馬春梅, 司雨欣, 吳婷婷

(新疆師范大學 數(shù)學科學學院, 新疆 烏魯木齊 830017)

0 引言

在二階橢圓型偏微分方程的研究過程中, 邊值問題的解的存在性是最重要的問題之一.邊值問題主要分為Dirichlet問題,Neumann問題與斜導數(shù)問題,而解決邊值問題解的存在性問題的關鍵在于先驗估計,即解的梯度估計,最大模估計等.梯度估計中的Dirichlet問題已有廣泛的研究,1969年Serrin[1]給出了二階擬線性橢圓型偏微分方程的Dirichlet問題的解的存在性的證明.2001年Gibarg,Trudinger等人[2],研究了具有Dirichlet問題的可解性和線性方程解的一般性質.對于預定夾角問題,也有相關研究,Simon-Spruck[3],Gerhardt[4],Lieberman[5]等人利用分部積分法用給出了高維預定夾角問題的梯度估計.

2014年,徐金菊[6]綜合利用Spruck[7],Wang[8],Lieberman[5]所發(fā)展的Bernstein技巧給出了Laplace方程Neumann問題的梯度估計,即

Δu=f(x,u),x∈Ω,

2019年,劉海燕研究如下Laplace方程在Neumann邊值問題的梯度估計[9],即

Δu=f(x,u,Du),x∈Ω,

受徐金菊[6]的啟發(fā),本文考慮如下形式的一類Laplace方程預定夾角問題的梯度估計

Δu=f(x,u,Du),x∈Ω,

鑒于橢圓型偏微分方程解的梯度估計證明[10-11],本文利用徐金菊所使用的Bernst-ein技巧,推導出Laplace方程中關于f依賴于x,u,Du時預定夾角的解的全局梯度估計的結果.

1 預備知識

為了證明簡便,本節(jié)將介紹一些基本概念及性質.設Ω是Rn中的有界區(qū)域n≥2,?Ω∈C3,γ是?Ω的單位內法向.令

d(x)=dist(x,?Ω),

Ωμ={x∈Ω:d(x)<μ}.

|Dγ|+|D2γ|≤C(n,Ω),

引入記號cij=δij-γiγj.對任一Rn中向量ζ,記ζ′為ζ的切向部分,其第i個分量定義為

梯度Du的切向量記為D′u,則

引理1[6]研究如下二次型

|Du|(x0)=u1(x0)≥C10,

則以下結論正定，

ζT=(1,…,1),ηT=(e3,…,en).

2 主要結果

考慮如下Laplace方程的預定夾角問題

Δu=f(x,u,Du)x∈Ω

(1)

(2)

(3)

(4)

引理2[12]設u∈C3(Ω)為式(1)的解,則對任一區(qū)域Ω′??Ω有

其中M1只依賴于n,M0,dist(Ω′,?Ω),L1.

則存在小的正常數(shù)μ0使得

并且C0是只依賴于n,Ω的正常數(shù).令

φ(x)=logΦ(x)=logω+h(u)+g(d).

其中

情形1x0∈?Ω,由Hopf 引理得|Du|(x0)有界,對φ求法向導數(shù),再利用邊界點性質即可得到,證明過程可參照文[6].

情形2 若x0∈?Ωμ0∩Ω則歸結為內部梯度估計.由引理2,可得

情形3 若x0∈Ωμ0,證明|Du|(x0)有界.

由以上選取,分3步完成定理證明.以下計算都將在x0點進行.

第1步: 先推導△φ

對φ微分兩次,得到

由φi(x0)=0,有

(5)

由式(5),可得

根據(jù)坐標系的選取和方程(1),有

(6)

由ω的定義,對ω微分兩次,并根據(jù)坐標系的選取,有

(7)

由v的定義,在x0點,可得

vvi=u1u1i

(8)

由式(8),得

(9)

將式(9)代入式(7)可得

(10)

因為Dkf=fxk+fuuk+fplulk,由方程(1)和式(10)及坐標系的選取,將式(10)代入式(6),可得

0≥Δφ=:I1+I2+I3

(11)

由于

因為

因此，式(11)中uij的二次項為

uij的一次項為

其他剩余項為

由|cosθγ1|≤|cosθ|≤b0<1,在x0點,可得

從而,得到

I3≥(h″-h′2)u12-C1u1.

第2步: 利用條件φi(x0)=0處理I1,I2并得到式(18),由式(5)和式(8),及坐標系的選取,得到

(12)

(13)

(14)

將式(14)代入式(12)和式(13),得到

(15)

(16)

其中

得到估計|D|≤C2u1.

由方程(1)和式 (16)，可得

(17)

公式化簡I1,I2,代入式(11)得

0≥Δφ=:Q1+Q2+Q3

(18)

其中uij的二次項為

令

(19)

uij的一次項為

(20)

Q3=(h″-h'2)u12+Ο(u1).

第3步: 主要計算Q1,Q2,并通過引理1完成定理證明.由式(17)有

(21)

將式(21)代入Q1,得到

(22)

其中

化簡Q2，將式(21)代入式(20),得

(23)

由式(21)和式(22),得

其中

以及

(24)

|R|≤C5u1.

根據(jù)引理1,如果存在正常數(shù)C6使得

|Du|(x0)≥C6

(25)

則有

(26)

結合式(25),將式(26)代入式(18)，得到

從而存在正常數(shù)C9使得

|Du|(x0)≤C9

(27)

由情形1,情形2和式(27),得到

|Du|(x0)≤C9,x0∈Ωμ0∩?Ω.

|Du|(x)≤M2,x∈Ωμ0∪?Ω.

最后得到

定理得證.