劉海濤

(安徽省蕪湖市第一中學(xué) 241000)

1 問(wèn)題的提出

在近些年的高考和各類模擬考中，頻繁出現(xiàn)與lnx，ex有關(guān)的雙變量問(wèn)題，這類問(wèn)題的常用解法是構(gòu)造函數(shù)將雙變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題，處理方法有比值代換或差值代換，但是過(guò)程繁瑣，技巧性強(qiáng)，運(yùn)算量大，學(xué)生不易掌握.文[1]介紹了對(duì)數(shù)均值不等式，使得關(guān)于lnx的雙變量問(wèn)題難度降低，為解決該類問(wèn)題提供了新思路和新方法，但是關(guān)于ex的雙變量問(wèn)題怎么辦呢？筆者通過(guò)研究，發(fā)現(xiàn)由對(duì)數(shù)均值不等式可以得到一個(gè)關(guān)于ex的不等式鏈，可以用其解決一類關(guān)于ex的雙變量問(wèn)題.

2 指數(shù)均值不等式的介紹

3 指數(shù)均值不等式的應(yīng)用舉例

3.1 在函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用

例1已知函數(shù)f(x)=2ex-x2-ax.若f(x1)=f(x2)，且2x0=x1+x2，問(wèn)：函數(shù)f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線是否與x軸平行？

解析由題意，得

函數(shù)f(x)求導(dǎo)得

f′(x)= 2ex-2x-a.

則f′(x0)=2ex0-2x0-a<0.

故函數(shù)f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線不與x軸平行.

3.2 在比較大小問(wèn)題中的應(yīng)用

由指數(shù)均值不等式可得

評(píng)注該題是2013年陜西高考理科數(shù)學(xué)的壓軸題，若考生在備考階段學(xué)習(xí)過(guò)指數(shù)均值不等式，考場(chǎng)上便可信手拈來(lái).

3.3 在證明不等式問(wèn)題中的應(yīng)用

例3已知函數(shù)f(x)=xe-x(x∈R).如果x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，證明：x1+x2>2.

解析由題知x1e-x1=x2e-x2.

由分式的和比、差比性質(zhì),得

故x1+x2>2.

例4已知f(x)=ex-mx.若x1,x2(x12.

解析由題知ex1-mx1=ex2-mx2=0.

評(píng)注例3是2010年天津高考理科數(shù)學(xué)的壓軸題，例4是2018 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建省預(yù)賽第 14 題，兩道題官方給出的參考答案是采用對(duì)稱化構(gòu)造函數(shù)的方法證明，難度大，對(duì)學(xué)生思維要求高，考生不易解答，但是該題利用指數(shù)均值不等式可以快速解答，過(guò)程簡(jiǎn)潔自然，給人耳目一新的感覺(jué).

3.4 在求參數(shù)范圍問(wèn)題中的應(yīng)用

解析由題意，得

不妨設(shè)x1

評(píng)注該題運(yùn)用指數(shù)均值不等式的右邊恰到好處地放縮了原不等式，快速地獲得了關(guān)于參數(shù)k的不等關(guān)系，簡(jiǎn)潔地求得了k的取值范圍.

例6已知函數(shù)f(x)=x2+ax+1，g(x)=ex(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).若對(duì)任意x1,x2∈[0,2](x1≠x2),不等式|f(x1)-f(x2)|<|g(x1)-g(x2)|均成立, 求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

即|(x1-x2)(x1+x2+a)|<|ex1-ex2|.

不妨設(shè)0≤x1

即-et-2t≤a≤et-2t.

設(shè)m(t)= -et-2t，φ(t)=et-2t，

易知m(t)在(0,2)上單調(diào)遞減，

則m(t)

求導(dǎo)得φ′(t)=et-2.

易得φ(t)在(0,ln2)上單調(diào)遞減，在(ln2,2)上單調(diào)遞增.

則φ(t)≥φ(ln2)=2-2ln2.

故-1≤a≤2-2ln2.

本文利用指數(shù)均值不等式給出了上述六道與ex有關(guān)的雙變量問(wèn)題的簡(jiǎn)便解法，讓讀者感受指數(shù)均值不等式的妙用，但是任何一種方法都有其局限性，我們?cè)谌粘５膶W(xué)習(xí)中，要結(jié)合自身掌握程度和實(shí)際情況，選擇最佳的解題方法，不可一味追求某一種解法，要學(xué)會(huì)從不同解法中汲取不同的數(shù)學(xué)思想，從而提高自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與解題能力.