金 毅

(內蒙古自治區(qū)呼和浩特市第二中學 010000)

“同構思想”是數(shù)學中非常有實戰(zhàn)意義的數(shù)學思想，其基本內涵是：可以把某參數(shù)或代數(shù)式整體當做變量，則等式整體可看做方程或函數(shù). 也就是說，雖然變量不同，但是代數(shù)結構相同.這一思想在解析幾何中被廣泛應用，體現(xiàn)在“整體代換、設而不求”的解題過程中.

1 同構于一次方程，設而不求

例1已知拋物線x2=2py(p>0)，過拋物線外一點(x0,y0)引拋物線的兩條切線，切點為A,B，求直線AB的方程.

對比兩個表達式

故直線AB的方程為x0x=p(y0+y).

點評判斷同構的依據本質是依托于“方程的解”. 也就是說，A,B兩點的坐標是直線x0x=p(y0+y)的兩個解，這樣就可以把兩個代數(shù)表達式統(tǒng)一在一個一次方程上. 在幾何上，體現(xiàn)為“兩點確定一條直線”. 可見，解析幾何中的同構最終體現(xiàn)在代數(shù)表達式上，這種同構的發(fā)掘是從表達式的一致與對稱上尋找突破口. 因此，若想靈活運用同構思想，則需要充分挖掘解析幾何在代數(shù)運算上的特征，對表達式進行充分的計算變形.

例2已知雙曲線C:x2-y2=4，過點P(1,t)(|t|<1)作C的兩條切線PA,PB，其中A,B為切點，求證：直線AB過定點.

解析設A(x1,y1),B(x2,y2)，首先研究直線PA，根據題意，直線PA的斜率必然存在，設為k，可得直線PA的方程為y-y1=k(x-x1).

可得二次方程(k2-1)x2+2k(y1-kx1)x+(y1-kx1)2+4=0，

Δ=4k2(y1-kx1)2-4(k2-1)[(y1-kx1)2+4]=0.

即x1x-y1y=4.

將P(1,t)代入，得到x1-ty1=4.

同理，可得x2-ty2=4.

比較兩個等式,可得它們同構于一次方程x-ty=4，這個方程表示直線AB，根據方程，直線AB過定點(4,0).

點評本題對同構的判斷依然與例1相同，依然是A,B兩點坐標是方程的解. 在對切線方程的處理上，本題與例1稍有不同，例1通過求導處理，例2通過聯(lián)立處理. 處理的目的是為了簡化表達式，便于找到同構關系.

2 同構于二次方程，設而不求

(1)求C的方程；

(2)設直線l不經過點P2且與C相交于A,B兩點，若直線P2A與直線P2B的斜率和為-1，證明：l過定點.

對比這兩個等式我們發(fā)現(xiàn)，這兩個等式中，k1,k2相當于二次方程4(m2-1)x2+8k(1-m)x+(m-1)2+4k2=0的兩個實數(shù)根.

所以m=-2k-1.

所以直線AB方程可寫為y=kx-2k-1，其過定點(2,-1).

(x1-t,y1)=λ(-x1,1-y1).

整理得到3λ2+8λ+4-4t2=0.

同理可得3μ2+8μ+4-4t2=0.

3 同構于函數(shù)，設而不求

圖1

解析根據橢圓的第三定義，得

同時有kBM=-k2，

4 總結與反思

從以上各例的分析來看，想要在圓錐曲線中靈活運用同構思想，需要注意以下方面：

4.1 相同的計算方式往往暗示同構式的出現(xiàn)

當我們發(fā)現(xiàn)需要用相同的計算方式來處理點和直線時，有極大的可能性出現(xiàn)同構. 所以，在審題時，要恰當?shù)匕褞缀挝恢藐P系轉換成對應的代數(shù)表達式，再從代數(shù)表達式中尋求同構式.

4.2 確定同構式的關鍵是“找相同，比不同”

首先，當?shù)玫絻蓚€類似的代數(shù)表達式后，一定要對比兩個表達式，找出相同部分，比較不同部分. 往往相同部分決定了同構式，不同部分決定了未知數(shù)或變量.如果是同構于某一函數(shù)，要明確自變量的取值范圍.

綜合以上分析，我們要充分理解同構思想，爭取把代數(shù)運算的難度降低，更加靈活地解決解析幾何問題.