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        對(duì)數(shù)均值不等式及其應(yīng)用

        2022-12-10 03:28:44黃瀚元
        數(shù)理化解題研究 2022年31期
        關(guān)鍵詞:對(duì)數(shù)單調(diào)均值

        黃瀚元

        (廣西壯族自治區(qū)柳州高級(jí)中學(xué) 545006)

        在近些年的高考與模擬考試卷中,以上述不等式為背景的試題屢見(jiàn)不鮮,如果我們能掌握并熟練運(yùn)用上述不等式,那么我們的解題思路就可以清晰自然,解題過(guò)程就可以簡(jiǎn)潔通暢,為此,我們有必要對(duì)此不等式做深入研究.

        1 對(duì)數(shù)均值不等式的證明

        下面我們來(lái)證明這個(gè)不等式.

        不失一般性,不妨設(shè)a>b.

        所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)單調(diào)遞減.

        故f(x)

        所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,+∞)單調(diào)遞增.

        故g(x)>g(1)=0. 證畢.

        2 對(duì)數(shù)均值不等式的推論

        結(jié)合上述證明過(guò)程,我們可以得到兩個(gè)重要的不等式鏈:

        用圖象表示如圖1、圖2所示:

        圖1 圖2

        如果我們把對(duì)數(shù)均值不等式中的a,b分別用ea,eb替換,則可得到:

        我們把它叫做指數(shù)均值不等式.

        3 對(duì)數(shù)均值不等式的應(yīng)用

        證明由對(duì)數(shù)基本不等式可知

        把上式中的a,b分別用x+1,x替換,得

        證明由對(duì)數(shù)基本不等式可知

        把上式中的a,b分別用n+1,n替換,得

        證明由對(duì)數(shù)基本不等式可知

        例4 方程lnx=ax有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解x1,x2,證明:x1+x2>2e.

        由對(duì)數(shù)均值不等式可得

        所以lnx1+lnx2>2?x1x2>e2.

        例5 已知函數(shù)f(x)=x-aex有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,求證:x1+x2>2.

        又因?yàn)閤1,x2是f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn),

        所以x1>0,x2>0,且x1+x2=a,x1x2=1.

        又由對(duì)數(shù)均值不等式可知

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