劉 偉，李大衛(wèi)，鄭百東，戴洪德

(海軍航空大學(xué)， 山東 煙臺(tái) 264000)

1 引言

近年來，多無人機(jī)系統(tǒng)的分布式控制問題得到了廣泛而深入的研究[1-3]。與單個(gè)無人機(jī)相比而言，多無人機(jī)系統(tǒng)的特色明顯。該系統(tǒng)可以通過多平臺(tái)協(xié)同工作完成更為復(fù)雜的任務(wù)。由于多無人機(jī)系統(tǒng)中平臺(tái)數(shù)量往往較多，平臺(tái)之間還存在一定的通信耦合。因此，如何基于局部信息有效的控制整個(gè)系統(tǒng)是需要重點(diǎn)研究的內(nèi)容。這其中的一個(gè)熱點(diǎn)問題即是無人機(jī)的編隊(duì)控制[4-10]。

近年來，多智能體系統(tǒng)的一致性控制理論被大量的應(yīng)用到多無人機(jī)系統(tǒng)的編隊(duì)控制問題中[11]。通過恰當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，可以將多無人機(jī)系統(tǒng)的編隊(duì)控制問題轉(zhuǎn)換為多智能體系統(tǒng)的一致性控制問題，進(jìn)而通過設(shè)計(jì)分布式一致性控制器，實(shí)現(xiàn)無人機(jī)的編隊(duì)控制，該技術(shù)取得了大量的研究成果。文獻(xiàn)[12]針對(duì)帶有噪聲的一階線性積分系統(tǒng)模型，在固定通信拓?fù)錀l件下，利用一致性控制理論設(shè)計(jì)了編隊(duì)控制器。在固定有向拓?fù)錀l件下，文獻(xiàn)[13]針對(duì)具有非線性動(dòng)力學(xué)模型的多無人機(jī)系統(tǒng)，利用反饋線性化技術(shù)進(jìn)行線性化，進(jìn)而設(shè)計(jì)了具有虛擬領(lǐng)航者編隊(duì)控制器。文獻(xiàn)[14]針對(duì)一般線性多智能體系統(tǒng)，分析了同時(shí)具有領(lǐng)導(dǎo)者和輸入擾動(dòng)編隊(duì)控制問題。文獻(xiàn)[15]針對(duì)具有一階積分系統(tǒng)模型的多無人機(jī)系統(tǒng)，研究了通信拓?fù)溥B通時(shí)多無人機(jī)系統(tǒng)的固定時(shí)間編隊(duì)隊(duì)形變換問題。在固定拓?fù)湎?，文獻(xiàn)[16]提出了基于級(jí)聯(lián)系統(tǒng)理論和輸入約束的編隊(duì)控制方法。文獻(xiàn)[17]通過構(gòu)建人工勢(shì)場(chǎng)，在固定無向通信拓?fù)錀l件下，利用一致性理論設(shè)計(jì)了無人機(jī)協(xié)同避障控制算法，該算法可實(shí)現(xiàn)無人機(jī)之間以及無人機(jī)與障礙物之間的避碰。文獻(xiàn)[18]利用反步自適應(yīng)控制方法實(shí)現(xiàn)了固定翼無人機(jī)的編隊(duì)。文獻(xiàn)[19]基于主-從無人機(jī)通信架構(gòu)，建立了多無人機(jī)系統(tǒng)的編隊(duì)控制器，并設(shè)計(jì)了系統(tǒng)的任務(wù)分配算法，實(shí)現(xiàn)了編隊(duì)隊(duì)形的重構(gòu)。當(dāng)外界存在干擾時(shí)，文獻(xiàn)[20]基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器方法，對(duì)系統(tǒng)模型中存在的不確定性進(jìn)行估計(jì)，設(shè)計(jì)了抗干擾時(shí)變無人機(jī)編隊(duì)控制器。在實(shí)際應(yīng)用中，無人機(jī)之間的通信可能會(huì)受到通信距離有限、障礙物阻擋、通信鏈路不穩(wěn)定等因素的影響，通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)往往會(huì)發(fā)生變化，難以始終保持固定不變。為此，文獻(xiàn)[21-24]針對(duì)切換通信拓?fù)湎碌亩酂o人機(jī)編隊(duì)控制問題，基于不同的控制策略進(jìn)行了研究。

由上可以看出，由于多無人機(jī)系統(tǒng)中個(gè)體通過通信或傳感器網(wǎng)絡(luò)耦合在一起，網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞慕Y(jié)構(gòu)及相應(yīng)圖的拉普拉斯矩陣的性質(zhì)必然影響無人機(jī)的編隊(duì)形成。因此，本文從分析用于描述信息耦合拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的拉普拉斯矩陣的性質(zhì)入手，研究系統(tǒng)在切換通信拓?fù)錀l件下無領(lǐng)導(dǎo)者多無人機(jī)系統(tǒng)的編隊(duì)保持問題。本文的一個(gè)重要貢獻(xiàn)是基于現(xiàn)有成果，給出了無向圖的拉普拉斯矩陣的一類性質(zhì)(如引理3所示)，結(jié)合構(gòu)建的編隊(duì)誤差向量，介紹了一類多無人機(jī)系統(tǒng)編隊(duì)控制分析方法。

2 基本概念

引理1[25]:如果G是無向圖且是連通的，則零是拉普拉斯矩陣L的簡(jiǎn)單特征值，其他非零特征值均為正數(shù)。

3 問題描述

考慮由N個(gè)無人機(jī)組成的多無人機(jī)系統(tǒng)，各無人機(jī)具有如下相同的系統(tǒng)模型：

(1)

式中:xi∈Rn為無人機(jī)的狀態(tài)；ui∈Rp為無人機(jī)輸入；A和B為系統(tǒng)矩陣。

本文假設(shè)無人機(jī)之間采取雙向通信方式，并將通信網(wǎng)絡(luò)建模為隨時(shí)間變化的連通無向圖。令G={G1,G2,…,Gp},p≥1為無人機(jī)之間所有可能建立的通信拓?fù)鋱D的集合，t0=0

σ(t):[0,+∞)→P={1,2,…,p}為通信拓?fù)淝袚Q信號(hào)，表示t時(shí)刻通信拓?fù)鋱DGσ(t)對(duì)應(yīng)G中元素的下標(biāo)，Gσ(t)對(duì)應(yīng)的拉普拉斯矩陣為L(zhǎng)σ(t)。

接下來，給出如下關(guān)于無人機(jī)編隊(duì)的定義。

式中，wij=wi-wj為無人機(jī)之間的相對(duì)狀態(tài)信息，則稱多無人機(jī)系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)編隊(duì)隊(duì)形w。

3.1 分布式編隊(duì)控制器構(gòu)建

在實(shí)際應(yīng)用中，無人機(jī)在運(yùn)動(dòng)過程中，由于障礙物阻擋或者通信距離有限等因素的影響，導(dǎo)致無人機(jī)部分個(gè)體僅能夠聯(lián)系到鄰居無人機(jī)，無法獲取全局信息。因此，有必要構(gòu)建基于局部相對(duì)信息的分布式編隊(duì)控制器。

本文利用局部鄰居無人機(jī)相對(duì)狀態(tài)信息設(shè)計(jì)分布式編隊(duì)控制器如下：

i=1,2,…,N

(2)

式中：aijσ(t)為當(dāng)前時(shí)刻通信拓?fù)鋱DGσ(t)的鄰接矩陣Aσ(t)的元素，K∈Rp×n為待設(shè)計(jì)的反饋增益矩陣。

由式(1)和式(2)可以得到閉環(huán)系統(tǒng)方程為

(3)

3.2 編隊(duì)問題轉(zhuǎn)換為穩(wěn)定性問題

為了便于分析，這里介紹文獻(xiàn)[26]中的結(jié)論。

令E=[-1N-1,IN-1],F=[0N-1,IN-1],則如下的引理成立。

2)L=LFE；

3) 如果拓?fù)鋱D是連通的，其矩陣R的特征值均具有正實(shí)部，其中R=ELF。

(4)

由上可以看出，是一個(gè)具有較低維數(shù)的切換系統(tǒng)。由編隊(duì)誤差向量δ(t)的定義可知，通過變量替換，多無人機(jī)系統(tǒng)的在切換通信拓?fù)錀l件下的編隊(duì)控制問題已經(jīng)轉(zhuǎn)換為低維切換系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性問題。

4 具有時(shí)變通信拓?fù)涞亩酂o人機(jī)系統(tǒng)協(xié)同編隊(duì)控制

為了實(shí)現(xiàn)多無人機(jī)系統(tǒng)在切換通信拓?fù)湎戮庩?duì)控制，需要在前文分析結(jié)果的基礎(chǔ)上，尋找恰當(dāng)?shù)墓餐钛牌罩Z夫函數(shù)使得線性切換系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

在給出最終結(jié)論之前，首先介紹如下的結(jié)論。

引理3：假設(shè)通信拓?fù)鋱D為連通的無向圖G={G1,G2,…,Gp},p≥1，Lσ(t)為對(duì)應(yīng)于圖Gσ(t)的拉普拉斯矩陣，則存在一個(gè)共同的正定對(duì)稱矩陣Q使得如下的條件成立：

QELσ(t)F+(ELσ(t)F)TQ>2α0IN-1

(5)

因此

即

證明完畢。

注1：在引理3中，通過研究拓?fù)鋱D拉普拉斯矩陣的性質(zhì)，成功尋找到一個(gè)共同正定矩陣Q使得式成立。這一性質(zhì)為后文使用該條件，為切換系統(tǒng)構(gòu)建共同李雅普諾夫函數(shù)，進(jìn)而分析其漸近穩(wěn)定性創(chuàng)造了條件。

定理1如果系統(tǒng)矩陣和編隊(duì)隊(duì)形滿足條件A(w1-wj)=0,j=2,3,…,N，且存在參一個(gè)正定對(duì)稱矩陣P使得如下的不等式成立：

(6)

證：構(gòu)建如下的李雅普諾夫函數(shù)

自主閱讀是閱讀教學(xué)方法之一，在我國(guó)目前的初中英語(yǔ)閱讀教學(xué)過程中，很多教師仍然將細(xì)節(jié)化指導(dǎo)作為教學(xué)重點(diǎn)，造成了學(xué)生過多依賴教師的情況，其自主學(xué)習(xí)能力得不到提升，閱讀過程中的問題也很難顯現(xiàn)出來。閱讀學(xué)習(xí)注重學(xué)生對(duì)于具體內(nèi)容的理解，在讓學(xué)生了解基本閱讀重點(diǎn)的同時(shí)，教師應(yīng)該給予學(xué)生更多的自主權(quán)。在教學(xué)具體閱讀內(nèi)容時(shí)，教師可以僅將閱讀重點(diǎn)作簡(jiǎn)要講解，讓學(xué)生根據(jù)自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)完成細(xì)節(jié)化閱讀。此時(shí)，學(xué)生會(huì)根據(jù)閱讀文本的具體內(nèi)容和自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)完成自主閱讀，而在教師的具體講解過程中，學(xué)生可以結(jié)合自己遺漏的重點(diǎn)內(nèi)容，提升自身的自主學(xué)習(xí)能力。

V=δT(Q?P)δ

(7)

令K=BTP，則

δT(Q?P)(IN-1?A-ELσ(t)F?BK)δ=

δT(Q?(ATP+PA)-

((ELσ(t)F)TQ+QELσ(t)F)?PBBTP)δ=

δT(Q?(ATP+PA))δ-

δT(((ELσ(t)F)TQ+QELσ(t)F)?PBBTP)δ<

δT(Q?(ATP+PA))δ-δT(2α0IN-1?PBBTP)δ

因?yàn)榫仃嚥坏仁匠闪?，由此可?/p>

注2：在定理1中，利用引理2的結(jié)論，構(gòu)建了降維切換系統(tǒng)的共同李雅普諾夫函數(shù)，從而使得系統(tǒng)可以在Lσ(t)任意切換的情況下漸近穩(wěn)定。這等價(jià)于系統(tǒng)可以在拓?fù)鋱D任意速度切換的情況下，實(shí)現(xiàn)無人機(jī)的編隊(duì)。

5 數(shù)值仿真

5.1 參數(shù)設(shè)置

1) 系統(tǒng)模型。本文設(shè)置由5架無人機(jī)組成多無人機(jī)系統(tǒng)，單架無人機(jī)為二階積分模型。設(shè)第i架無人機(jī)的系統(tǒng)矩陣如下：

其中：xi、vix分別為無人機(jī)i在x方向的位置和速度；yi、viy分別為無人機(jī)i在y方向的位置和速度。

各無人機(jī)的初始位置設(shè)置為在[0,10]之間取隨機(jī)數(shù)，初始速度在[0,1]之間取隨機(jī)數(shù)。

2) 編隊(duì)隊(duì)形。設(shè)置無人機(jī)之間的編隊(duì)隊(duì)形為

由無人機(jī)的編隊(duì)隊(duì)形向量可知，無人機(jī)之間的期望實(shí)現(xiàn)的編隊(duì)隊(duì)形如下(圖1)：

圖1 無人機(jī)編隊(duì)隊(duì)形示意圖

3) 通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。設(shè)置無人機(jī)之間的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)在如下的3個(gè)拓?fù)鋱D之間切換(圖2)：

圖2 無人機(jī)之間的通信拓?fù)涫疽鈭D

設(shè)置切換信號(hào)如圖3所示，則通信拓?fù)鋱D之間的切換順序?yàn)镚1→G3→G1→G2。

圖3 通信拓?fù)鋱D的切換信號(hào)曲線

5.2 仿真結(jié)果

根據(jù)拓?fù)鋱D的拉普拉斯矩陣計(jì)算得到系數(shù)α0=min{α1,α2,…,αp}，取α0=0.138 2。根據(jù)線性矩陣不等式(7)解得到矩陣P為

根據(jù)定理1可設(shè)計(jì)反饋矩陣為

根據(jù)如上的反饋矩陣和參數(shù)設(shè)定仿真結(jié)果如圖4—圖7所示。圖4為無人機(jī)的x和y方向的編隊(duì)位置誤差向量δ(t)隨時(shí)間變化曲線。由圖中可以看出，隨時(shí)間變化，編隊(duì)位置誤差向量隨時(shí)間逐漸收斂到0，這說明無人機(jī)之間的相對(duì)位置收斂到期望的固定值。

圖4 編隊(duì)誤差變量隨時(shí)間變化曲線

圖5和圖6分別為各無人機(jī)的位置和速度隨時(shí)間變化曲線。由圖中可以看出，無人機(jī)之間的位置保持了固定的相對(duì)距離，并且在2個(gè)方向上無人機(jī)的速度分別趨于相同。

圖5 無人機(jī)x、y方向位置分量隨時(shí)間的變化曲線

圖6 無人機(jī)x、y方向速度分量隨時(shí)間的變化曲線

圖7為無人機(jī)編隊(duì)在x-y平面運(yùn)動(dòng)軌跡。圖7中無人機(jī)軌跡之間的紅色實(shí)線連線，表示當(dāng)前時(shí)刻無人機(jī)之間的編隊(duì)隊(duì)形，由此可以看出，無人機(jī)之間能夠形成并保持期望的編隊(duì)隊(duì)形(如圖1所示)，從而驗(yàn)證了理論分析的正確性。

圖7 無人機(jī)編隊(duì)隊(duì)形形成過程曲線

6 結(jié)論

本文研究了切換通信拓?fù)錀l件下多無人機(jī)系統(tǒng)的編隊(duì)控制問題，構(gòu)建了分布式的編隊(duì)控制律。利用共同李雅普諾夫函數(shù)方法推導(dǎo)得到了無人機(jī)實(shí)現(xiàn)編隊(duì)的充分性條件。在本文中，無人機(jī)之間的信息交換是連續(xù)的，而在實(shí)際應(yīng)用中，為了減少能量消耗，通常采取間斷通信方式交換信息。因此，下一步將研究基于事件驅(qū)動(dòng)的控制策略的無 人機(jī)編隊(duì)控制問題。