莫 競

（東莞市第二高級中學(xué)，廣東 東莞 523129）

0 引言

大數(shù)據(jù)時代的計算機技術(shù)不斷提升，各種軟件和現(xiàn)代信息技術(shù)在統(tǒng)計工作廣泛應(yīng)用，大大提高了統(tǒng)計工作的效率。數(shù)據(jù)分析是大數(shù)據(jù)時代數(shù)學(xué)應(yīng)用的主要方法?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）中建議，統(tǒng)計的核心是數(shù)據(jù)分析，統(tǒng)計的教學(xué)活動應(yīng)通過典型案例進行，鼓勵學(xué)生盡可能運用計算機處理數(shù)據(jù)[1]。根據(jù)《標準》的教學(xué)建議，學(xué)生需要通過處理案例獲得數(shù)據(jù)分析的經(jīng)驗，習(xí)得數(shù)據(jù)分析的方法，理解數(shù)據(jù)分析的思路，從而能夠區(qū)別統(tǒng)計思維與確定性思維、歸納推斷與演繹證明的差異?？梢姡诮y(tǒng)計內(nèi)容的教學(xué)中，不僅要教授必要的統(tǒng)計技術(shù)，更重要的是要培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計思維。教學(xué)中教師應(yīng)該充分發(fā)揮信息技術(shù)優(yōu)勢，剪枝節(jié)（統(tǒng)計技術(shù)），強主干（統(tǒng)計思維）[2]。

以頻率分布直方圖為例，它是普通高中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容。雖然繪制頻率分布直方圖僅有五個作圖步驟，但是每個步驟的工作量都非常大，如果不借助于信息技術(shù)，學(xué)生將會在煩瑣的數(shù)據(jù)操作中磨滅學(xué)習(xí)的熱情，那就談不上統(tǒng)計思維的培養(yǎng)了。于是，在信息技術(shù)支持下如何開展頻率分布直方圖的教學(xué)就成了必須逾越的課題。

通過軟件例如Excel、SPSS等只要錄入數(shù)據(jù)就能快速生成頻率分布直方圖，但這不利于學(xué)生理解頻率分布直方圖的構(gòu)造和特點，例如很多學(xué)生經(jīng)常會把縱軸的意義搞錯[3]，所以學(xué)生很有必要經(jīng)歷頻率分布直方圖的制作過程。經(jīng)過探索，我們發(fā)現(xiàn)GeoGebra可用于頻率分布直方圖的教學(xué)。

1 GeoGebra的統(tǒng)計功能介紹

GeoGebra是一款能多平臺使用的開源動態(tài)數(shù)學(xué)軟件，因適用于幾何學(xué)、三角學(xué)與微積分的動態(tài)圖形而聞名。其實，該軟件還有強大的統(tǒng)計分析功能。學(xué)生可以使用GeoGebra創(chuàng)建統(tǒng)計圖，進行假設(shè)檢驗，并對現(xiàn)實世界的現(xiàn)象進行統(tǒng)計模擬，而且操作十分簡便[4]。本文就利用GeoGebra教學(xué)頻率分布直方圖進行介紹。

GeoGebra自帶統(tǒng)計功能包括：單變量分析、雙變量回歸分析、多變量分析、分布與檢驗等。例如，把數(shù)據(jù)輸入表格區(qū)的A列后，選中A列再點擊“單變量分析”的按鈕，就能快速輸出頻數(shù)分布直方圖，如果點擊“顯示統(tǒng)計”按鈕，還能得到樣本容量、均值、方差、標準差等基本的數(shù)據(jù)信息，拖動直方圖上方的滑動條時，還能得到不同組數(shù)的圖形。點開選項，我們可以選擇“頻數(shù)類型”中的“正態(tài)化”，就能得到“頻率分布直方圖”，如果選擇顯示“頻數(shù)表”和“頻數(shù)折線圖”，就會在直方圖上附加折線圖，在直方圖下方有“區(qū)間分組”和“頻率/組距”的對應(yīng)列表，如圖1所示。

圖1

可見，利用GeoGebra能快速獲得頻率分布直方圖及相關(guān)的數(shù)據(jù)，但要想學(xué)生獲得制作頻率分布直方圖的獲得經(jīng)驗，就需要讓學(xué)生經(jīng)歷制作頻率分布直方圖的步驟。由于GeoGebra集代數(shù)與幾何于一身，所以能利用GeoGebra提供的指令完成相關(guān)數(shù)據(jù)操作。

2 教學(xué)片段

片段1：對“頻率分布直方圖”的整體認識。

學(xué)生把教材[5]中“100戶居民用戶的月均用水量”數(shù)據(jù)輸入表格區(qū)中的A列，得到A1至A100共100個數(shù)據(jù)，利用GeoGebra單變量分析功能，得到直方圖。教師引導(dǎo)學(xué)生先關(guān)注“頻數(shù)類型”中“頻數(shù)”“相對”和“正態(tài)化”三個選項的區(qū)別。

問題1：在三個選項轉(zhuǎn)換的時候，哪些地方變了，那些地方?jīng)]變？

在三個選項轉(zhuǎn)換的時候，我們可以發(fā)現(xiàn)直方圖的橫坐標是不變的，但是縱坐標發(fā)生了變化，從較大的數(shù)變成較小的的數(shù)。

問題2：在三個不同的選項下拖動滑動條，圖形會產(chǎn)生什么變化？這些變化是由哪些因素引起的？

在三個不同的選項下拖動滑動條，我們可以看到小矩形的形狀發(fā)生了變化。在“頻數(shù)”選項下拖動滑動條，縱坐標的變化較大，在“相對”條件下拖動滑動條，縱坐標的變化小了，在“正態(tài)化”條件下拖動滑動條時縱坐標變化很小，也就是說縱坐標相對比較穩(wěn)定。

問題3：如果要繪制頻率分布直方圖，你會采用什么步驟？

設(shè)計意圖：因為學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)中經(jīng)常利用GeoG-ebra開展探究活動，所以他們能很嫻熟地利用GeoGebra自帶的統(tǒng)計功能直接繪制出頻率分布直方圖。以學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的頻數(shù)分布直方圖為知識的生長點引入主題，通過三個問題引導(dǎo)學(xué)生對該結(jié)果進行深入思考，為深入探究頻率分布直方圖的特征做準備。問題3起到承上啟下的作用，同時能培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計流程意識。

片段二：設(shè)置分組。

為了確定每個小矩形的底邊，就要對數(shù)據(jù)進行分組。教材中建議，當(dāng)數(shù)據(jù)不超過100個時，常分成5至12組，并且一般取等長的組距，組距力求取整。

問題4：分組時需要哪些前提條件？

通過對片段一中的圖形進行觀察，學(xué)生結(jié)合繪制頻數(shù)分布直方圖的經(jīng)驗，知道分組時首先需要知道數(shù)據(jù)的范圍，即要找出數(shù)據(jù)中的最小值和最大值，利用表格區(qū)中的數(shù)據(jù)創(chuàng)建列表“l(fā)1”，利用指令：“最小值(l1)”和“最大值(l1)”得到數(shù)據(jù)中的最大值記作a，最小值記作b。

問題5：分組時如果事先已經(jīng)確定組距為k，那么組數(shù)應(yīng)該怎么確定呢？

學(xué)生經(jīng)過討論后發(fā)現(xiàn)，組數(shù)可以利用(b-a)/k向上取整獲得，在GeoGebra中可以用指令：“ceil((b-a)/k)”獲得。

問題6：怎樣設(shè)置分組區(qū)間的端點？

由于組距一般是等長的，而且力求“取整”，所以可以考慮對最小值向下取整，即d=floor(a)；對最大值向上取整，即e=ceil(b),從而得到直方圖所有區(qū)間中的最小值和最大值。用k來表示組距，那么所有分組區(qū)間的端點可以使用序列指令得到，即：“序列(d+i*k,i,0,ceil((e-d)/3)”，由此可以得到序列l(wèi)2，其中的元素就是每個分組的區(qū)間端點，同時會創(chuàng)建滑動條k，設(shè)置k的取值范圍為：從1到ceil((b-a)/3)，增量為1。

設(shè)計意圖：為了能確定分組區(qū)間的端點，需要對分組區(qū)間的特點進行思考。因為在問題2中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)分組數(shù)（或組距）會影響頻率分布直方圖最后的形狀，所有引入了參數(shù)k。當(dāng)我們拖動k時，可以改變k的值。這時GeoGebra就不僅僅是一個展示工具，還是一個思維工具，能把學(xué)生的思維結(jié)果快速呈現(xiàn)出來，減輕學(xué)生的認知負荷。

片段三：列頻率分布表。

有了橫坐標后，就要計算每個小矩形的高的值。利用GeoGebra的統(tǒng)計指令能夠快速進行頻數(shù)統(tǒng)計以及頻率和每個小矩形的高的值的計算。

問題7：怎樣利用GeoGebra計算小矩形的高？

因為小矩形的高等于頻率/組距，而頻率=頻數(shù)/樣本容量，所以可以利用指令：“頻數(shù)列表(l2,l1)”得到每個分組區(qū)間的頻數(shù)，其結(jié)果是序列l(wèi)3；利用指令：“映射(p/100,p,l3)”將l3中的每個元素除以樣本容量100，從而得到每個分組區(qū)間的頻率，其結(jié)果是序列l(wèi)4。利用指令：“映射(p/k,p,l4)”計算出每個分組區(qū)間的頻率與組距的比值，也就是每個小矩形的高的值。

問題8：怎樣用表格文本指令繪制頻率分布表？

首先需要了解頻率分布表的組成結(jié)構(gòu)，它一共有三列，第一列是分組區(qū)間，第二列是相應(yīng)區(qū)間的頻數(shù)，第三列是相應(yīng)區(qū)間的頻率。

接著就能利用GeoGebra提供的指令構(gòu)建各列的數(shù)據(jù)和繪制頻率分布表。利用指令：“序列("["+l2(i)+","+l2(i+1)+如果(i<>長度(l3),")","]"),I,1,長度(l3)”獲得個分組區(qū)間的數(shù)學(xué)表達式序列l(wèi)7；分別利用指令：“追加("分組",l7)”“追加("頻數(shù)",l3)”和“追加("頻率",l4)”增加表頭，依次得到序列l(wèi)8、l9和l10；最后利用指令：“表格文本(l8,l9,l10,"v|_")”獲得頻率分布表，拖動k的滑動條時，頻率分布表也會隨之而變化，如圖2所示。

圖2

設(shè)計意圖：由于之前的學(xué)習(xí)中有利用表格文本列函數(shù)值表的活動經(jīng)驗，學(xué)生已經(jīng)能比較熟練的使用指令構(gòu)造一些序列，所以，在利用GeoGebra構(gòu)建頻率分布表的時候，學(xué)生要把注意力集中到各數(shù)據(jù)之間的邏輯關(guān)系上來，這個過程有助于學(xué)生對個統(tǒng)計數(shù)據(jù)關(guān)系的理解，同時還能加深他們學(xué)統(tǒng)計表格隨機性的認識。

片段四：繪制頻率分布直方圖。

問題9：怎樣利繪制頻率分布直方圖？

頻率分布直方圖中的每個小矩形的底邊是分組區(qū)間的端點，縱軸是“頻率/組距”，所以可以使用指令：“條形圖(最前元素(l2,長度(l3))+k/2,l5)”繪制出頻率分布直方圖，由于使用條形圖指令時，系統(tǒng)會將l2中的元素作為小矩形底邊的中點，因此需要將圖形平移k/2個單位，也就是加上k/2的原因。點擊直方圖屬性時，還能根據(jù)需要設(shè)置各小矩形的顏色，如圖3所示。圖上還能看到“g=1”的標簽，這指的是所有小矩形的面積之和為1。

圖3

問題10：拖動k的滑動條，觀察圖形的變化，你發(fā)現(xiàn)不同的組數(shù)對直方圖數(shù)據(jù)的分布規(guī)律有什么影響？

觀察可以發(fā)現(xiàn)，同一組數(shù)據(jù)，組數(shù)不同時得到的直方圖的形狀是不盡相同的，當(dāng)頻率分布直方圖的組距大、組數(shù)少的時候，容易看出數(shù)據(jù)整體的分布特點，但損失了各組內(nèi)數(shù)據(jù)的分布情況；當(dāng)頻率分布直方圖的組距小、組數(shù)多的時候，保留了較多的原始數(shù)據(jù)信息，但是圖形變得不規(guī)則，不容易察覺數(shù)據(jù)的總體分布特點，如圖4（P133）所示。

圖4

設(shè)計意圖：在GeoGebra中使用條形圖指令制作的頻率分布直方圖能方便地選擇不同的小矩形進行著色，為后續(xù)問題討論提供了方便。通過觀察圖形地變化，加深學(xué)生對統(tǒng)計數(shù)據(jù)隨機性地理解，從而將統(tǒng)計思維與確定性思維進行區(qū)分。

片段五：利用頻率分布直方圖估計均值和方差。

問題11：怎樣利用頻率分布直方圖估計均值和方差？

使用頻率分布直方圖估算均值和方差時，將同一分組區(qū)間里的數(shù)據(jù)統(tǒng)一為該區(qū)間的中點的值，所以可以使用指令：“ave=總和((l2(i)+k/2)l4(i),i,1,長度(l3))”來獲得平均值，使用指令：“sqrt(總和((l2(i)+k/2-ave)2*l4(i),i,1,長度(l3)))”獲得標準差。

問題12：拖動滑動條k，觀察比較利用直方圖獲得的均值和標準差與利用單變量分析得到樣本的均值和標準差之間的區(qū)別？為什么會造成這種區(qū)別？

通過GeoGebra自帶的單變量分析得到的樣本均值是8.79，標準差是6.2047，如圖5所示，當(dāng)拖動滑動條時可以發(fā)現(xiàn)，由頻率分布直方圖估算得到的均值和標準差都和自帶的數(shù)據(jù)有差異，這是因為頻率分布直方圖已經(jīng)將數(shù)據(jù)信息做了簡約化處理，是以損失一部分信息為代價的，盡管這樣，估算的結(jié)果與真實值相差其實并不大。

圖5

設(shè)計意圖：通過估算平均值和方差，并通過變化k值來比較這兩個值與“真值”的差異，讓學(xué)生能親切地感受到統(tǒng)計思維與確定性思維的區(qū)別，加深統(tǒng)計結(jié)果隨機性的理解。

3 結(jié)語

統(tǒng)計內(nèi)容的學(xué)習(xí)有一個螺旋上升的過程，義務(wù)教育階段的統(tǒng)計內(nèi)容以描述性統(tǒng)計為主，著重在感性層面認知統(tǒng)計思維，學(xué)習(xí)方式偏重于計算；而高中階段的統(tǒng)計內(nèi)容將過渡到推斷性統(tǒng)計，著重于通過理性層面認知統(tǒng)計思維，學(xué)習(xí)方式偏重于統(tǒng)計推斷。頻率分布直方圖一課具有很強的實踐性，雖然內(nèi)容難度不大但統(tǒng)計思想深刻。學(xué)生利用GeoGebra進行操作實踐和動態(tài)圖形的分析，能更好地理解頻率分布直方圖的特點，能更深刻的理解統(tǒng)計思維與確定性思維的區(qū)別，加深統(tǒng)計結(jié)果隨機性的理解。