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        無法做決斷?你只需要一個“數(shù)學(xué)期望”

        2022-12-10 19:36:56劉嘉
        青年文摘 2022年6期
        關(guān)鍵詞:游戲數(shù)學(xué)

        劉嘉

        假如有一只股票,現(xiàn)在的價格是50 元,未來有40% 的概率漲到60 元,有30% 的概率保持不變,還有30% 的概率跌到35 元??赐赀@一描述,你覺得這只股票值不值得買呢?

        我想你可能無法判斷。所以這時候,光靠概率是沒法幫助決斷的,我們還需要了解另一個指標(biāo)——數(shù)學(xué)期望。

        數(shù)學(xué)期望是對事件長期價值的數(shù)字化衡量。其方法很簡單,就是對隨機(jī)事件不同結(jié)果的概率加權(quán)求平均?;氐介_頭的例子,這只股票到底值不值得買呢?

        我們可以計(jì)算下股票盈利的數(shù)學(xué)期望值:E(profit)=(60-50) 40%+(50-50) 30%+(35-50) 30%=-0.5(元)。

        也就是說,雖然這只股票上漲的可能性比下跌的可能性更大,但從整體上看,這只股票趨向于虧錢,謹(jǐn)慎起見最好不買。

        我們再舉一個使用數(shù)學(xué)期望進(jìn)行決策的案例?;@球有三種得分方式:籃下投籃、中距離投籃和三分球?;@下投中和中距離投中都得2 分,而三分球距離更遠(yuǎn),投中得3 分?;@下和中距離投籃命中率高,但是得分低;三分球命中率低,但是得分高。哪種得分方式更有效率呢?

        這時,我們可以用數(shù)學(xué)期望來幫助判斷。每種得分方式的數(shù)學(xué)期望值,可以用得分情況和平均命中率來計(jì)算。具體來說,籃下每投中一球得2 分,如果平均命中率是55%, 那籃下出手的數(shù)學(xué)期望值就是:E=2×55%+0×45%=1.1(分)。

        這個1.1 分的意思就是指平均每次籃下進(jìn)攻可以得到1.1分。數(shù)學(xué)期望,就是用來衡量這種長期的平均價值的。

        與此類似,中距離投籃也是得2 分,球員的平均命中率是45%,那中距離投籃的數(shù)學(xué)期望值就是:E=2×45%+0×55%=0.9(分)。三分球得分是3 分, 平均命中率是35%, 那三分球投籃的數(shù)學(xué)期望就是:E=3×35%+0×65%=1.05(分)。

        每種投籃方式的價值原本沒辦法衡量,但計(jì)算完數(shù)學(xué)期望,就可以比較了?;@下進(jìn)攻和三分球的數(shù)學(xué)期望都比中距離投籃高,所以應(yīng)盡可能多地投籃下球和三分球,少投中距離球。

        在美國職業(yè)籃球聯(lián)賽中,不少球隊(duì)就是按照這個思路建隊(duì)的,即重視優(yōu)秀的中鋒或者有突破能力上籃的外線球星,囤積有防守能力的三分球選手。這個思路就是當(dāng)下流行的“魔球理論”。

        用數(shù)學(xué)期望衡量長期價值有一個前提,就是所有隨機(jī)出現(xiàn)的結(jié)果都必須數(shù)值化。只有這樣,我們才能計(jì)算。

        比如,你問“回老家工作好,還是留在北京工作好”?如果只停留在“留在北京工作機(jī)會多,但競爭壓力大;回老家生活壓力小,但發(fā)展機(jī)會少”這些條件上,就沒法計(jì)算每種結(jié)果的數(shù)學(xué)期望并做出比較。只有給每個結(jié)果賦予一個具體的數(shù)字,比如,工作機(jī)會多對自己很重要,打10 分,競爭壓力小對自己沒那么重要,打5 分,這個問題才真正變得可以比較。

        游戲設(shè)計(jì)中也涉及數(shù)學(xué)期望及賦值。我們知道,游戲是需要一些隨機(jī)性的,否則就會非常無聊。比如網(wǎng)絡(luò)對戰(zhàn)游戲,游戲設(shè)計(jì)者會設(shè)置不同的技能指標(biāo),比如暴擊率、格擋率等,來增加隨機(jī)性。

        對于游戲公司來說,怎么保證所謂的游戲平衡呢?換句話說,如何設(shè)置暴擊率、格擋率等指標(biāo),才能做到不讓某些角

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