□江蘇省江陰市青陽(yáng)實(shí)驗(yàn)小學(xué) 吳曉燕

“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，數(shù)形結(jié)合思想作為小學(xué)數(shù)學(xué)思想中的一種，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)有著至關(guān)重要的影響。文章詳細(xì)闡述了數(shù)形結(jié)合思想的相關(guān)內(nèi)容，對(duì)支持這一思想教學(xué)的理論加以分析。同時(shí)，文章從小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際情況出發(fā)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想的主要內(nèi)涵從“以形助數(shù)”“以數(shù)解形”“數(shù)形結(jié)合”三個(gè)角度提出幾點(diǎn)教學(xué)建議，以供參考。

一、“數(shù)形結(jié)合”思想的相關(guān)界定

“數(shù)”“形”是數(shù)學(xué)研究的基本對(duì)象，當(dāng)條件適宜時(shí)，“數(shù)”與“形”二者之間可以相互轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化被稱為“數(shù)形結(jié)合”。“數(shù)形結(jié)合”思想基于數(shù)形結(jié)合衍生而來(lái)，是一種將抽象數(shù)量關(guān)系與直觀圖形結(jié)合起來(lái)分析問(wèn)題的一種思想方法。這一思想的應(yīng)用范圍極廣，可被用于解代數(shù)問(wèn)題、幾何問(wèn)題等多種問(wèn)題。總體來(lái)說(shuō)，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用類型可被分為“以形助數(shù)”“以數(shù)解形”“數(shù)形結(jié)合”三類。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用教學(xué)原則

第一，思想應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容要與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容契合。小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)在于啟蒙學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念，使學(xué)生掌握基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí)和基本的數(shù)學(xué)技能，為日后的初、高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。教師應(yīng)圍繞小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的某一問(wèn)題或幾個(gè)問(wèn)題進(jìn)行思想教學(xué)，使學(xué)生能借助具體思想方法解決學(xué)習(xí)問(wèn)題。

第二，思想應(yīng)用教學(xué)要尊重學(xué)生的學(xué)習(xí)意愿。每一名小學(xué)生都是一個(gè)獨(dú)立的個(gè)體，其學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)能力存在差異。針對(duì)不同學(xué)生的具體情況制定個(gè)性化的教學(xué)方案，通過(guò)因材施教的方法讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)形結(jié)合思想，繼而領(lǐng)悟這一思想，從而增強(qiáng)思想應(yīng)用教學(xué)效果。

第三，思想應(yīng)用教學(xué)要精簡(jiǎn)。小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)時(shí)間短暫，且教學(xué)環(huán)節(jié)眾多，為了在課上完成基本教學(xué)內(nèi)容，并充分鍛煉學(xué)生的綜合能力，教師應(yīng)精簡(jiǎn)思想教學(xué)內(nèi)容。精簡(jiǎn)內(nèi)容并不意味著刪減內(nèi)容，而是要求教師使用簡(jiǎn)潔、凝練的語(yǔ)言指出思想教學(xué)的關(guān)鍵，幫助學(xué)生梳理問(wèn)題解決思路，從而達(dá)到化難為簡(jiǎn)的教學(xué)目的。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想實(shí)踐應(yīng)用策略

（一）把握“以形助數(shù)”，培養(yǎng)代數(shù)運(yùn)算能力

數(shù)學(xué)代數(shù)問(wèn)題較為抽象，部分學(xué)生在學(xué)習(xí)此類問(wèn)題時(shí)存在理解困難的問(wèn)題，影響代數(shù)教學(xué)效果。將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用到代數(shù)教學(xué)中，使用直觀的“形”表示抽象的“數(shù)”，使學(xué)生借助“形”理解數(shù)、感知數(shù)、計(jì)算數(shù)，從而提升其代數(shù)運(yùn)算能力。

1.基本圖形導(dǎo)入教學(xué)，激發(fā)學(xué)生數(shù)感

研究發(fā)現(xiàn)，小學(xué)數(shù)學(xué)題目多以量的形式展現(xiàn)，其內(nèi)容大多是量與量的關(guān)系。然而，量的教學(xué)過(guò)于抽象，學(xué)生接觸過(guò)多抽象的數(shù)字題目容易混淆所學(xué)知識(shí)，造成思維的混亂。對(duì)此，教師可采取“以形助數(shù)”教學(xué)方法，通過(guò)將抽象的數(shù)字、數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為可直觀觀察的圖形，幫助學(xué)生理解數(shù)的意義、代數(shù)運(yùn)算的意義，從而激發(fā)學(xué)生的數(shù)感。

以蘇教版二年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)“表內(nèi)乘法”一課的教學(xué)為例，為了讓學(xué)生知道2、3、4 乘法口訣的來(lái)源，理解每句乘法口訣的意義，學(xué)會(huì)計(jì)算4 以內(nèi)的兩個(gè)數(shù)相乘，教師使用基本圖形導(dǎo)入知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)行教學(xué)：教師手持兩顆小紅星，在黑板上粘貼兩顆小紅星，提出問(wèn)題：一共有多少顆小紅星？學(xué)生回答：2+2=4，一共有4 顆小紅星。之后，教師在墻上粘貼兩顆小紅星，繼續(xù)提問(wèn)：現(xiàn)在一共有多少顆小紅星？學(xué)生用數(shù)數(shù)、加法計(jì)算的方式給出回答：現(xiàn)在有6 顆小紅星。這時(shí)，教師從另一個(gè)角度切入進(jìn)行提問(wèn)：如果兩顆小紅星是一組紅星，那么現(xiàn)在有幾組紅星？一組紅星幾顆小星星？?jī)山M呢？三組呢？借助圖形，讓學(xué)生理解 2×1=2、2×2=4、2×3=6 的意義，使其掌握的乘法計(jì)算。

上述案例，教師借助基礎(chǔ)圖形形象地展示抽象的數(shù)量關(guān)系，降低學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)問(wèn)題的難度，使學(xué)生真正理解代數(shù)運(yùn)算的含義，掌握具體方法。

2.圖形模型繪制教學(xué)，發(fā)展轉(zhuǎn)化思維

應(yīng)用題教學(xué)是小學(xué)代數(shù)教學(xué)的主要內(nèi)容之一。由于應(yīng)用習(xí)題涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，學(xué)生必須耗費(fèi)較多的時(shí)間、精力進(jìn)行計(jì)算，才能解決此類題目。將以形助數(shù)思想應(yīng)用到應(yīng)用題教學(xué)中，指導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換角度思考代數(shù)應(yīng)用題，尋求簡(jiǎn)便算法，從而提高學(xué)生的應(yīng)用題求解效率。對(duì)此，教師可在課上指導(dǎo)學(xué)生繪制應(yīng)用題模型，讓學(xué)生借助線段圖、實(shí)物圖等多種圖形快速解決復(fù)雜問(wèn)題。

以蘇教版三年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)“間隔排列”的教學(xué)為例，問(wèn)題如下：果園里一栽了一排楊樹(shù)共80 棵，每?jī)煽弥g相隔2 米，第1 棵到第80 棵共有多少米？這道問(wèn)題較為抽象，考查學(xué)生間隔排列的計(jì)算思維。為了讓學(xué)生更好地理解題意，確定正確的解題思路，教師繪制表示間隔問(wèn)題的線段圖，并用彩色粉筆標(biāo)注間隔、間距等關(guān)鍵信息。借助模型，教師提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考：第1 棵到第80 棵樹(shù)之間有多少個(gè)間隔？由于數(shù)量過(guò)于龐大，學(xué)生一時(shí)間計(jì)算不出來(lái)，這時(shí)教師可給出簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型，如第1 棵到第4 棵樹(shù)、第1 棵到第5 棵樹(shù)模型等，讓其找到計(jì)算間隔的規(guī)律，并列式79×2=158，得出問(wèn)題答案。之后，教師組織學(xué)生總結(jié)、反思解題過(guò)程，使學(xué)生意識(shí)到線段模型的優(yōu)勢(shì)，學(xué)會(huì)用模型轉(zhuǎn)化的思維看待數(shù)學(xué)問(wèn)題。

上述案例，教師在應(yīng)用題教學(xué)過(guò)程中引入線段模型，借助線段模型簡(jiǎn)化復(fù)雜應(yīng)用題，使學(xué)生厘清計(jì)算思路，久而久之提升學(xué)生的計(jì)算思維水平。

（二）把握“以數(shù)解形”，培養(yǎng)幾何分析能力

1.數(shù)字信息解析圖形，增強(qiáng)抽象意識(shí)

隨著教學(xué)工作的展開(kāi)，小學(xué)數(shù)學(xué)幾何教學(xué)內(nèi)容的難度逐步提高，幾何問(wèn)題與代數(shù)問(wèn)題的聯(lián)系也愈發(fā)緊密。教學(xué)過(guò)程中，部分學(xué)生由于缺乏空間意識(shí)、空間觀念在學(xué)習(xí)幾何知識(shí)時(shí)出現(xiàn)問(wèn)題，導(dǎo)致對(duì)基本知識(shí)點(diǎn)掌握不牢固，無(wú)法應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決復(fù)雜幾何問(wèn)題。教師可將“以數(shù)解形”思想方法應(yīng)用到教學(xué)中，通過(guò)代數(shù)的方式將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫鎲?wèn)題、代數(shù)問(wèn)題，以此解決學(xué)生空間思維能力不足的問(wèn)題。同時(shí)，教師還可指導(dǎo)學(xué)生將數(shù)字信息代入圖形中，通過(guò)數(shù)字解析的方法加強(qiáng)學(xué)生對(duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)，從而增強(qiáng)其空間觀念。

以蘇教版四年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)“三角形、平行四邊形和梯形”一課的教學(xué)為例，為了讓學(xué)生理解多邊形的內(nèi)角與邊數(shù)之間的關(guān)系，使學(xué)生在比較、歸納多邊形時(shí)形成良好的空間觀念，教師應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行教學(xué)。教師給每組學(xué)生發(fā)放提前準(zhǔn)備的四邊形，提出問(wèn)題：你手中的四邊形四個(gè)內(nèi)角的和是多少？讓學(xué)生使用量角器測(cè)量角的度數(shù)，得到四邊形內(nèi)角和為360°的結(jié)果。之后，教師發(fā)放五邊形、六邊形、七邊形，提出同樣的問(wèn)題，讓學(xué)生進(jìn)行測(cè)量、讀數(shù)、記錄操作，得到五邊形內(nèi)角和為 540°、720°、900°的結(jié)果。結(jié)合測(cè)量、計(jì)算的數(shù)據(jù)信息，教師組織學(xué)生討論：從這些測(cè)量結(jié)果中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？多邊形內(nèi)角和有哪些簡(jiǎn)便計(jì)算方法？通過(guò)組織討論，讓學(xué)生將數(shù)字信息與幾何信息串聯(lián)起來(lái)，得出邊形內(nèi)角和=（邊長(zhǎng)-2）×180°的規(guī)律，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)以數(shù)解形的感悟。

上述案例，教師借助數(shù)字信息讓學(xué)生挖掘幾何圖形中蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)關(guān)系，使學(xué)生在對(duì)比分析數(shù)字信息的過(guò)程中找到數(shù)學(xué)規(guī)律，從而增強(qiáng)其抽象能力。

2.公式定理對(duì)照結(jié)構(gòu)，發(fā)展邏輯思維

小學(xué)幾何教學(xué)內(nèi)容同樣涉及計(jì)算公式、計(jì)算定理?！耙詳?shù)解形”思想方法對(duì)解決學(xué)生幾何學(xué)習(xí)淺層學(xué)習(xí)問(wèn)題有重要幫助。教師可在教學(xué)過(guò)程中指導(dǎo)學(xué)生拼、剪、裁圖形，并讓學(xué)生將圖形的尺寸標(biāo)記在具體位置上，讓學(xué)生在實(shí)際操作、計(jì)算過(guò)程中理解幾何公式。以蘇教版五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)“多邊形的面積”一課教學(xué)為例，教學(xué)平行四邊形的面積相關(guān)知識(shí)時(shí)，為了讓學(xué)生充分理解S平行四邊形= 底 × 高這一幾何面積計(jì)算公式，教師組織數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：學(xué)生以小組為單位，準(zhǔn)備同樣大小的多個(gè)平行四邊形、剪刀、刻度尺、記錄表等工具，讓學(xué)生使用剪、裁、拼、接的方式實(shí)驗(yàn)探究平行四邊形的面積。實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生使用刻度尺量出平行四邊形的底邊長(zhǎng)、斜邊長(zhǎng)、高，并將數(shù)據(jù)標(biāo)注在圖形上，之后嘗試不同方法求圖形面積。比如，有學(xué)生將平行四邊形剪成一個(gè)長(zhǎng)方形、兩個(gè)全等三角形，并使用刻度尺測(cè)量長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬，測(cè)量三角形的底、高，結(jié)合數(shù)據(jù)求出面積記錄在表格中；有學(xué)生使用剪刀將平行四邊形一側(cè)的三角形剪下，通過(guò)拼接的方式拼到另一側(cè)，使平行四邊形變成一個(gè)大長(zhǎng)方形，接著測(cè)量大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，得到圖形面積。之后，教師展示公式S平行四邊形= 底 × 高，讓學(xué)生對(duì)照實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)、公式計(jì)算結(jié)果探究平行四邊形面積的計(jì)算定理，使學(xué)生在以數(shù)解形的過(guò)程中形成嚴(yán)密的邏輯。

上述案例，教師從以數(shù)解形的角度出發(fā)組織數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中得到豐富的數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)，并根據(jù)數(shù)據(jù)反思幾何公式、幾何定理，使學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中提升邏輯推理能力。

（三）把握“數(shù)形結(jié)合”，培養(yǎng)數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)

“數(shù)”與“形”的互變?cè)谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中有較多體現(xiàn)。在講解重難點(diǎn)、講解復(fù)雜習(xí)題時(shí)，教師可將“數(shù)形結(jié)合”思想應(yīng)用到教學(xué)中，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中找出“數(shù)”與“形”之間的互化關(guān)聯(lián)，學(xué)會(huì)見(jiàn)“形”聯(lián)想“數(shù)”，見(jiàn)“數(shù)”聯(lián)想“形”。

1.“數(shù)形結(jié)合”攻克難點(diǎn)，發(fā)展深度思維

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中不乏難以理解的復(fù)雜知識(shí)點(diǎn)。教學(xué)時(shí)，教師不僅要對(duì)知識(shí)點(diǎn)的概念、含義進(jìn)行講解，還要引導(dǎo)學(xué)生向知識(shí)的更深處探索，使其挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)，加速學(xué)生對(duì)知識(shí)的內(nèi)化與吸收。數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用有助于化簡(jiǎn)復(fù)雜問(wèn)題，使學(xué)生借助直觀的幾何圖示形象化問(wèn)題，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。教師要在適宜的情況下應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，指導(dǎo)學(xué)生攻克疑難點(diǎn)，深化學(xué)生的理性思維。

以蘇教版六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)除法”一課的教學(xué)為例，本課的教學(xué)難點(diǎn)包括讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析題目中的數(shù)量關(guān)系、明確分?jǐn)?shù)除法的原理、掌握分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計(jì)算方法。針對(duì)重點(diǎn)，教師提出導(dǎo)入問(wèn)題：打字員打一份文件，打了20 分鐘后還剩，平均每分鐘打這份文件的幾分之幾？初讀這一題目時(shí)，學(xué)生被題目中復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系繞暈，無(wú)法正確列式解答。這時(shí)，教師板書(shū)圖形，將全部文件看作“1”，繪制出一個(gè)大長(zhǎng)方形，根據(jù)題意將長(zhǎng)方形平均分成5 份，將還剩文件部分使用藍(lán)色粉筆繪制陰影，剩余的長(zhǎng)方形代表已打完文件數(shù)量。接著，教師再使用粉色彩筆將的長(zhǎng)方形平均分為20 份，每一份粉色陰影部分的小長(zhǎng)方形是大長(zhǎng)方形的通過(guò)使用不同顏色粉筆對(duì)圖形的不同部分做出標(biāo)記，使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀起來(lái)。這時(shí)，教師再讓學(xué)生結(jié)合圖形思考原問(wèn)題，使學(xué)生列出算式，并結(jié)合圖形將算式轉(zhuǎn)化為，從中悟出分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算原理。在此基礎(chǔ)上，教師再展開(kāi)變式教學(xué)，讓學(xué)生使用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決類似問(wèn)題，從而加強(qiáng)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)除法原理的理解。

教學(xué)重難點(diǎn)時(shí)，教師可先提出典型問(wèn)題，并畫(huà)圖幫助學(xué)生理解問(wèn)題中不同數(shù)量關(guān)系的含義。接著，讓學(xué)生依照?qǐng)D形內(nèi)容列式、計(jì)算，使學(xué)生在觀圖過(guò)程中理解代數(shù)運(yùn)算的原理，從而深化其學(xué)習(xí)思維。

2.“數(shù)形結(jié)合”組織探究，發(fā)展探究思維

助力學(xué)生思維發(fā)展是目前小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)。教學(xué)過(guò)程中，教師要一改過(guò)去教學(xué)思想，認(rèn)識(shí)到培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性的必要性，在合適的情況下組織探究教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生的自主思考、合作探究思維得以發(fā)展。此過(guò)程中，教師要將“數(shù)形結(jié)合”思想良好融入，使學(xué)生在探究學(xué)習(xí)過(guò)程中總結(jié)出數(shù)化形、形化數(shù)的學(xué)習(xí)方法，為學(xué)生的思維進(jìn)階奠定良好基礎(chǔ)。

以蘇教版六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)“圓柱和圓錐”一課的教學(xué)為例，教師組織探究活動(dòng)：超市里有一圓柱體的薯片，已知圓柱體的底面直徑長(zhǎng)度為11cm，圓柱體的高為15cm，圓柱體外貼有某品牌的包裝紙，求出薯片外包裝紙的面積。這一問(wèn)題是典型的求立體幾何表面積的問(wèn)題，讓學(xué)生自主思考、合作探究這一問(wèn)題答案，可激發(fā)學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”思想的應(yīng)用潛力，使其學(xué)會(huì)從變換的角度出發(fā)思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，使學(xué)生思考問(wèn)題的方式更加靈活。探究過(guò)程中，有學(xué)生使用卡紙模擬出薯片盒的形狀，其他學(xué)生則按照題意在練習(xí)本上繪制出圓柱體的圖形，并將圖形的三視圖繪制在一旁。通過(guò)將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓柱體表面積的計(jì)算問(wèn)題可被轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形表面積、圓形表面積計(jì)算問(wèn)題。根據(jù)這一思路，學(xué)生分別列式S長(zhǎng)方形= 11π × 15 ≈ 518cm2、S= π × 5.52≈ 95cm2、518 + 95 = 613cm2，探 究 出 問(wèn)題答案。探究過(guò)程中，學(xué)生充分應(yīng)用了“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，確定了清晰的解題思路。

上述案例，教師在課上組織學(xué)生探究活動(dòng)，出示數(shù)學(xué)案例讓學(xué)生探究問(wèn)題答案。此過(guò)程中，教師點(diǎn)撥學(xué)生應(yīng)用“以數(shù)助形”“以形助數(shù)”的思想方法簡(jiǎn)化探究過(guò)程，使學(xué)生學(xué)會(huì)使用簡(jiǎn)單方法完成對(duì)問(wèn)題的深度探究。

四、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、抽象思維、空間意識(shí)、綜合能力有著重要意義。教師要認(rèn)識(shí)到數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)的必要性，結(jié)合相關(guān)理論設(shè)計(jì)科學(xué)、合理的思想教學(xué)方案，確保學(xué)生能在學(xué)習(xí)過(guò)程中了解數(shù)形結(jié)合思想，同時(shí)學(xué)會(huì)使用這一思想解決數(shù)學(xué)疑難問(wèn)題。