葉啟海 范習(xí)昱

(江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒高級(jí)中學(xué) 212143)

函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題因?yàn)樯婕暗交境醯群瘮?shù)的圖象和性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，又滲透著轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，在培養(yǎng)思維的靈活性和創(chuàng)造性等方面起到了非常明顯的作用，且對(duì)學(xué)生的綜合素質(zhì)提出了很高的要求，學(xué)生處理起來(lái)感到棘手，下文從四個(gè)方面加以分類例析.

1函數(shù)與方程思想，直接求根策略

A.[-1，2)∪[3，+∞) B.[1,2)∪[3,+∞)

C.[1，2)∪[2，+∞) D.[1，+∞)

解析令x2-2x-3=0,可得x=-1或x=3.

令ln(x-1)=0,可得x=2.

因?yàn)閤-1>0，所以x>1.

所以λ>1.

作出圖象(如圖1)，結(jié)合圖象可得1≤λ<2或λ≥3時(shí)，f(x)恰有兩零點(diǎn).故選B.

圖1

解析(1)不等式的解集為1,4.(過(guò)程略)

圖2

(2)作出函數(shù)y=x-4與y=x2-4x+3的圖象，如圖2所示，由圖可知，當(dāng)λ≤1時(shí)，函數(shù)fx有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)1<λ≤3時(shí)，函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)3<λ≤4時(shí)，函數(shù)fx有3個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)λ>4時(shí)，函數(shù)fx有2個(gè)零點(diǎn).

所以當(dāng)函數(shù)fx有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，λ的取值范圍為1,3∪4,+∞.

點(diǎn)評(píng)根據(jù)零點(diǎn)的定義，函數(shù)fx零點(diǎn)是方程fx=0的根，因此利用函數(shù)與方程思想直接求根策略是處理零點(diǎn)參數(shù)問(wèn)題的首要策略.這兩個(gè)案例的參數(shù)都是分段函數(shù)分界出的自變量的取值，我們可以先直接求出每段的零點(diǎn)，然后將參數(shù)與這些零點(diǎn)的關(guān)系進(jìn)行討論，不難得出結(jié)果.

2 轉(zhuǎn)化與化歸思想，數(shù)形結(jié)合策略

A.(0,1) B.(0,2) C.(0,3) D.(1,3)

解析畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖3所示.

圖3

等價(jià)于方程f(x)-a=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即y=f(x)和y=a的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象,0

A.[-1,0] B.[0,+∞)

C.[-1,+∞) D.[1,+∞)

解析函數(shù)g(x)=f(x)+x+a存在2個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程f(x)=-x-a有2 個(gè)不同的實(shí)根，函數(shù)fx的圖象與直線y=-x-a有2個(gè)交點(diǎn)，作出直線y=-x-a與函數(shù)f(x)的圖象，如圖4，由圖可知，-a≤1，解得a≥-1，故選C.

圖4

圖5 圖6 圖7

故選D.

點(diǎn)評(píng)函數(shù)零點(diǎn)是函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，具有很強(qiáng)的幾何特征，采取數(shù)形結(jié)合的策略是處理函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的最為常見(jiàn)而有效的策略.這一策略基于一種轉(zhuǎn)化與化歸的思想，即方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)，圍繞三者之間的關(guān)系，是可以探求參數(shù)的范圍.例3轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與一條水平直線的交點(diǎn)問(wèn)題，例4轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與一組平行直線的交點(diǎn)問(wèn)題，例5轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與斜率變化的直線交點(diǎn)問(wèn)題，這里解題的關(guān)鍵是運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，立足參數(shù)的幾何含義和題目中有關(guān)零點(diǎn)的條件，加以分類討論從而解決參數(shù)范圍.

3 轉(zhuǎn)化與化歸思想，導(dǎo)數(shù)分析策略

A.a<-1,b<0 B.a<-1,b>0

C.a>-1,b<0 D.a>-1,b>0

根據(jù)題意函數(shù)y=f(x)-ax-b恰有3個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)y=f(x)-ax-b在(-∞,0)上有一個(gè)零點(diǎn)，在[0,+∞)上有2個(gè)零點(diǎn)，如圖8：

圖8

所以a>-1,b<0.故選C.

例7(2020年全國(guó)卷(文科)(新課標(biāo)Ⅰ))已知函數(shù)f(x)=ex-a(x+2).

(1)當(dāng)a=1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

解析(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞)；

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，即ex-a(x+2)=0有兩個(gè)解.

令h′(x)>0，解得x>-1，

令h′(x)<0，解得x<-2或-2

所以函數(shù)h(x)在(-∞,-2)和(-2,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,+∞)上單調(diào)遞增，且當(dāng)x<-2時(shí)，h(x)<0，而x→-2+時(shí)，h(x)→+∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，h(x)→+∞.

點(diǎn)評(píng)根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷一個(gè)或多個(gè)參數(shù)的范圍問(wèn)題，其難度較大，但解題基本思路和工具依然沒(méi)有變化，即利用零點(diǎn)存在定理，結(jié)合數(shù)形結(jié)合、分類討論思想，加以轉(zhuǎn)化與化歸.例6和例7充分利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性和極值、最值等)來(lái)確定參數(shù)范圍，這表明函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題與導(dǎo)數(shù)的交匯性很深，也凸顯導(dǎo)數(shù)功能的強(qiáng)大.

4 變量分類思想，函數(shù)值域策略

(1)求a的值；

(2)函數(shù)g(x)=f(x)-log2k，若函數(shù)g(x)有零點(diǎn)，求參數(shù)k的取值范圍.

解析(1)a=2(過(guò)程略).

(2)若函數(shù)g(x)有零點(diǎn)，則直線y=log2k與曲線y=f(x)有交點(diǎn).

(1)當(dāng)m=1時(shí)，解不等式f(x)+1>f(x+1);

(2)設(shè)x∈[3,4]，且函數(shù)y=f(x)+3存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解析(1)不等式f(x)+1>f(x+1)的解集為(-∞,0)∪(1,+∞)(過(guò)程略).

即m=-(x+1)2+4在[3,4]上有解.

函數(shù)y=-(x+1)2+4在[3,4]上單調(diào)遞減，則y∈[-21,-12],從而，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-21,-12].

點(diǎn)評(píng)關(guān)于零點(diǎn)存在性問(wèn)題，一般都可以變量分離后，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問(wèn)題，例8和例9都是這種做法，當(dāng)然，面對(duì)零點(diǎn)具體個(gè)數(shù)的分析，函數(shù)值域策略有時(shí)會(huì)失靈.

與函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)的參數(shù)范圍求解問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，是高考命制壓軸題的主要源泉之一，我們需要引起足夠重視.處理零點(diǎn)相關(guān)的參數(shù)問(wèn)題，我們有如下常用的策略：

(1) 直接求根策略：解方程f(x)=0.

(2) 數(shù)形結(jié)合策略：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.

(3) 導(dǎo)數(shù)分析策略：面對(duì)零點(diǎn)具體個(gè)數(shù)的討論求參范圍時(shí)用導(dǎo)數(shù)分析.

(4) 函數(shù)值域策略：零點(diǎn)的存在問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題.

我們相信，只要熟練掌握這四種策略，求解與函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題并不是一件很難的事.