彭 宇，林瑞仕，高曉穎，屈玉苗，白 駿

（北京航天自動控制研究所，北京，100076）

0 引 言

隨著現(xiàn)代工業(yè)控制系統(tǒng)的復雜性與集成度日益提高，可靠性和安全性成為衡量系統(tǒng)性能的重要指標，因此對于容錯控制的研究具有深遠的現(xiàn)實意義。容錯控制是建立在故障檢測和估計的基礎上，附加控制律以確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性。近二十年來，基于觀測器的故障估計和容錯控制一直受到廣泛的關注，并已成功應用到一些實際系統(tǒng)中[1～5]。

自適應故障估計觀測器具有能夠?qū)顟B(tài)信息和故障信息同時估計出來的優(yōu)點，適用于多數(shù)實際系統(tǒng)狀態(tài)變量不完全可測的情況。近年來，學者針對該領域進行了深入的研究[6～13]，文獻[7]引入適當?shù)淖鴺俗儞Q，有效放松了系統(tǒng)嚴格正實（SPR）條件，拓寬了自適應故障估計觀測器的適用范圍，并通過提出一種比例加積分的故障估計算法提高了故障估計的準確性和快速性，但是在動態(tài)系統(tǒng)的建模中沒有考慮未知輸入擾動的影響。文獻[8]設計的故障估計觀測器抑制了干擾對系統(tǒng)的影響，具有良好的魯棒性，但是在定義Lyapunov函數(shù)時選取了特殊的Lyapunov矩陣，造成了系統(tǒng)信息的缺失，具有一定的保守性，降低了故障估計的準確性。文獻[9]提到了基于故障估計觀測器的狀態(tài)反饋容錯控制器設計，依據(jù)魯棒H∞控制理論構造LMI約束抑制干擾向量對系統(tǒng)性能的影響，但是在求解LMI時忽略了變量之間的關系，無法得到正確的狀態(tài)反饋矩陣K，所以文獻[9]轉(zhuǎn)而設計了動態(tài)輸出反饋容錯控制器來確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

針對上述分析，本文在自適應故障估計算法的基礎上，將狀態(tài)估計誤差和故障估計誤差組成增廣系統(tǒng)，并構造LMI約束抑制干擾對觀測器設計的影響。在故障估計的基礎上進一步設計了狀態(tài)反饋容錯控制器，采用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。最后通過仿真實驗驗證了所提出方法的有效性。

1 系統(tǒng)描述

考慮有未知輸入擾動及故障模式下的線性時不變（LTI）動態(tài)系統(tǒng)，其狀態(tài)空間描述如下：

式中x（t），u（t）分別為狀態(tài)向量、控制輸入向量，x（t） ∈Rn，u（t） ∈Rm；y（t）為量測輸出向量，y（t） ∈Rp；d（t） ∈Rd為未知輸入擾動向量（包括外界干擾和系統(tǒng)內(nèi)部噪聲），d（t） ∈Rd且為L2范數(shù)有界即d（t） ∈L2［ 0 ,T）；f（t）為系統(tǒng)故障向量，f（t） ∈Rr；A，B，C，D，E均為適當維數(shù)已知確定矩陣，B，E均是列滿秩矩陣。

為了檢測和估計故障，對系統(tǒng)式（1）、式（2）構造相應的全階故障估計觀測器如下：

根據(jù)式（1）式（4）作如下定義：

則可得到誤差動態(tài)方程如下：

式中ex（t）為狀態(tài)估計誤差，ex（t） ∈Rn；ey（t）為輸出估計誤差，ey（t） ∈Rp；ef（t）為故障估計誤差，ef（t）∈Rr。

2 自適應增廣故障估計觀測器的設計

定義故障估計對時間的導數(shù)如下：

式中R為待設計的增益矩陣。

注1：從式（10）可知，故障估計的導數(shù)（t）即估計故障的變化趨勢由故障估計本身（t）和系統(tǒng)輸出估計誤差ey（t）組成，具有自適應調(diào)節(jié)的功能。

本文考慮的是時變故障，即（t）≠0，則故障估計誤差對時間的導數(shù)如下：

將式（8）和式（11）組成一個增廣系統(tǒng)：

由式（12）可知，除了待設計的增益矩陣L和R以外，其他系數(shù)矩陣均為已知確定的。因此，故障估計觀測器的設計問題可以描述為：設計最優(yōu)的觀測器增益矩陣使得增廣誤差系統(tǒng)式（12）漸近穩(wěn)定，并且使狀態(tài)估計誤差ex（t）和故障估計誤差ef（t）盡量達到最小。

注2：根據(jù)全維觀測器的漸近等價條件[14]可知，本節(jié)設計的增廣故障估計觀測器存在的充分必要條件為被觀測系統(tǒng)是可觀測的。

定理1：考慮系統(tǒng)式（12），對于給定的標量 0γ＞和α＞0，如果存在對稱正定矩陣和矩陣使得式（13）、式（14）成立，則增廣故障估計觀測器可使得狀態(tài)估計誤差和故障估計誤差以α穩(wěn)定裕度指數(shù)收斂，并且滿足

證明：首先定義一個Lyapunov函數(shù)為

取其對時間的導數(shù)：

將式（16）代入式（18）可得：

由式（17）可知 0J＜即＜0Π，應用Schur補引理可得到式（13）成立。根據(jù)李亞普諾夫判據(jù)推廣形式即特征值分布理論[14]可得，若式（14）成立，狀態(tài)估計誤差和故障估計誤差是穩(wěn)定的并以α穩(wěn)定裕度指數(shù)收斂。

證畢

注3：在這里，假設故障及其對時間的導數(shù)均為L2范數(shù)有界即f（t）,（t） ∈L2［0,T），因此增廣向量組（t）為L2范數(shù)有界。從定理1可以看出，通過選取適當?shù)臉肆喀?，可以使得狀態(tài)估計誤差和故障估計誤差盡量達到最小。

注4：從文獻[8]中可以看出，傳統(tǒng)自適應故障估計觀測器設計方法中選取的Lyapunov函數(shù)為

從定理1的證明中可以看出，本文設計的算法將未知待求矩陣L和R組成一個增廣矩陣，誤差增廣系統(tǒng)式（12）中其他系數(shù)矩陣均為已知，使得Lyapunov矩陣可以作為一個整體代入計算，即選取的Lyapunov函數(shù)為

式中P11，P12，P22為中適當維數(shù)的子矩陣。這樣充分利用了系統(tǒng)信息，降低了設計的保守性。

注5：從式（14）可以看出，定理1利用α穩(wěn)定裕度來改善狀態(tài)估計誤差和故障估計誤差的收斂速度。

通過定理1給出的算法可以求得自適應增廣故障估計觀測器增益矩陣L和R，從而同時得到系統(tǒng)狀態(tài)估計向量（t）和故障估計向量（t）。

3 容錯控制器的設計

本節(jié)將基于第2節(jié)獲得的系統(tǒng)狀態(tài)和故障的實時估計信息設計容錯控制器，使得系統(tǒng)在出現(xiàn)故障時仍可確保穩(wěn)定性?？紤]實際系統(tǒng)的狀態(tài)變量一般都是不可測的，因此容錯控制方法采用基于故障估計觀測器的反饋控制，而反饋控制通常分為狀態(tài)反饋控制和輸出反饋控制。

文獻[9]提到了基于故障估計觀測器的狀態(tài)反饋控制器設計，依據(jù)魯棒H∞控制理論構造LMI約束抑制干擾向量η（t）對系統(tǒng)性能的影響，但是在設計的LMI中同時出現(xiàn)了定義的新變量W=KP，K和P，使得在運用MATLAB中LMI工具箱求解的過程中將三者當作各自獨立的變量，忽視了W=KP，無法得到正確的狀態(tài)反饋矩陣K，因此給容錯控制器的設計帶來一定的困難。因此，文獻[9]設計了動態(tài)輸出反饋容錯控制器來確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

為了克服上述設計過程中的難點，本文運用一種新的構造LMI約束和變量處理方法，解決了基于故障估計觀測器的狀態(tài)反饋容錯控制器的設計問題。首先給出以下假設。

假設1：rank（B,E） =rank（B）。

由文獻[8]可知，假設1相當于存在一個矩陣B*∈Rm×n使得

式中K∈Rm×n為狀態(tài)反饋矩陣。

在這里，將式（20）代入式（1）可得：

將式（19）代入式（21）可得：

定理2：考慮系統(tǒng)式（22），對于一個給定的標量β＞0，如果存在對稱正定矩陣Q∈Rn×n和矩陣M∈Rn×n使得如下LMI成立，則基于故障估計觀測器的狀態(tài)反饋控制可使系統(tǒng)式（1）狀態(tài)魯棒穩(wěn)定，并且滿足

式中ψ11=QA+ATQ-M-MT；M=QBK。

證明：首先定義一個Lyapunov函數(shù)為

取其對時間的導數(shù)：

將式（25）代入式（27）可得：

由式（26）可知J＜0即Ω＜ 0，應用Schur補引理可得到式（23）成立。因此系統(tǒng)式（1）狀態(tài)x（t）魯棒穩(wěn)定，并且滿足

證畢

注6：從第2節(jié)可得到，狀態(tài)估計誤差ex（t）和故障估計誤差ef（t）是收斂的，即干擾向量η（t）為L2范數(shù)有界，所以通過選取適當?shù)臉肆喀?，?jīng)過LMI約束可以最大限度的減小干擾向量η（t）對系統(tǒng)性能的影響。

注7：從式（23）可知，通過對LMI的求解可以得到兩個變量的值，即M和Q。根據(jù)定義式=M QBK可知：

在這里，由于B是列滿秩矩陣，B的左逆存在且唯一，即B+=（BTB）-1BT，所以在式（28）等號兩邊同時乘以B+，可得狀態(tài)反饋矩陣K=B+Q-1M。另外，由文獻[7]可知，式（20）中的B*可取為B+，即B*=B+。

4 仿真算例

考慮系統(tǒng)式（1）、式（2），給定系統(tǒng)參數(shù)如下：

本文考慮的是執(zhí)行器故障，這類故障通常發(fā)生在控制輸入通道。在這里假設干擾分布矩陣為D=［0.01 0.01 0.01 0.01］T，則可以構造滿足式（12）中的增廣系數(shù)矩陣，和。通過計算可得，是可觀測的，滿足增廣故障估計觀測器存在的充分必要條件。

第2節(jié)中的算法分析及說明：根據(jù)定理1，設H∞性能指標γ=0.325和穩(wěn)定裕度α=0.2，運用MATLAB中LMI工具箱的求解器feasp，可得滿足式（13）、 式（14）的解和，由可解得：

即自適應增廣故障估計觀測器增益矩陣為

第3節(jié)中的算法分析及說明：根據(jù)定理2，設H∞性能指標β=1.0001，求解LMI可得Q和M，然后通過式解得：

再將B*E=［ 0 .5787］代入式（20）即可得到基于故障估計觀測器的狀態(tài)反饋控制u（t）。

下面將通過對兩種故障類型的仿真分析闡述本文所提出算法的有效性。這里假設控制輸入u（t）是幅值為0.06的常值信號，未知輸入d（t）是功率為0.005，采樣時間為0.01 s的白噪聲信號。

a）突變性故障。

定義執(zhí)行器發(fā)生的故障f（t）如下：

圖1給出了故障f（t）的估計曲線。圖2給出了有故障時系統(tǒng)在容錯控制作用下的輸出響應曲線。

圖1 故障估計曲線 Fig.1 Fault Estimation Curve

圖2 系統(tǒng)在容錯控制作用下的輸出響應曲線 Fig.2 The Output Response Curve of the System under Fault-tolerant Control

b）漸變性故障。定義執(zhí)行器發(fā)生的故障f（t）如下：

圖3給出了故障f（t）的估計曲線。圖4給出了有故障時系統(tǒng)在容錯控制作用下的輸出響應曲線。

圖3 故障估計曲線 Fig.3 Fault Estimation Curve

圖4 系統(tǒng)在容錯控制作用下的輸出響應 Fig.4 The Output Response Curve of the System under Fault-tolerant Control

從以上仿真結果可以看出，本文設計的自適應增廣故障估計觀測器可以快速準確的估計時變故障，同時在出現(xiàn)故障時，設計的狀態(tài)反饋控制器可以使系統(tǒng)保持很好的穩(wěn)定性。

5 結束語

本文基于自適應故障估計觀測器，將系統(tǒng)狀態(tài)估計誤差與故障估計誤差增廣成一個系統(tǒng)來求取觀測器增益，將狀態(tài)信息和故障信息同時估計出來，并利用故障估計信息附加控制律構造狀態(tài)反饋容錯控制系統(tǒng)。本文利用了魯棒H∞控制理論構造LMI約束以及新的變量處理方法，有效的解決了傳統(tǒng)自適應故障估計觀測器難于處理存在未知擾動的不確定性系統(tǒng)和無法準確、快速估計時變故障等問題。