的水平地面上，底端與豎直墻壁接觸.現(xiàn)打開右端閥門，氣體向外噴出，設(shè)噴口的面積為S，氣體的密度為ρ，氣體向外噴出的速度為v，則氣體剛噴出時(shí)鋼瓶底端對豎直墻面的作用力大小為多大？

圖6

分析設(shè)Δt時(shí)間內(nèi)從貯氣瓶內(nèi)噴出的氣體的質(zhì)量為：

Δm=ρSvΔt

對貯氣瓶、瓶內(nèi)氣體和噴出的氣體這個(gè)整體應(yīng)用動量定理得：

FΔt=Δmv-0

解得：F=ρSv2

點(diǎn)評本題中，由于貯氣瓶向外噴出氣體，使得貯氣瓶、瓶內(nèi)氣體和噴出的氣體這個(gè)整體的動量發(fā)生變化，則貯氣瓶必須受到一個(gè)外力的作用.

5 從選取過程上看

5.1 分過程應(yīng)用

對于一個(gè)多過程問題，應(yīng)用動量定理時(shí)，可以分過程應(yīng)用.

例14質(zhì)量為1 kg的物體靜止放在足夠大的水平桌面上，物體與桌面間的動摩擦因數(shù)為μ=0.4，有一大小為5 N的水平恒力F作用于物體上，使之加速前進(jìn)，經(jīng)3 s后撤去F，求物體運(yùn)動的總時(shí)間．(g=10 m/s2)

分析在t1=3s這段時(shí)間內(nèi)，在水平方向，物體受到水平恒力F和摩擦力f的作用，設(shè)末速度為v，則由動量定理得：(F-f)t1=mv-0

在撤去水平恒力F后至物體停止運(yùn)動這段時(shí)間t2內(nèi)，物體受到摩擦力f的作用，則由動量定理得：

-ft2=0-mv

而：f=μmg

解以上三式得：

則物體運(yùn)動的總時(shí)間為：

t=t1+t2=3s+0.75s=3.75s

點(diǎn)評：本題涉及兩個(gè)過程：F作用的過程和F撤去后的過程，可分別對這兩個(gè)過程應(yīng)用動量定理.

5.2 全過程應(yīng)用

對于一個(gè)多過程問題，應(yīng)用動量定理時(shí)，可以分過程應(yīng)用.

例15如圖7所示，A、B兩小物塊用平行于斜面的輕細(xì)線相連，均靜止于斜面上．用平行于斜面向上的恒力拉A，使A、B同時(shí)由靜止起以加速度a沿斜面向上運(yùn)動．經(jīng)時(shí)間t1，細(xì)線突然被拉斷．再經(jīng)時(shí)間t2，B上滑到最高點(diǎn)．已知A、B的質(zhì)量分別為m1、m2，細(xì)線斷后拉A的恒力不變，求B到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)A的速度.

圖7

分析對于由A、B兩小物塊組成的系統(tǒng)，受到的合外力始終不變，且大小為F合=(m1+m2)a

對A、B兩小物塊運(yùn)動的全過程應(yīng)用動量定理得：

(m1+m2)a(t1+t2)=m1vA

點(diǎn)評由A、B兩小物塊組成的系統(tǒng)經(jīng)歷兩個(gè)過程，細(xì)線拉斷前的運(yùn)動和細(xì)線拉斷后的運(yùn)動.本題在整個(gè)過程中應(yīng)用動量定理，顯得簡捷快速.

總之，要理解和掌握動量定理FΔt=mv-mv0的物理涵義和靈活應(yīng)用，必須注意公式的適用條件，必須弄清各個(gè)物理量的物理意義，必須掌握應(yīng)用定理的方法.