張熠雯，李樹(shù)凱，陳澤彬，楊立興

(北京交通大學(xué) 軌道交通控制與安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100044)

隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，城市軌道交通路網(wǎng)規(guī)模不斷擴(kuò)大，城市軌道交通憑借其安全高效的特點(diǎn)成為人們出行的重要交通方式之一[1]。然而，大客流需求造成了軌道交通擁擠，乘客等待時(shí)間增加等問(wèn)題，與此同時(shí)，既有線路建設(shè)成本高昂，改造難度大，因此，在既有基礎(chǔ)設(shè)施條件下，列車控制技術(shù)及運(yùn)營(yíng)管理技術(shù)的革新成為城市軌道交通發(fā)展的關(guān)鍵[2]。目前，我國(guó)城市軌道交通列車控制系統(tǒng)多采用基于通信的列車運(yùn)行控制(CBTC)系統(tǒng)。CBTC系統(tǒng)采用連續(xù)大容量的車-地(T2G)通信結(jié)構(gòu)雙向傳輸列車狀態(tài)信息及控制指令，軌旁設(shè)備繁多，子系統(tǒng)間耦合程度較高，且其技術(shù)體制屬于移動(dòng)閉塞信號(hào)系統(tǒng)(MBS)，在一定程度上限制了線路運(yùn)行效率[3]?；?G時(shí)代下3C技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展，針對(duì)新一代列車控制系統(tǒng)，可通過(guò)雙向連續(xù)的車-車(T2T)通信體系，減少列車與地面之間的信息負(fù)荷，以滿足高自動(dòng)化，高可靠性的未來(lái)城市軌道交通列車運(yùn)行需求[4]。當(dāng)前，城市軌道交通所采用的CBTC系統(tǒng)基于絕對(duì)制動(dòng)安全防護(hù)模式實(shí)現(xiàn)多列車協(xié)同優(yōu)化控制，而T2T通信技術(shù)下的列車編隊(duì)基于相對(duì)制動(dòng)安全防護(hù)模式實(shí)現(xiàn)列車編隊(duì)協(xié)同優(yōu)化控制[5]。對(duì)于列車編隊(duì)追蹤運(yùn)行模型及優(yōu)化控制策略，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究。宋鴻宇等[6]在移動(dòng)閉塞條件下建立了高速列車群信息交互模型，并基于該模型提出一種多列車協(xié)同優(yōu)化方法，從而實(shí)現(xiàn)列車群速度曲線的動(dòng)態(tài)生成。賈寶通等[7]構(gòu)建了基于MBS的列車追蹤控制模型，并設(shè)計(jì)一種借鑒分子間作用力的列車追蹤算法，由此提出一種考慮節(jié)能目標(biāo)的列車運(yùn)行控制方案。LI等[8]利用勢(shì)場(chǎng)和LaSalles不變性原理，設(shè)計(jì)一種CBTC系統(tǒng)下的列車編隊(duì)協(xié)同巡航控制策略以保證相鄰列車間的有界安全距離。GAO等[9]提出一種列車編隊(duì)協(xié)同自適應(yīng)控制方案，使得任一列車與其前行列車保持最小期望間距，并利用李雅普諾夫穩(wěn)定性定理嚴(yán)格證明了列車編隊(duì)的穩(wěn)定性。LIU等[10]基于一種啟發(fā)式算法，建立了高速列車編隊(duì)區(qū)間追蹤運(yùn)行模型，并設(shè)計(jì)一種列車運(yùn)行軌跡動(dòng)態(tài)調(diào)整優(yōu)化控制策略。FELEZ等[11]構(gòu)建了基于模型預(yù)測(cè)控制算法框架的列車編隊(duì)跟隨模型，并進(jìn)一步設(shè)計(jì)了列車運(yùn)行控制器。LIU等[12]研究了多智能體高速列車編隊(duì)，利用預(yù)測(cè)控制理論，提出一種局部軌跡優(yōu)化控制模型。荀徑等[13]對(duì)比分析了分別考慮相對(duì)速度和經(jīng)典制動(dòng)下的列車安全制動(dòng)模型和列車車站追蹤間隔模型，并衡量了不同追蹤模式下的列車動(dòng)態(tài)性能。與此同時(shí)，考慮編隊(duì)內(nèi)列車高速小間隔的運(yùn)行特征，為保證列車運(yùn)行的安全性與可靠性，新一代列車控制系統(tǒng)對(duì)DCS，ATS，ATO等提出了更高的實(shí)時(shí)性要求[14]。因此，需設(shè)計(jì)一種高效求解算法。對(duì)于求解具有光滑目標(biāo)函數(shù)和約束的非線性規(guī)劃問(wèn)題，SQP算法具有優(yōu)秀的數(shù)值效果和穩(wěn)定性，因此廣泛應(yīng)用于優(yōu)化控制領(lǐng)域[15?17]。此外，作為現(xiàn)代控制技術(shù)中最具影響力的控制策略之一，預(yù)測(cè)控制基于有限預(yù)測(cè)范圍內(nèi)的在線優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)一般約束條件下多輸入多輸出變量非線性系統(tǒng)的優(yōu)化控制。在車輛運(yùn)行優(yōu)化控制領(lǐng)域，基于預(yù)測(cè)控制算法，針對(duì)車輛運(yùn)行軌跡的動(dòng)態(tài)生成問(wèn)題，相關(guān)學(xué)者已展開(kāi)了大量研究，令車輛能夠?qū)崿F(xiàn)良好的追蹤效果并保持車輛運(yùn)行過(guò)程中的穩(wěn)定性[18?20]。綜上所述，滿足高實(shí)時(shí)性的多編隊(duì)列車追蹤運(yùn)行優(yōu)化控制策略的相關(guān)研究目前仍存在一定空白。本文在現(xiàn)有研究成果的基礎(chǔ)上，考慮編隊(duì)內(nèi)列車對(duì)列車通信技術(shù)的高實(shí)時(shí)精準(zhǔn)要求，與此同時(shí)，為保證當(dāng)編隊(duì)內(nèi)相鄰列車在通信失效等情況下解耦成為不同編隊(duì)列車時(shí)，兩連續(xù)列車仍能在一定通信結(jié)構(gòu)下安全運(yùn)行，針對(duì)列車編隊(duì)運(yùn)行優(yōu)化控制問(wèn)題，基于編隊(duì)內(nèi)列車采用T2T通信、編隊(duì)間列車采用T2G通信的多通信結(jié)構(gòu)，結(jié)合列車編隊(duì)控制系統(tǒng)框架和列車安全防護(hù)模式，采用分布式控制方式，建立編隊(duì)內(nèi)及編隊(duì)間列車追蹤運(yùn)行的非線性優(yōu)化控制模型，并提出一種融合預(yù)測(cè)控制和SQP算法的列車編隊(duì)優(yōu)化控制策略，以減小列車追蹤運(yùn)行優(yōu)化控制問(wèn)題的計(jì)算規(guī)模，從而實(shí)現(xiàn)高密度列車編隊(duì)追蹤運(yùn)行的實(shí)時(shí)控制。

1 問(wèn)題描述

1.1 列車類型

令M為編隊(duì)的集合，M={1,2,…,m}，j表示列車編隊(duì)，j?M；Nj為編隊(duì)j內(nèi)的列車集合，Nj={1,2,3,…,nj}，i表示編隊(duì)j內(nèi)的列車，i? Nj；列車(i,j)表示列車編隊(duì)j內(nèi)的第i輛列車。根據(jù)列車位置結(jié)構(gòu)，編隊(duì)內(nèi)列車可分為領(lǐng)導(dǎo)列車和跟隨列車。令Lj和Fj分別表示領(lǐng)導(dǎo)列車和跟隨列車的集合，Lj={1}，F(xiàn)j={2,3,…,nj}。

1.2 列車編隊(duì)控制系統(tǒng)框架

編隊(duì)內(nèi)及編隊(duì)間列車控制系統(tǒng)框架如圖1所示。編隊(duì)內(nèi)(IRA)列車采用基于T2T通信結(jié)構(gòu)的列車控制系統(tǒng)，編隊(duì)間(IER)列車采用基于T2G通信結(jié)構(gòu)的CBTC系統(tǒng)?；贛BS，CBTC系統(tǒng)下的區(qū)域控制中心(ZC)根據(jù)區(qū)域內(nèi)運(yùn)行列車的狀態(tài)信息，結(jié)合ATS子系統(tǒng)傳輸?shù)牧熊囅匏賲^(qū)間等相關(guān)信息，生成移動(dòng)授權(quán)(MAIER)，隨后，車載控制器(CC)根據(jù)MAIER，計(jì)算基于絕對(duì)制動(dòng)安全防護(hù)模式下的列車運(yùn)行曲線，從而實(shí)現(xiàn)列車在授權(quán)終端(EoA)處的完全制動(dòng)；對(duì)于編隊(duì)內(nèi)列車控制系統(tǒng)，ZC同樣向列車傳遞MAIER，然后，列車根據(jù)前行列車通過(guò)T2T層傳輸?shù)臓顟B(tài)信息，并結(jié)合該車當(dāng)前狀態(tài)，由CC生成MAIRA用以計(jì)算基于相對(duì)制動(dòng)安全防護(hù)模式下的列車運(yùn)行曲線?？紤]相鄰列車的制動(dòng)率，相對(duì)制動(dòng)令后行列車在到達(dá)EoA時(shí)減速至前行列車當(dāng)前速度。對(duì)于無(wú)前行列車或與前行列車間隔距離足夠大的首編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)列車，可根據(jù)線路條件以及ATS生成的運(yùn)行圖等信息計(jì)算列車運(yùn)行曲線。

圖1 IRA及IER列車控制系統(tǒng)框架Fig.1 Frameworks of train control systems of IRA and IER

1.3 優(yōu)化控制方案

根據(jù)IRA及IER列車控制系統(tǒng)框架，不考慮環(huán)境因素引起的外加擾動(dòng)，針對(duì)單條線路上運(yùn)行的列車編隊(duì)，提出一種優(yōu)化控制策略。首先，構(gòu)建時(shí)間離散的列車編隊(duì)動(dòng)力學(xué)模型，并根據(jù)列車位置結(jié)構(gòu)設(shè)定列車追蹤目標(biāo)，以及相關(guān)速度限制，邊界條件，間隔距離等安全約束條件，建立各編隊(duì)列車非線性優(yōu)化控制模型。然后，基于預(yù)測(cè)控制建立各采樣點(diǎn)下的列車預(yù)測(cè)模型，并采用SQP算法求解預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)的子問(wèn)題，通過(guò)反饋校正及滾動(dòng)優(yōu)化，動(dòng)態(tài)求解各列車的最優(yōu)控制軌跡，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)列車編隊(duì)的實(shí)時(shí)控制。

此外，本文采用分布式控制，即各車基于其前行列車的行車信息并結(jié)合該車的控制目標(biāo)構(gòu)建優(yōu)化控制模型，各車分別計(jì)算其最優(yōu)運(yùn)行軌跡。與傳統(tǒng)的集中式控制方法相比，分布式控制框架下優(yōu)化控制問(wèn)題計(jì)算規(guī)模極大減小，有利于滿足列車優(yōu)化控制的實(shí)時(shí)性要求。

2 模型建立

2.1 列車動(dòng)力學(xué)控制模型

考慮列車運(yùn)行過(guò)程中受牽引力、制動(dòng)力及運(yùn)行阻力的共同作用，將各列車看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，其動(dòng)力學(xué)模型構(gòu)建如下：

其中：t為時(shí)間采樣點(diǎn)；sij(t)和vij(t)分別為列車(i,j)的位置和速度；Fij(t)為列車的單位控制力；FBij(v(t))為列車的單位基本運(yùn)行阻力；FEij(s(t))為列車的單位附加運(yùn)行阻力；Δt為采樣周期。

2.2 列車編隊(duì)優(yōu)化控制模型

給定運(yùn)行區(qū)間內(nèi)，各列車在運(yùn)行過(guò)程中還需滿足如下約束：

其中：式(2)為初始采樣點(diǎn)t0時(shí)刻狀態(tài)變量的初始條件，s0,ij和v0,ij分別為列車(i,j)的初始位置和初始速度。式(3)為終點(diǎn)時(shí)刻tf列車運(yùn)行狀態(tài)變量約束，sf為終點(diǎn)位置，εs為列車停站位置精準(zhǔn)度。式(4)～(6)分別為列車最大允許速度約束、列車動(dòng)力系統(tǒng)牽引/制動(dòng)特性限制和列車平穩(wěn)運(yùn)行約束，vij,max(s(t))為列車在時(shí)間點(diǎn)t所處位置的最大允許速度，F(xiàn)-ij和F+ij分別為列車的最大制動(dòng)力和最大牽引力，Eij,min和Eij,max分別為列車單位控制力減小和增大的最大變化率，用以衡量列車運(yùn)行平穩(wěn)程度。對(duì)于首編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)列車(1,1)，不考慮其前行列車，而其余編隊(duì)列車追蹤前行列車運(yùn)行，因此，構(gòu)建安全間隔距離約束(7)，s?ij?(t)為列車 (i,j)的前行列車(i?,j?)運(yùn)行至?xí)r間點(diǎn)t時(shí)的位置，前行列車的狀態(tài)信息通過(guò)列車通信系統(tǒng)由前行列車傳遞給列車(i,j)，考慮信息傳遞時(shí)間誤差；Lij?為前行列車的車長(zhǎng)；Smij?為前行列車的最小安全防護(hù)距離。

在滿足列車相關(guān)約束的條件下，令首編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)列車追蹤參考運(yùn)行曲線運(yùn)行，并減小列車能耗?；诖耍x散時(shí)間系統(tǒng)下，首編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)列車非線性優(yōu)化控制問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)為：

其中：vij,r(t)為列車的參考運(yùn)行速度；ωij和ρij分別為速度權(quán)重系數(shù)和運(yùn)行能耗權(quán)重系數(shù)?？紤]約束(1)～(6)和目標(biāo)函數(shù)(8)，得到首編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)列車優(yōu)化控制模型。

此外，IRA和IER列車追蹤其前行列車運(yùn)行，因此，對(duì)于各編隊(duì)內(nèi)跟隨列車和除首編隊(duì)外的編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)列車，構(gòu)建如下目標(biāo)函數(shù)：

其 中 ：vij?(t)為 前 行 列 車 (i?,j?)在 時(shí) 間 點(diǎn)t的 速 度 ；Smij?,r為前行列車參考安全防護(hù)距離；αij，βij和γij分別為速度權(quán)重系數(shù)，間隔距離權(quán)重系數(shù)和運(yùn)行能耗權(quán)重系數(shù)。考慮約束(1)～(7)和目標(biāo)函數(shù)(9)，得到各編隊(duì)跟隨列車和除首編隊(duì)外的編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)列車離散時(shí)間系統(tǒng)下的非線性優(yōu)化控制模型。

3 算法設(shè)計(jì)

針對(duì)列車編隊(duì)控制系統(tǒng)，模型求解算法需滿足列車控制的實(shí)時(shí)性要求，從而實(shí)現(xiàn)列車編隊(duì)的高效安全運(yùn)行。基于此，設(shè)計(jì)融合預(yù)測(cè)控制和SQP算法求解非線性優(yōu)化控制問(wèn)題。

3.1 預(yù)測(cè)控制

預(yù)測(cè)控制首先考慮相關(guān)約束條件進(jìn)行模型預(yù)測(cè)，然后通過(guò)滾動(dòng)優(yōu)化迭代求解并結(jié)合實(shí)況反饋信息動(dòng)態(tài)校正系統(tǒng)預(yù)測(cè)值，最終獲得系統(tǒng)的優(yōu)化控制策略。在各采樣點(diǎn)下，預(yù)測(cè)控制僅需求解預(yù)測(cè)時(shí)域Tp內(nèi)的優(yōu)化控制問(wèn)題，減小了原問(wèn)題在有限問(wèn)題時(shí)域內(nèi)求解的計(jì)算復(fù)雜度，有利于滿足列車優(yōu)化控制的實(shí)時(shí)性要求。此外，滾動(dòng)優(yōu)化和反饋校正能夠綜合實(shí)際情況動(dòng)態(tài)更新列車狀態(tài)信息，在一定程度上保證了列車控制器的穩(wěn)定性和魯棒性。

3.1.1 預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)列車編隊(duì)優(yōu)化控制模型。

基于預(yù)測(cè)控制，在采樣點(diǎn)t，對(duì)預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)各時(shí)間點(diǎn)k，重構(gòu)時(shí)間離散的列車動(dòng)力學(xué)模型，列車狀態(tài)變量邊界條件，列車最大允許速度、列車動(dòng)力系統(tǒng)牽引/制動(dòng)特性限制、列車平穩(wěn)運(yùn)行約束以及安全間隔距離約束如下：

其中：vij,r(s(t+Tp,t))為列車在當(dāng)前采樣周期預(yù)測(cè)時(shí)域終端時(shí)刻運(yùn)行至某一位置所對(duì)應(yīng)的參考運(yùn)行速度。式(12(a))在最大允許速度限制的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步保證了滾動(dòng)優(yōu)化過(guò)程中任意采樣周期內(nèi)任意時(shí)間點(diǎn)下列車運(yùn)行的安全性。

此外，由于預(yù)測(cè)時(shí)域外各時(shí)間點(diǎn)的前行列車狀態(tài)信息未知，基于IRA及IER列車不同通信結(jié)構(gòu)及列車安全防護(hù)模式，引入預(yù)測(cè)時(shí)域終端的安全間隔距離約束：

其中：a*ij和a*ij?分別表示列車(i,j)及其前行列車的最大制動(dòng)加速度。式(17)表示IRA列車追蹤運(yùn)行預(yù)測(cè)時(shí)域終端安全間隔距離約束，需同時(shí)考慮相鄰列車預(yù)測(cè)時(shí)域終端速度、終端位置及最大制動(dòng)加速度。式(18)表示IER列車追蹤運(yùn)行預(yù)測(cè)時(shí)域終端安全間隔約束?；谙鄬?duì)制動(dòng)安全防護(hù)模式，IER列車控制系統(tǒng)僅需考慮最小安全防護(hù)距離與前行列車預(yù)測(cè)時(shí)域終端位置，以保證列車的安全運(yùn)行。

在采樣點(diǎn)t，基于離散時(shí)間系統(tǒng)，考慮預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)各時(shí)間點(diǎn)k，重構(gòu)列車編隊(duì)優(yōu)化控制問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)，得到預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)首編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)列車非線性優(yōu)化控制模型：

以及預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)各編隊(duì)跟隨列車和除首編隊(duì)外的編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)列車追蹤運(yùn)行非線性優(yōu)化控制模型：

3.1.2 滾動(dòng)優(yōu)化

基于實(shí)時(shí)變化的系統(tǒng)參數(shù)，求解當(dāng)前采樣點(diǎn)下的列車預(yù)測(cè)模型，并根據(jù)決策變量預(yù)測(cè)值u*ij=輸入采樣周期內(nèi)的控制輸入，并在下一采樣點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際情況獲得的反饋信息更新列車狀態(tài)變量作為初始值，由此得到新一輪預(yù)測(cè)模型。通過(guò)模型滾動(dòng)及優(yōu)化求解，直至列車運(yùn)行至終點(diǎn)中心里程，從而得到有限問(wèn)題時(shí)域內(nèi)列車的最優(yōu)控制輸入。

根據(jù)上述內(nèi)容，基于預(yù)測(cè)控制的列車編隊(duì)實(shí)時(shí)優(yōu)化控制算法流程如算法1所示。

3.2 序列二次規(guī)劃算法

基于3.1節(jié)，構(gòu)建了預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)具有一般約束的非線性優(yōu)化控制問(wèn)題。SQP算法是一種有效的NLP求解算法，可將SQP算法與預(yù)測(cè)控制結(jié)合，用以求解滾動(dòng)優(yōu)化控制問(wèn)題，以滿足列車非線性優(yōu)化控制的實(shí)時(shí)性要求。

首先，令狀態(tài)變量x=(s,v)T，引入拉格朗日泛函LA：

其中：Ji'j(x,u)為列車(i,j)預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)非線性優(yōu)化控制問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)；eij(x,u)和cij(x,u)分別為非線性優(yōu)化控制問(wèn)題的等式約束和不等式約束；λij,r和μij,s分別為非線性優(yōu)化控制問(wèn)題第r個(gè)等式約束和第s個(gè)不等式約束的拉格朗日乘子。為簡(jiǎn)化表達(dá)，將eij(x,u)和cij(x,u)寫(xiě)作eij和cij。

基于LA及其KKT條件，構(gòu)建第p次迭代下的QP子問(wèn)題：

ij為原NLP問(wèn)題的搜索方向；Hp ij為第p次迭代LA的Hessian矩陣；?表示1階梯度；

2.3.2 移栽：適期早栽利于早結(jié)瓜，多結(jié)瓜，適期內(nèi)栽插越早產(chǎn)量越高。一般在西瓜團(tuán)棵期，即6月上中旬以后可栽植地瓜。過(guò)早，地瓜枝葉繁茂，影響通風(fēng)透光，西瓜產(chǎn)量降低；過(guò)晚，地瓜生育期縮短，產(chǎn)量下降，地瓜移栽后，應(yīng)澆足水。緩苗后及時(shí)補(bǔ)栽，以免缺苗斷壟。

求解問(wèn)題(22)，得到第p次迭代下QP子問(wèn)題的解由此更新(x,u)p+1ij：

其中：?為參數(shù)，可通過(guò)引入價(jià)值函數(shù)并采用回溯線搜索計(jì)算其最優(yōu)搜索步長(zhǎng)來(lái)確定該參數(shù)的值。

QP子問(wèn)題的迭代終止條件為：

其中：εq為收斂容差；Nmax為最大迭代次數(shù)。

若不滿足迭代終止條件，采用BFGS算法更新Hp ij：

其中：φpij為參數(shù)，可根據(jù)如下公式確定：

采用BFGS-SQP求解預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)非線性優(yōu)化問(wèn)題的算法流程見(jiàn)算法2。

算法2

4 算例研究

4.1 算例描述

相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下：1) 根據(jù)如下Davis方程計(jì)算地鐵列車運(yùn)行基本阻力：FBi(v(t))=0.022 476v2(t)+1.094 53v(t)+56.934 08，單位為N/T；2) 為同時(shí)?？慷噍v列車于站臺(tái)，設(shè)地鐵列車為2節(jié)車廂編組，列車長(zhǎng)度為40.0 m，列車參考間隔距離為8.0 m，最小間隔距離為4.0 m。在實(shí)際應(yīng)用中，可根據(jù)站臺(tái)長(zhǎng)度、列車屬性以及編隊(duì)數(shù)目需求，調(diào)整列車單元的列車編組。3) 設(shè)列車控制采樣間隔Δt為0.1 s，預(yù)測(cè)時(shí)域Tp為3.0 s，始發(fā)站的地鐵列車發(fā)車間隔為 5.0 s；4) 對(duì)任意(i,j)?{(i,j)|i?Nj,j?M}，權(quán)重系數(shù)wij=ρij=αij=βij=γij=1。

4.2 結(jié)果分析

本文采用MATLAB編程語(yǔ)言，對(duì)該算例進(jìn)行仿真求解，計(jì)算設(shè)備采用Intel(R) Core(TM) i5-6300HQ CPU 4.0GB RAM。

首先，地鐵列車(1,1)為首編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)列車，該車優(yōu)化控制不受后行列車影響，不同編隊(duì)結(jié)構(gòu)下該車的運(yùn)行曲線相同。當(dāng)n=2時(shí)，a組實(shí)驗(yàn)表示地鐵列車(1,1)和(2,1)構(gòu)成一個(gè)列車編隊(duì)，進(jìn)行基于相對(duì)制動(dòng)安全防護(hù)的編隊(duì)內(nèi)列車追蹤運(yùn)行優(yōu)化控制；b組實(shí)驗(yàn)表示列車(1,1)和(1,2)各成列車編隊(duì)，進(jìn)行基于絕對(duì)制動(dòng)安全防護(hù)的編隊(duì)間列車追蹤運(yùn)行優(yōu)化控制。

圖2和圖3分別給出了2輛地鐵列車在不同編隊(duì)結(jié)構(gòu)下的速度偏差和列車間隔距離。由圖2可知，基于絕對(duì)制動(dòng)的IER相鄰列車的平均速度偏差為2.06 m/s，最大速度偏差7.99 m/s，基于相對(duì)制動(dòng)的IRA相鄰列車的平均速度偏差為0.54 m/s，最大速度偏差為3.94 m/s，顯著小于IER相鄰列車的速度偏差。由圖3可知，絕對(duì)制動(dòng)安全防護(hù)模式下IER相鄰列車間的最大間隔距離為270.95 m，平均間隔距離為154.60 m，與之相比，相對(duì)制動(dòng)安全防護(hù)模式下IRA相鄰列車最大間隔距離為91.59 m，平均間隔距離為46.67 m，在滿足安全運(yùn)行間隔距離的條件下，地鐵列車最大間隔距離和平均間隔距離分別減少了66.20%和69.81%。

圖3 n=2時(shí)，不同編隊(duì)結(jié)構(gòu)下相鄰列車間隔距離Fig.3 Distance interval with different structures of metro train formation when n=2

圖4表示不同編隊(duì)結(jié)構(gòu)的2輛地鐵列車在各站的發(fā)車間隔。在始發(fā)站，地鐵列車發(fā)車間隔相同，且對(duì)于第1個(gè)列車運(yùn)行區(qū)間，與基于相對(duì)制動(dòng)的IRA列車相比，基于絕對(duì)制動(dòng)的IER地鐵列車具有更長(zhǎng)的運(yùn)行時(shí)間和更大的到站延遲，使得地鐵列車在其余站點(diǎn)的發(fā)車間隔增大。對(duì)于整條運(yùn)行線路，絕對(duì)制動(dòng)安全防護(hù)模式下IER列車平均發(fā)車間隔為8.46 s，到站延遲為9.9 s，相對(duì)制動(dòng)安全防護(hù)模式下IRA列車平均發(fā)車間隔為2.94 s，到站延遲為4.2 s，分別減少了65.25%和57.58%。因此，將列車構(gòu)成編隊(duì)并采用基于T2T通信結(jié)構(gòu)的相對(duì)制動(dòng)安全防護(hù)模式對(duì)編隊(duì)內(nèi)列車進(jìn)行優(yōu)化控制有利于提升既有線路運(yùn)力，減少乘客等待時(shí)間，對(duì)提高城市軌道交通運(yùn)營(yíng)組織的服務(wù)水平具有一定的實(shí)際意義。

圖4 n=2時(shí)，不同編隊(duì)結(jié)構(gòu)的地鐵編隊(duì)列車在各站的發(fā)車間隔Fig.4 Headway with different structures of metro train formation when n=2

當(dāng)?shù)罔F列車數(shù)量為4時(shí)，基于不同的安全防護(hù)模式，優(yōu)化控制不同編隊(duì)結(jié)構(gòu)的地鐵列車編隊(duì)，各列車追蹤運(yùn)行曲線如圖5所示。由圖5可知，IRA列車能夠保持較小間隔距離以及較小速度偏差行駛，IER列車的間隔距離及速度偏差較大，同時(shí)，不同編隊(duì)結(jié)構(gòu)下最后一輛列車的到站延遲大小關(guān)系為：c組

圖5 n=4時(shí)，不同編隊(duì)組成的地鐵編隊(duì)列車追蹤運(yùn)行曲線Fig.5 Operation profiles with different structures of metro train formation when n=4

基于a組實(shí)驗(yàn)，針對(duì)列車(2,1)追蹤運(yùn)行的預(yù)測(cè)控制模型，分別采用SQP算法、濾子線搜索內(nèi)點(diǎn)法和有效集算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證，不同算法下單位控制階段的目標(biāo)函數(shù)值Fval，迭代次數(shù)Iter，運(yùn)算時(shí)間Time，以及運(yùn)算時(shí)間范圍T_range和所設(shè)置的終止相對(duì)容差Tol(x,f)、終止約束容差Tol(Con)如表2所示。由表中數(shù)據(jù)可以看出，在終止容差相同的條件下，SQP算法和濾子線搜索內(nèi)點(diǎn)法的Iter和Time相近，且兩者都能夠在控制時(shí)域0.1 s內(nèi)完成計(jì)算，滿足列車優(yōu)化控制的實(shí)時(shí)性要求。而SQP算法的Fval明顯小于濾子線搜索內(nèi)點(diǎn)法Fval，由此可見(jiàn)，SQP算法的求解結(jié)果優(yōu)于濾子線搜索內(nèi)點(diǎn)法的求解結(jié)果。此外，與SQP算法和濾子線搜索內(nèi)點(diǎn)法相比，有效集算法的Iter和Time分別為51.994和2.822 1 s，算法收斂速度較慢，不能滿足實(shí)時(shí)控制要求。

表2 地鐵列車追蹤運(yùn)行優(yōu)化控制問(wèn)題的SQP算法、濾子線搜索內(nèi)點(diǎn)法和有效集算法比較Table 2 Comparisons among SQP method, interior point line search filter method and active-set method for optimal control problem of metro train tracking operation

此外，在實(shí)際應(yīng)用中，可根據(jù)實(shí)際線路運(yùn)行條件和列車運(yùn)行信息進(jìn)行參數(shù)訓(xùn)練并存儲(chǔ)，以提高求解效率。

5 結(jié)論

1) 根據(jù)編隊(duì)內(nèi)及編隊(duì)間列車控制系統(tǒng)框架和列車運(yùn)行特征，建立列車編隊(duì)運(yùn)行時(shí)間離散的非線性優(yōu)化控制模型，并設(shè)計(jì)融合預(yù)測(cè)控制和SQP的求解算法。預(yù)測(cè)控制減少了問(wèn)題的計(jì)算規(guī)模，并根據(jù)實(shí)際情況提供反饋校正。SQP算法采用BFGS算法更新Hessian矩陣并加入回溯線搜索。將2種算法結(jié)合，可實(shí)現(xiàn)列車編隊(duì)的實(shí)時(shí)控制。

2) 結(jié)合地鐵線路相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，基于編隊(duì)內(nèi)及編隊(duì)間不同列車安全防護(hù)模式，對(duì)比分析了不同編隊(duì)結(jié)構(gòu)下的列車運(yùn)行追蹤曲線。結(jié)果表明，采用相對(duì)制動(dòng)安全防護(hù)模式能夠有效縮短列車發(fā)車間隔，減小相鄰列車間的間隔距離和速度偏差。針對(duì)地鐵列車編隊(duì)，可根據(jù)不同通信結(jié)構(gòu)及列車安全防護(hù)模式，實(shí)現(xiàn)編隊(duì)內(nèi)及編隊(duì)間列車的協(xié)同優(yōu)化控制，有利于提升既有線路空間利用率。

3) 本文只研究了針對(duì)單條線路上運(yùn)行的，不考慮外加擾動(dòng)的離散時(shí)間系統(tǒng)下的確定性列車編隊(duì)優(yōu)化控制模型以及優(yōu)化控制策略，并未涉及復(fù)雜路網(wǎng)，基礎(chǔ)設(shè)施限制等，后續(xù)可圍繞復(fù)雜運(yùn)行場(chǎng)景下考慮多種影響因素的列車編隊(duì)優(yōu)化控制展開(kāi)研究。