王 濤，李 瑩，丁文旭，韋安麗

(聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東 聊城 252000)

0 引言

對于矩陣方法在多線性乃至非線性問題計算上的運(yùn)用，其矩陣表示是一個不可避開的關(guān)鍵問題.對此，程代展等給出了一個便捷的新工具——矩陣半張量積[1].矩陣半張量積是普通矩陣乘法的推廣，不僅消除了普通矩陣乘法在維數(shù)上的限制，并且具有比推廣前更好的性質(zhì)——偽交換性[1]，因此在有限博弈[2]、布爾網(wǎng)絡(luò)的分析與控制[3]、模糊系統(tǒng)分析與設(shè)計[4]、混合值邏輯網(wǎng)絡(luò)的控制與應(yīng)用[5]等許多問題的研究中起著重要的作用.本文將矩陣半張量積的應(yīng)用進(jìn)一步拓展到了求解具有特殊結(jié)構(gòu)的四元數(shù)Toeplitz線性系統(tǒng)

Ax=b

(1)

的計算問題中.

近年來，四元數(shù)矩陣在數(shù)學(xué)[6]、計算機(jī)軟件及計算機(jī)應(yīng)用[7]、航空航天科學(xué)與工程[8]、電信技術(shù)[9]等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，因此四元數(shù)和四元數(shù)矩陣的研究顯得愈發(fā)重要.本文將研究四元數(shù)體中的Toeplitz線性系統(tǒng).工程計算中的諸多問題最后都能歸結(jié)為線性系統(tǒng)的求解，Toeplitz線性系統(tǒng)的求解是其中非常重要的一類.例如，在圖像復(fù)原領(lǐng)域中，可以通過構(gòu)造特定結(jié)構(gòu)的循環(huán)矩陣，將退化模型逆求解轉(zhuǎn)化成Toeplitz線性系統(tǒng)的求解，然后基于Toeplitz線性系統(tǒng)的相關(guān)理論，給出模型逆求解的快速求解方法，使復(fù)原算法具有較高的運(yùn)算效率[10].Toeplitz線性系統(tǒng)的求解可采用直接法與迭代法進(jìn)行.直接法包括Zohar算法、Bareiss變換法、Akaike算法等[11].迭代法包括Michael針對Toeplitz矩陣的特殊結(jié)構(gòu)提出的循環(huán)與反循環(huán)分裂迭代法CSCS(將Toeplitz矩陣分裂為一個循環(huán)矩陣與一個反循環(huán)矩陣再進(jìn)行雙步迭代求解)[12]、基于CSCS的快速CSCS分裂迭代法(該方法能夠在一定條件下收斂于Toeplitz線性系統(tǒng)的唯一解)[13]，以及求解復(fù)線性系統(tǒng)的特殊Toeplitz解的矩陣半張量積方法[14].本文采用直接法，利用四元數(shù)的實向量表示與矩陣半張量積直接求解特殊結(jié)構(gòu)下的四元數(shù)Toeplitz線性系統(tǒng)，并用數(shù)值例子驗證了該方法的有效性.

1 預(yù)備知識

定義1[15]設(shè)x=x1+x2i+x3j+x4k∈Q，其中，xi∈(i=1,2,3,4)，且i,j,k滿足如下運(yùn)算法則：

i2=j2=k2=-1,ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j.

定義2[16]設(shè)A∈Rm×n，B∈Rp×q，n與p的最小公倍數(shù)為t=lcm(n,p)，則A與B的半張量積定義為

當(dāng)n=p時，矩陣半張量積轉(zhuǎn)化為普通矩陣乘法，因此矩陣半張量積是普通矩陣乘法的一個推廣，它保持了普通矩陣乘法的所有性質(zhì)，在矩陣相關(guān)的理論研究中是極其方便的.

引理1[16]設(shè)x∈Rm,y∈Rn，則x*y=x?y.

MF稱為F的結(jié)構(gòu)矩陣.

普通矩陣乘法有維數(shù)限制與不可交換性兩大弱點(diǎn)，由定義2可以看到，矩陣半張量積徹底克服了第一個弱點(diǎn).以下說明矩陣半張量積在一定程度上也可以克服第二個弱點(diǎn)，即具有一定程度的交換性.

定義4[16]定義換位矩陣W[m,n]∈Rmn×mn，

引理2[16]設(shè)x∈Rm,y∈Rn，則W[m,n]*x*y=y*x.

引理3[16]設(shè)x∈Rm,A∈Rm×n，則x*A=(Im?A)*x.

引理4[17]設(shè)A∈Rm×n，b∈Rm，當(dāng)且僅當(dāng)AA?b=b時，線性方程Ax=b有解，且通解表示形式為x=A?b+(In-A?A)y,?y∈Rn.

2 四元數(shù)矩陣的實向量表示

定義5設(shè)x=x1+x2i+x3j+x4k∈Q，其中xi∈，稱v(x)=(x1,x2,x3,x4)T為四元數(shù)x的實向量表示.

借助定義的四元數(shù)的實向量表示，可以將兩個四元數(shù)乘積的實向量表示轉(zhuǎn)化為兩個四元數(shù)實向量表示的矩陣半張量積運(yùn)算.

引理5[6]設(shè)x,y∈Q，則

v(xy)=MQ*v(x)*v(y)，

通過定義5，給出四元數(shù)行、列向量的實向量表示的定義.

定義6設(shè)x=(x1,x2,…,xn)∈Qn,y=(y1,y2,…,yn)T∈Qn，稱

v(x)=(v(x1),…,v(xn))T,v(y)=(v(y1),…,v(yn))T

為四元數(shù)向量x,y的實向量表示.

利用四元數(shù)向量的實向量表示，可以得到以下性質(zhì).

2)‖b‖=‖v(b)‖;

證明1)和2)簡單計算可得到，下面給出3)的證明.

v(ab)=v(a1b1+…+anbn)=v(a1b1)+…+v(anbn)=

MQ*v(a1)*v(b1)+…+MQ*v(an)*v(bn)=

類似地，定義出四元數(shù)矩陣的實向量表示.

定義7設(shè)A=(aij)∈Qm×n，定義Colj(A),Rowi(A)(j=1,…,n,i=1,…,m)為四元數(shù)矩陣A的第j列和第i行，則

稱為四元數(shù)矩陣A的實列排與實行排.

下面研究四元數(shù)矩陣的實向量表示的性質(zhì).

證明1)和2)容易驗證，僅對3)進(jìn)行證明.首先將矩陣A按行進(jìn)行分塊，即

3 問題1和2的代數(shù)解

本節(jié)將研究問題1和問題2的代數(shù)解.首先，根據(jù)四元數(shù)三對角Hermitian矩陣與三對角反Hermitian矩陣的特點(diǎn)，提取矩陣中的有效元素，記為獨(dú)立元素.通過矩陣的獨(dú)立元素的實向量表示給出矩陣的實向量表示，減小問題的計算規(guī)模.

(2)

(HH?-I4n)v(b)=0，

(3)

此時，通解x滿足表達(dá)式

TH={v(x)=H?v(b)+(I4n-H?H)y,?y∈R4n}，

(4)

其極小范數(shù)解xH滿足

v(xH)=H?v(b).

(5)

證明由定理1中性質(zhì)3)，可得

‖HH?Hv(x)-v(b)‖=‖HH?v(b)-v(b)‖=‖(HH?-I4n)v(b)‖，

即

‖Ax-b‖=0?‖(HH?-I4n)v(b)‖=0?(HH?-I4n)v(b)=0,

所以式(3)成立.對于實矩陣方程Hv(x)=v(b)，根據(jù)引理4，可以給出四元數(shù)矩陣方程(1)的通解表達(dá)式及極小范數(shù)解.從而，式(4)、(5)成立.

根據(jù)定理3與4，相似地，可以得到四元數(shù)三對角反Hermitian矩陣的性質(zhì)及問題2的答案.

TAH={x∈Qn|v(x)=W?v(b)+(I4n-W?W)y,?y∈R4n}，

(6)

其極小范數(shù)解xAH滿足

v(xAH)=W?v(b).

(7)

4 數(shù)值算法與算例

算例1在Matlab中，首先利用“rand”與“Toeplitz”函數(shù)隨機(jī)生成Toeplitz矩陣Ai、實向量xi(i=1,2,3,4)，再利用函數(shù)“Tril”與“Triu”生成三對角Toeplitz矩陣，最后利用“quaternion”工具包生成四元數(shù)向量x=x1+x2i+x3j+x4k和四元數(shù)三對角Hermitian(反Hermitian)矩陣：

從圖1可得，真實解與計算得到的解之間的誤差很小，說明此計算方法有效.

5 結(jié)論

基于矩陣半張量積，利用四元數(shù)矩陣的實向量表示方法將四元數(shù)上具有特殊結(jié)構(gòu)的Toeplitz線性系統(tǒng)Ax=b的問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)域上的相應(yīng)問題，給出了四元數(shù)Toeplitz線性系統(tǒng)相容時的充要條件及通解表達(dá)式，并通過給出的數(shù)值例子的誤差實驗來說明算法的有效性.