楊 杰，劉大勇，陳煥艮

(1. 杭州師范大學數(shù)學學院，浙江 杭州 311121； 2. 中南林業(yè)科技大學理學院，湖南 長沙 410004)

設A表示具有單位元1的Banach代數(shù).稱a是Drazin可逆，如果存在x∈A，滿足

ax=xa,xax=x,a-a2x∈N(A>),

x稱為a的Drazin逆.如果它存在，則是唯一的，x寫作aD.這里N(A>)是A中所有冪零元構成的集合.Drazin逆在微分和差分方程、Markov鏈、控制理論等許多領域都有廣泛的運用[1-2].

Koliha[3]引進了廣義Drazin逆，如果存在a∈A,ad∈A滿足以下條件：

adaad=ad,aad=ada,a-a2ad∈Aqnil.

可以證明a∈A是交換的冪等元與冪零元的和當且僅當a-a2∈N(A>)，a∈A是交換的tripotent元與冪零元的和當且僅當a-a3∈N(A>)[6].為了用廣義逆方法刻畫Banach代數(shù)中元素的周期和冪零分解，文[6]引進了一類新型廣義逆——Zhou逆.假定a∈A，稱a具有Zhou可逆，如果存在x∈A,n∈滿足以下條件：

x=xax,ax=xa,an-ax∈N(A>).

如果x存在，那么它是唯一的，且記作aZ，并稱為a的Zhou逆.Zhou逆是Drazin逆， 但反之不然.Zhou逆的基本性質(zhì)參見文[6].

本文給出了Banach代數(shù)中Zhou逆的一個新的加法性質(zhì).設a,b∈AZ.如果a2ba=0,ab2=0，證明了a+b∈AZ.然后將這些結果應用到算子矩陣上，研究了Banach代數(shù)上分塊算子矩陣的Zhou可逆性，獲得了新的Zhou可逆算子矩陣，由此刻畫了分塊算子矩陣的一類分解性質(zhì).

本文中，所有的Banach代數(shù)都是帶有單位元的復Banach代數(shù)，AZ表示所有A中的Zhou可逆元集合，N(A>)表示A中所有冪零元素的集合，aπ表示元素a∈AZ的譜冪等元1-aaZ.

1 Zhou逆的性質(zhì)

引理1設A是Banach代數(shù).如果a∈A，那么以下條件等價：

1)a∈AZ.

2)存在n∈，使得a-an+1∈N(A>).

證明由[6，定理4.1]即得.

引理2如果a,b∈AZ，ab=ba，那么ab∈AZ.

證明因為a,b∈AZ，有m,n∈使得a-an+1,b-bm+1∈N(A>)，從而

ab-(ab)mn+1=ab-amn+1bmn+1=(a-amn+1)b+amn+1(b-bmn+1)∈N(A>).

根據(jù)引理1，得ab∈AZ.

引理3設a∈A,n∈，則a∈AZ當且僅當an∈AZ.

證明?.根據(jù)a∈AZ，有m∈使得a-am+1∈N(A>).從而有

an-(an)m+1=an(1-amn)=an(1-am)[(am)n-1+(am)n-2+…+(am)2+am+1]=

an-1(a-am+1)[(am)n-1+(am)n-2+…+(am)2+am+1]∈N(A>).

根據(jù)引理1，可知an∈AZ.

?.由于an∈AZ，那么an-(an)m+1∈N(A>)，即an-an+mn∈N(A>)，從而an-1[a-amn+1]∈N(A>),故

[1-amn]n-1an-1[a-amn+1]∈N(A>).

所以[a-amn+1]n∈N(A>)，則存在k∈，有(a-amn+1)nk=0，由引理1即得a∈AZ.

下面把Drazin逆的Cline公式推廣到Zhou逆.

定理1設a,b∈A.如果ab∈AZ，則ba∈AZ.

證明因為ab∈AZ,存在m∈使得ab-(ab)m+1∈N(A>).因此存在k∈使得[ab-(ab)m+1]k=0.從而

[ba-(ba)m+1]k+1=ba(1-(ba)m)ba(1-(ba)m)…ba(1-(ba)m)ba(1-(ba)m)=

b[ab-(ab)m+1]ka[1-(ba)m]=0，

即ba-(ba)m+1∈N(A>).根據(jù)引理1可知ba∈AZ.

推論1設A∈Mm×n(A>),B∈Mn×m(A>).如果AB∈Mm×m(A>)Z，那么BA∈Mn×n(A>)Z.

證明假設m≥n，則有

再利用引理1即得BA∈Mn×n(A>)Z.

2 加法性質(zhì)

本節(jié)研究Banach代數(shù)中兩個元素和的Zhou可逆性.我們有

證明因為a,b∈AZ，從而存在m,n∈使得a-am+1,b-bn+1∈N(A>).因此，

a-amn+1=a[1-(am)n]=a(1-am)[1+am+(am)2+…+(am)n-1]=

(a-am+1)[1+am+(am)2+…+(am)n-1]，

所以a-amn+1∈N(A>).類似地，有b-bmn+1∈N(A>).因此，

引理5設A是Banach代數(shù)且a,b∈AZ.如果ab=0，則a+b∈AZ.

定理2設A是一個Banach代數(shù)且a,b,ab∈AZ.如果a2ba=0,ab2=0，則a+b∈AZ.

進一步，由a2ba=0,ab2=0可得

因此根據(jù)引理5，P+Q有Zhou逆，從而M2有Zhou逆.故M有Zhou逆，再利用推論1即得a+b∈AZ.

推論2設A是Banach代數(shù)，a,b∈AZ.如果ab2=0,aba=0，則a+b∈AZ.

證明根據(jù)條件可知a,b,ab∈AZ和a2ba=0,ab2=0.由定理2即可得.

定理3設A是一個Banach代數(shù)，且a,b,ab∈AZ.如果bab2=0,a2b=0，則a+b∈AZ.

由bab2=0,a2b=0，所以

因此根據(jù)引理5，P+Q有Zhou逆，從而M2有Zhou逆.故M有Zhou逆.利用推論1，可得a+b∈AZ.

推論3設A是Banach代數(shù)，a,b∈AZ.如果a2b=0,bab=0，則a+b∈AZ.

證明根據(jù)定理3可得.

如例1所示，定理2中條件比一般正交性條件更廣泛.

例1設A=2×2.取則a,b,ab∈AZ且有a2ba=0,ab2=0,但是a2b≠0.

證明因為

由于a-aaD=0,(b-bbD)2=0，因此有a,ab=b∈AZ.

3 算子矩陣Zhou逆

因此根據(jù)推論2可得M∈M2(A>)Z.

證明由定理4易得.

由推論2，可得M∈M2(A>)Z.

證明由定理5即得.

進一步有：

證明顯然，我們有

由定理1，P有Zhou逆.因為bdc=0,bd2=0，有

根據(jù)推論2，M=P+Q∈M2(A>)Z.

證明由bcb=0得(bc)2=0，所以bc∈AZ.因為bd=0，所以bdc=0,bd2=0.根據(jù)定理6即得.

證明因為a(bc)=(bc)a，所以aD(bc)=(bc)aD，故aZ(bc)=(bc)aZ.從而由引理2得bcaZ∈AZ.利用定理1可知，caZb∈AZ.設

顯然Q有Zhou逆.由caZb∈AZ,a(aZ)2=aZ和定理1，aaZbcaZ∈AZ.根據(jù)引理2，a2aZ∈AZ.注意到(a2aZ)(1+aaZbcaZ)=(1+aaZbcaZ)(a2aZ)，根據(jù)引理2，

a2aZ+aaZbcaZ=a2aZ(1+aZbcaZ)∈AZ，

a(bc)=(bc)a，所以aD(bc)=(bc)aD，故aaD(bc)=(bc)aaD.因此，

aπ(bc)=bc-aaD(bc)=bc-(bc)aaD=(bc)aπ.

由bc∈AZ,aπ∈AZ,知aπ(bc)∈AZ,從而caπb∈AZ.由定理4得PQ有Zhou逆.

已知aaπbc=0,abc=bca，可以驗證PQ2=0,

根據(jù)定理2推出

證明因為abc=0,bca=0，所以aaπbc=0,abc=bca.進一步有1+aZbcaZ=1+(aZ)2(abc)aZ=1∈AZ，由定理7即得.