黃瀚元
(廣西壯族自治區(qū)柳州高級(jí)中學(xué) 545006)
在近些年的高考與模擬考試卷中,以上述不等式為背景的試題屢見(jiàn)不鮮,如果我們能掌握并熟練運(yùn)用上述不等式,那么我們的解題思路就可以清晰自然,解題過(guò)程就可以簡(jiǎn)潔通暢,為此,我們有必要對(duì)此不等式做深入研究.
下面我們來(lái)證明這個(gè)不等式.
不失一般性,不妨設(shè)a>b.
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)單調(diào)遞減.
故f(x) 所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,+∞)單調(diào)遞增. 故g(x)>g(1)=0. 證畢. 結(jié)合上述證明過(guò)程,我們可以得到兩個(gè)重要的不等式鏈: 用圖象表示如圖1、圖2所示: 圖1 圖2 如果我們把對(duì)數(shù)均值不等式中的a,b分別用ea,eb替換,則可得到: 我們把它叫做指數(shù)均值不等式. 證明由對(duì)數(shù)基本不等式可知 把上式中的a,b分別用x+1,x替換,得 證明由對(duì)數(shù)基本不等式可知 把上式中的a,b分別用n+1,n替換,得 證明由對(duì)數(shù)基本不等式可知 例4 方程lnx=ax有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解x1,x2,證明:x1+x2>2e. 由對(duì)數(shù)均值不等式可得 所以lnx1+lnx2>2?x1x2>e2. 例5 已知函數(shù)f(x)=x-aex有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,求證:x1+x2>2. 又因?yàn)閤1,x2是f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn), 所以x1>0,x2>0,且x1+x2=a,x1x2=1. 又由對(duì)數(shù)均值不等式可知2 對(duì)數(shù)均值不等式的推論
3 對(duì)數(shù)均值不等式的應(yīng)用