王煦，滕飛

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長春 130000)

伴隨著我國經(jīng)濟(jì)建設(shè)的飛速發(fā)展，經(jīng)濟(jì)競爭問題日益顯著，資源浪費(fèi)不可避免，隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，網(wǎng)約車app層出不窮，在為我國人民出行提供了極大的便利的同時(shí)，也給出租車行業(yè)帶來了壓力，二者之間的競爭日益加劇.

生物數(shù)學(xué)模型最早用于研究人口問題，后來用于研究生態(tài)學(xué)種群之間捕食、互惠、競爭關(guān)系，Lotka-Volterra模型[1]如下：

(1)

生物數(shù)學(xué)中，在一定條件下，當(dāng)種群密度(數(shù)量)處于適度大小時(shí)，種群的增長最快，密度太低或太高都會(huì)對(duì)種群的增長起著限制作用，稱之為Allee效應(yīng)[2].考慮到網(wǎng)約車app的開發(fā)也呈多樣化，如滴滴出行、T3出行、花小豬、神州專車、美團(tuán)打車等，隨著下載使用網(wǎng)約車app人數(shù)的增加，對(duì)網(wǎng)約車app的開發(fā)起到了一個(gè)激勵(lì)作用.

生物數(shù)學(xué)模型已經(jīng)廣泛應(yīng)用于解決社會(huì)經(jīng)濟(jì)競爭問題，本文將利用這一理論解決在私家車影響下出租車與網(wǎng)約車的競爭問題.隨著我國經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，私人轎車進(jìn)入家庭已成為常態(tài)，對(duì)出租車和網(wǎng)約車產(chǎn)生了一定的影響，影響系數(shù)記為m，將出租車與網(wǎng)約車視為兩個(gè)種群，建立新的生物數(shù)學(xué)競爭模型，進(jìn)行全面的動(dòng)力學(xué)行為分析，找到出租車與網(wǎng)約車之間的平衡點(diǎn).

1 預(yù)備知識(shí)

根據(jù)研究需要，現(xiàn)對(duì)模型中所應(yīng)用的相關(guān)定義與定理進(jìn)行簡要說明.

(1)平面自治系統(tǒng)[1]：

(2)

其中P,Q∈C(D?R2),且適合Lispschitz條件.

平衡點(diǎn)定義：若對(duì)任意的t∈(-∞,+∞)，有x(t)≡x*,y(t)=y*,(x*,y*)∈D成立，則稱x=x*,y=y*是(2)的一個(gè)定常解，其對(duì)應(yīng)的積分曲線是在(t,x,y)空間的直線x=x*,y=y*平行于t軸，軌線是相平面中點(diǎn)(x*,y*)，稱(x*,y*)為平衡點(diǎn)(或奇點(diǎn)).顯然，(x*,y*)是一個(gè)平衡點(diǎn)?P(x*,y*)=Q(x*,y*)=0.不是奇點(diǎn)的相點(diǎn)稱為常點(diǎn).

(2)Jocabi矩陣：

α=-(a11+a22),Δ=(a11a22-a12a21),T=α2-4Δ.

2 系統(tǒng)分析

2.1 模型建立

在Lotka-Volterra模型的基礎(chǔ)上，根據(jù)問題的實(shí)際背景，建立出租車公司與網(wǎng)約車app的競爭模型如下：

(3)

令

(4)

將式(4)代入到式(3)，可得

(5)

其中，a,b,c為正常數(shù)，x(t)表示t時(shí)刻出租車公司的數(shù)量；y(t)表示t時(shí)刻網(wǎng)約車app的數(shù)量；r1,r2分別表示出租車和網(wǎng)約車的內(nèi)稟增長率；K表示社會(huì)對(duì)出租車公司最大需求量；r3表示網(wǎng)約車app用戶系數(shù)；A表示網(wǎng)約車app的Allee系數(shù)；m表示私家車對(duì)出租車和網(wǎng)約車的影響的系數(shù)；α1,α2分別表示出租車單位和網(wǎng)約車app的增長率；β1表示出租車公司內(nèi)部競爭系數(shù)；λ2表示網(wǎng)約車app內(nèi)部競爭系數(shù)；λ1表示網(wǎng)約車app對(duì)出租車公司的競爭系數(shù)；β2表示出租車單位對(duì)網(wǎng)約車app的競爭系數(shù).

2.2 模型求解

令

2.3 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

2.3.1 邊界平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

2.3.2 正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

將系統(tǒng)(5)變形為

(1)運(yùn)用零點(diǎn)定理證明平衡點(diǎn)C*(x*,y*)存在唯一性

令

設(shè)輔助函數(shù)

經(jīng)計(jì)算

f(0)<0,f(K)>0,f′(y)>0.

根據(jù)零點(diǎn)定理，C*(x*,y*)存在唯一性.

(2)應(yīng)用Jacobi矩陣法證平衡點(diǎn)C*(x*,y*)局部穩(wěn)定

經(jīng)計(jì)算得

Δ=(α1-2β1x*-λ1y*)(α2-β2x*-2λ2y*)-β2λ1x*y*=

由α>0,Δ>0可知，正平衡點(diǎn)C*(x*,y*)局部漸近穩(wěn)定.

(3)利用Bendixson-Dulac判別法證明系統(tǒng)(5)全局漸近穩(wěn)定

取B(x,y)=xp-1yq-1(p,q為常數(shù))，則有

令

則有

其中

H=α1λ2(β2-β1)+α2β1(λ1-λ2)<0.

由Bendixson-Dulac判別法定理可知，系統(tǒng)不存在閉軌線，即系統(tǒng)不存在極限環(huán).

綜上可知，正平衡點(diǎn)C*(x*,y*)全局漸近穩(wěn)定.

研究發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)的邊界平衡點(diǎn)所表示的含義不符合實(shí)際意義，不加考慮，此模型系統(tǒng)存在唯一正平衡點(diǎn)C*(x*,y*)，并證明了正平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定，也就是說，當(dāng)出租車單位數(shù)量達(dá)到x*和網(wǎng)約車app的數(shù)量達(dá)到y(tǒng)*的時(shí)候，出租車和網(wǎng)約車就實(shí)現(xiàn)了穩(wěn)定的狀態(tài)，不僅可以緩解出租車公司的經(jīng)營困境，還會(huì)降低資源人力的浪費(fèi)，實(shí)現(xiàn)利益最大化.

2.4 私家車的影響

將(4)代入C*(x*,y*)可得

(6)

私家車對(duì)出租車和網(wǎng)約車影響程度高低受二者增長率的影響，當(dāng)網(wǎng)約車app的增長率高于出租車企業(yè)的增長率時(shí)，私家車對(duì)出租車企業(yè)的影響程度反而高于對(duì)網(wǎng)約車app的影響.說明增長率越大，相對(duì)而言所受到的影響越低.但是該模型的不足之處就是沒能考慮到網(wǎng)約車app的飽和狀態(tài).

3 生物學(xué)意義

通過分析出租車與網(wǎng)約車之間的經(jīng)濟(jì)競爭，將其視為兩個(gè)種群，建立生物數(shù)學(xué)模型.首先，以Lotka-Volterra模型為基礎(chǔ)，考慮到網(wǎng)約車app的Allee效應(yīng)，私家車對(duì)二者的影響，對(duì)模型進(jìn)行了一定的改進(jìn)；其次，對(duì)模型進(jìn)行求解，得到4個(gè)解，3個(gè)邊界平衡點(diǎn)，1個(gè)正平衡點(diǎn)，利用Jocabi法分析4個(gè)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，應(yīng)用零點(diǎn)定理、Bendixson-Dulac判別法等證明了正平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定.最后，聯(lián)系實(shí)際，分析了出租車和私家車在達(dá)到正平衡點(diǎn)時(shí)實(shí)現(xiàn)了最合理的分配，資源得到了最有效的利用.此模型還可以應(yīng)用到其它與實(shí)際生活相關(guān)類型的經(jīng)濟(jì)競爭中，以生物數(shù)學(xué)模型解決問題，結(jié)果更為直觀可靠.