王福謙

(四川西南航空職業(yè)學(xué)院 機(jī)務(wù)學(xué)院，四川 成都 610400)

電容式角位移傳感器是將被測物體的角度變化轉(zhuǎn)換為電容器電容變化的一種傳感器，具有較高的精度、分辨率和可靠性，在角度等非電量測量和自動(dòng)檢測中應(yīng)用范圍較廣。關(guān)于變面積型電容角位移傳感器，文獻(xiàn)[1]～文獻(xiàn)[5]分別研究了雙電容環(huán)結(jié)構(gòu)式、四電極式、圓盤狀單級(jí)式、自我標(biāo)定環(huán)裝式以及由一個(gè)旋轉(zhuǎn)軸和三對(duì)固定電極組成的圓柱-圓柱面結(jié)構(gòu)式等類型的傳感器，文獻(xiàn)[6]～文獻(xiàn)[10]報(bào)道了分瓣三層平行板結(jié)構(gòu)狀電容角位移傳感器的有限元法研究，而對(duì)變面積型圓柱面形電容角位移傳感器的研究，相關(guān)文獻(xiàn)還未見涉及，且現(xiàn)行的國內(nèi)外有關(guān)變面積型電容式角位移傳感器，在其輸出特性的研究中，均沒有計(jì)及傳感器極板邊緣效應(yīng)對(duì)測量結(jié)果的影響，從而導(dǎo)致測量結(jié)果出現(xiàn)誤差，影響測量的精確度。有的研究成果僅給出有限元法的仿真結(jié)果，沒有給出輸出特性的解析解，而電容式角位移傳感器輸出特性的解析解的得出，必須通過求解相應(yīng)的邊值問題才能實(shí)現(xiàn)。為此，為了利用格林函數(shù)法消除傳感器極板的橫向邊緣效所引起的測量誤差，提高電容角位移傳感器的測量精確度，針對(duì)研究的電容式傳感器的結(jié)構(gòu)，首先建立與之對(duì)應(yīng)的復(fù)平面z上的二維靜電場邊值問題的數(shù)學(xué)模型，利用保角變換函數(shù)ζ=f(z)，將z平面上的邊值問題變換為位于ζ平面的上半平面的二維邊值問題，由格林函數(shù)法求得ζ平面的上半平面的電勢(shì)分布，再通過函數(shù)變換關(guān)系，將ζ平面的上半平面的電勢(shì)分布，變換為電容傳感器內(nèi)的電勢(shì)分布，繼而得到其場強(qiáng)分布，再積分得到傳感器極板的帶電量及其電容量，給出傳感器的輸出量C(θ)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，利用MATLAB軟件繪制出輸出特性曲線，分析傳感器在不同區(qū)域的靈敏度及線性度，通過數(shù)值模擬分析給出了提高電容傳感器輸出性能的途徑。

1 圓柱面電容角位移傳感器的電場

圖1為內(nèi)、外半徑分別為R1、R2的變面積型圓柱面電容式角位移傳感器的橫截面，內(nèi)、外兩極板及外極板間隙所對(duì)應(yīng)的圓心角分別為為θ1、θ2和θ0，其電勢(shì)分別為u1=U0和u2=-U0，內(nèi)極板相對(duì)于初始位置(上極板關(guān)于y軸對(duì)稱的位置)逆時(shí)針轉(zhuǎn)過θ角度。當(dāng)圓柱面的長度遠(yuǎn)大于其半徑時(shí)，該傳感器可視為無限長。因而在垂直于圓柱面軸線的所有截面中的電勢(shì)和場強(qiáng)的分布都相同，則該傳感器的電場為平行平面場，取其中一個(gè)截面為z平面。

為了求得變面積型圓柱面電容式角位移傳感器內(nèi)的電場分布，首先作如下的保角變換：

w1=iln(z)

(1)

圖1 差動(dòng)式變面積型圓柱面電容角位移傳感器的橫截面

圖2 經(jīng)對(duì)數(shù)變換后的帶形區(qū)域

由圖1可以看出，該傳感器的橫截面在z平面上三段圓弧的端點(diǎn)位置zA、zB、zC、zD、zE和zF分別為

(2)

由式(1)可得z平面上的三條圓弧變換為的三條直線段的端點(diǎn)位置為

(3)

再作如下的平移變換：

w2=w1-iv1A

(4)

式(4)將圖2變換為如圖3所示。其中v1A=Im(w1A)=ln(R1)。

為了應(yīng)用格林函數(shù)法求得變面積型圓柱面電容式角位移傳感器內(nèi)部的電勢(shì)分布，需再作如下保角變換[11]：

圖3 經(jīng)平移變換后的帶形區(qū)域

(5)

式(5)將w2平面上半平面的位于實(shí)軸的一條直線段及平行于實(shí)軸且與實(shí)軸間距為h的兩條直線段映射為位于ζ平面實(shí)軸上的三條直線段，其帶形域則映射為上半平面，如圖4所示。

圖4 經(jīng)指數(shù)變換后的上半平面

經(jīng)式(1)、式(4)及式(5)變換后，z平面上傳感器內(nèi)的電勢(shì)分布就變換為ζ平面上的上半平面的如下邊值問題。

▽2u=0
u=-U0(η=0,ξB≤ξ≤ξA)
u=U0(η=0,ξC≤ξ≤ξD)
u=U0(η=0,ξE≤ξ≤ξF)

(6)

對(duì)于ζ平面上如圖4所示的邊值問題，應(yīng)用格林函數(shù)法[12]，可得其電勢(shì)分布為

(7)

將式(1)代入式(4)，則有：

w2=iln(z)-iln(R1)

(8)

將式(2)代入式(8)得:

(9)

(10)

為了給出變面積型圓柱面電容式角位移傳感器內(nèi)部電場分布圖的直觀圖像，以驗(yàn)證本文所得結(jié)論的正確性，下面依據(jù)式(1)～式(9)，利用MATLAB軟件對(duì)該傳感器的電場分布進(jìn)行數(shù)值模擬[13]，得到電場線和等勢(shì)線的分布，如圖5～圖6所示。可以看出，該傳感器內(nèi)的電場線與等勢(shì)線及導(dǎo)體邊界均垂直，場線分布正確，為預(yù)期結(jié)果。

圖5 圓柱面電容角位移傳感器的電場(εr=1,U0=100 V，

圖6 圓柱面電容角位移傳感器的電場(εr=1,U0=100 V，R1=3 cm,R2=6 cm,θ1=π/2,θ2=3π/4,θ0=π/36,θ=π/18)

2 圓柱面電容角位移傳感器的輸出特性及特性曲線

2.1 圓柱面電容角位移傳感器的輸出特性

為簡便起見，可假設(shè)變面積型圓柱面電容式角位移傳感器的兩極板間的電壓為U0(取u1=U0，u2=0，根據(jù)式(6)、式(7)，則式(10)中前四項(xiàng)存在，后兩項(xiàng)為0)，取式(10)中的ρ=R1，可得其內(nèi)極板上的感應(yīng)電荷面密度的大小為

σ=-ε0εrEρ|ρ=R1

(11)

變面積型圓柱面電容式角位移傳感器極板的帶電量為

(12)

由式(12)得變面積型圓柱面電容式角位移傳感器的輸出特性為

(13)

由于電容傳感器的邊緣效應(yīng)，導(dǎo)致其極板存在邊緣附加電容。因?yàn)楸疚闹袀鞲衅鲀?nèi)的場強(qiáng)分布是通過格林函數(shù)法得到的，已經(jīng)計(jì)及了傳感器極板的橫向邊緣效應(yīng)，由于式(13)給出的電容值要大于傳感器在不計(jì)邊緣效應(yīng)時(shí)的電容值，所以式(13)具有較高的精確度。調(diào)整該傳感器的幾何尺寸，還可以得到較好的輸出特性。表1為變面積型圓柱面電容式角位移傳感器的輸出特性數(shù)據(jù)表。表1中，對(duì)于給定的傳感器的幾何尺寸，在30°的測量范圍內(nèi)，每1°角位移對(duì)應(yīng)的電容量的變化量為0.1 pF左右，此時(shí)傳感器具有良好的線性度和較高的靈敏度，輸出特性良好。

表1 變面積型圓柱面電容式角位移傳感器的輸出特性數(shù)據(jù)表(εr=1)

2.2 圓柱面電容角位移傳感器的輸出特性曲線

下面利用MATLAB軟件的數(shù)值模擬功能，通過式(13)繪制出變面積型圓柱面電容式角位移傳感器的電容量C隨其角位移θ的變化曲線，分別如圖7和圖8所示。

圖7 圓柱面電容角位移傳感器的輸出特性曲線 (εr=1,R1=0.03 m,R2=0.05 m,L=0.5 m,θ0=π/60,θ1=π/6,θ2=π/3)

2.3 圓柱面電容角位移傳感器的輸出特性的分析

2.3.1 輸出特性與θ1和θ2的關(guān)系

在該傳感器的R1、R2、θ0及L給定時(shí)，對(duì)式(13)通過MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，結(jié)果表明：① 當(dāng)θ1≠θ2，且θ1<θ2時(shí)，該傳感器的線性度和靈敏度均較差，即使增大θ1與θ2的差值，其輸出特性也無明顯的變化，如圖9(a)和圖9(b)所示。② 當(dāng)θ1=θ2時(shí)，增大θ1或θ2的數(shù)值，該傳感器的平均靈敏度及線性度均有較大幅度的提高，如圖9(c)和圖9(d)所示。③ 當(dāng)θ1≠θ2，且θ1>θ2時(shí)，即使增大θ1與θ2的差值，該傳感器的線性度和靈敏度也不能得到改善，輸出特性較差，如圖9(e)和圖9(f)所示。

2.3.2 輸出特性與R1和R2的關(guān)系

2.3.3 輸出特性與θ0的關(guān)系

對(duì)式(13)通過MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，結(jié)果表明：① 當(dāng)θ1<θ2時(shí)，在θ1和θ2保持不變的條件下，減小傳感器θ0的值，其靈敏度和線性度有所提高，如圖9(a)和圖11(a)所示;而增大傳感器θ0的值，其靈敏度和線性度變差，如圖9(a)和圖11(b)所示。② 對(duì)于θ1=θ2，減小傳感器θ0的值，其靈敏度和線性度有

(a) θ1=π/4,θ2=π/3

(b) θ1=π/4,θ2=2×π/3

(c) θ1=π/3,θ2=π/3

(d) θ1=2×π/3,θ2=2×π/3

(e) θ1=π/3,θ2=π/6

(f) θ1=2×π/3,θ2=π/6

(a) R1=0.045 m,R2=0.05 m,θ1=π/4,θ2=2×π/3

(b) R1=0.045 m,R2=0.05 m,θ1=π/3,θ2=π/3

(c) R1=0.045 m,R2=0.05 m,θ1=π/3,θ2=π/6

(d) R1=0.045 m,R2=0.05 m,θ1=2×π/3,θ2=π/6

(e) R1=0.02 m,R2=0.04 m,θ1=2×π/3,θ2=π/6

(f) R1=0.04 m,R2=0.06 m,θ1=π/3,θ2=π/6

所提高，如圖9(c)、圖11(c)和圖11(d)所示；若實(shí)現(xiàn)差動(dòng)輸出，其靈敏度可進(jìn)一步提高。③ 對(duì)于θ1>θ2，減小傳感器θ0的值，其靈敏度和線性度也有所提高，如圖9(e)、圖11(e)和圖11(f)所示。

(b) θ0=π/18,θ1=π/4,θ2=π/3

(c) θ0=π/180,θ1=π/3,θ2=π/3

(d) θ0=π/18,θ1=π/3,θ2=π/3

(e) θ0=π/180,θ1=π/3,θ2=π/6

(f) θ0=π/18,θ1=π/3,θ2=π/6

2.3.4 改善傳感器輸出特性的途徑

綜合2.3.1～2.3.3節(jié)中的數(shù)值模擬結(jié)果可以看出，改善變面積型圓柱面電容式角位移傳感器輸出特性的途徑有4個(gè)：① 使θ1=θ2；② 減小θ0的值；③ 減小R2-R1的值；④ 在θ1=θ2情形下，增大θ1(θ2)的數(shù)值(這可增大傳感器的測量范圍)。前三者都能在一定的測量范圍內(nèi)提高傳感器的靈敏度和線性度，但有的情形的測量范圍減小了，僅適用于微角位移測量。通過以上4個(gè)途徑，選取合適的傳感器幾何參數(shù)，應(yīng)用MATLAB軟件仿真，可看出該傳感器同時(shí)具有較高的靈敏度、線性度及較大的測量范圍，輸出特性良好，其輸出特性曲線圖如12和圖13所示。

3 結(jié)束語

計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬的研究方法已成為繼實(shí)驗(yàn)研究和理論分析之外的第三種研究手段。將理論分析與計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬相結(jié)合，研究了變面積型圓柱面電容式角位移傳感器的輸出特性，消除了傳感器極板的橫向邊緣效應(yīng)對(duì)測量結(jié)果的影響，指出了改善該傳感器輸出特性的途徑。討論的變面積型圓柱面電容式角位移傳感器，具有結(jié)構(gòu)簡單、操作方便、可控性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，具有一定的應(yīng)用潛力。研究結(jié)論為傳感器的設(shè)計(jì)與研究提供了一種新的方法，在科研上具有一定的理論意義和實(shí)用價(jià)值，也可為相關(guān)問題的研究提供參考。

圖12 圓柱面電容角位移傳感器的輸出特性曲線

圖13 圓柱面電容角位移傳感器的輸出特性曲線