解大鵬, 李 東

(1.合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 安徽 合肥 230601; 2.佳木斯大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系, 黑龍江 佳木斯 154007)

0 引言

近年來, 分數(shù)階微分方程和帶p-Laplacian算子的微分方程成為很多數(shù)學(xué)工作者的研究熱點, 并取得了許多有意義的研究成果[1-6]. Han等利用不動點定理, 得到了如下帶有p-Laplacian算子的分數(shù)階微分方程邊值問題正解的存在性[1]

其中φ(s)=|s|p-2s,p>1,α∈(2,3],β∈(1,2],f:(0,+∞)→(0,+∞)是連續(xù)的.在此研究的基礎(chǔ)上,Li等利用不動點定理, 得到了如下帶有p-Laplacian算子的分數(shù)階三點邊值問題多重正解的存在性[2]，

其中φ(s)=|s|p-2s,p>1,α∈(2,3],β∈(1,2],μ∈[1,α-1),f∈C([0,1]×R+,R+),δ≥0,0<η<1且Δ=1-δηα-μ-1>0.

受上述文獻啟發(fā),本文將討論一類帶有p-Laplacian算子的分數(shù)階微分方程多點邊值問題

(1)

本文首先找到邊值問題相對應(yīng)的Green函數(shù)并討論其性質(zhì),由此得到邊值問題(1)的等價積分方程,最后利用不動點定理證明其正解的存在性.

1 預(yù)備知識和引理

引理1 假設(shè)y∈C[a,b], 則分數(shù)階邊值問題

(2)

證明易知問題(2)的通解為

由式(2)的邊值條件知C2=C3=0,

故

證畢.

引理2 假設(shè)w∈C[a,b], 則分數(shù)階邊值問題

(3)

證明易知問題(3)等價于

證畢.

引理3G(t,s)和H(t,s)有如下的性質(zhì),

(i) 當(dāng)(t,s)∈[a,b]×[a,b]時, 0≤G(t,s)≤G(b,s);

(ii) 當(dāng)(t,s)∈I×(a,b)=(3a+b/4,a+3b/4)×(a,b)時,G(t,s)≥(1/4)α-1G(b,s);

(iii) 當(dāng)(t,s)∈[a,b]×[a,b]時,0≤H(t,s)≤H(s,s);

(iv)當(dāng)(t,s)∈I×(a,b)=(3a+b/4,a+3b/4)×(a,b)時,H(t,s)≥g(s)H(s,s), 其中

于是,當(dāng)(t,s)∈[a,b]×[a,b]時,

故, 當(dāng)(t,s)∈[a,b]×[a,b]時,0=G(a,s)≤G(t,s)≤G(b,s).

故, 當(dāng)(t,s)∈I×(a,b)時，

故, 0=H(a,s)≤H(t,s)≤H(s,s), 因此, 當(dāng)(t,s)∈[a,b]×[a,b]時,

則

證畢.

2 主要結(jié)果

定義算子,

為了方便,引入以下記號:

定理1 若?r1,r2>0使得r1

(B1)當(dāng)(t,u)∈[a,b]×[0,r1]時,f(t,u)≥φ(r1N4α-1);

(B2)當(dāng)(t,u)∈[a,b]×[0,r2]時,f(t,u)≤φ(r2M),

則邊值問題(1)至少存在一個正解u,并且滿足r1≤‖u‖≤r2.

證明由G,H,f的連續(xù)性可知T:K→K是連續(xù)的.對于(t,s)∈I×(a,b),u∈K, 由引理3知

這意味著T(K)?K.故應(yīng)用Arzela-Ascoli定理易證算子T:K→K是全連續(xù)的.

令Ω1={u∈K:‖u‖≤λ1},對于u∈?Ω1,由引理3及(B1)知

故, 當(dāng)u∈?Ω1時, ‖Tu‖≥‖u‖.

令Ω2={u∈K:‖u‖≤λ2},對于u∈?Ω2,由引理3及(B2)知

于是,當(dāng)u∈?Ω2時,‖Tu‖≤‖u‖.綜上,由不動點定理[1]知,分數(shù)階多點邊值問題(1)至少存在一個正解u, 并且滿足r1≤‖u‖≤r2.

證畢.