江蘇省江浦高級(jí)中學(xué)文昌校區(qū)(211800)於有海

“函數(shù)概念”是蘇教版《高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)》第五章的章起課,新版教科書(shū)刪去了老版中的“映射”一節(jié).這樣,以映射作為基礎(chǔ)來(lái)定義函數(shù)的概念就不再適用.對(duì)于這種新情況,我們的課堂教學(xué)該如何開(kāi)展? 筆者通過(guò)學(xué)習(xí)章建躍博士的“三個(gè)理解”,并結(jié)合“函數(shù)概念”的課堂教學(xué)實(shí)踐,收獲的心得是:根據(jù)學(xué)生認(rèn)知、思維的發(fā)展現(xiàn)狀,為他們提供有關(guān)聯(lián)的學(xué)習(xí)情境、設(shè)計(jì)合適的問(wèn)題,使他們頭腦中已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新知識(shí)進(jìn)行相互作用,并通過(guò)學(xué)生積極的思維活動(dòng)對(duì)新知識(shí)進(jìn)行理解,將新知識(shí)同化到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,或改變已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)以順應(yīng)新的知識(shí),從而形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)[1].

1 學(xué)生的現(xiàn)狀

1.1 函數(shù)知識(shí)現(xiàn)狀

函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念,對(duì)于高一學(xué)生來(lái)講,通過(guò)初中短暫的學(xué)習(xí),初步接納了“變量說(shuō)”的描述性函數(shù)概念.了解了函數(shù)的三種表示方法;了解了一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)等具體函數(shù)模型,并借助它們的圖象研究了這些函數(shù)的一些簡(jiǎn)單性質(zhì);沒(méi)有涉及到因兩個(gè)變量的取值范圍不同,會(huì)產(chǎn)生不同函數(shù)的問(wèn)題;初中所學(xué)的函數(shù)知識(shí),與代數(shù)式、方程等聯(lián)系緊密,多數(shù)學(xué)生認(rèn)為函數(shù)就是含有x和y的等式,而對(duì)“變量關(guān)系”、“對(duì)應(yīng)關(guān)系”等涉及函數(shù)本質(zhì)的內(nèi)容涉及較少.

1.2 思維發(fā)展現(xiàn)狀

初中學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展已實(shí)現(xiàn)由具體運(yùn)算向形式運(yùn)算過(guò)渡,但并未成熟,具體運(yùn)算思維仍在繼續(xù)發(fā)揮作用.當(dāng)學(xué)生進(jìn)入高中學(xué)習(xí),進(jìn)行更高級(jí)別的抽象思維活動(dòng)時(shí),仍要借助于具體運(yùn)算思維甚至是前運(yùn)算思維,即已有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)對(duì)他們學(xué)習(xí)新的知識(shí)仍是必不可少的,學(xué)生需要在教師的引導(dǎo)下,經(jīng)過(guò)有目的地、有規(guī)則地、長(zhǎng)期性地訓(xùn)練,才能真正有效的發(fā)展形式運(yùn)算,培養(yǎng)抽象思維,完善認(rèn)知結(jié)構(gòu),提升思維水平,為進(jìn)一步學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ).

2 基于學(xué)生現(xiàn)狀設(shè)計(jì)問(wèn)題的案例

以函數(shù)概念的課堂教學(xué)為例

問(wèn)題1初中時(shí)學(xué)過(guò)哪些函數(shù)? 請(qǐng)例舉幾個(gè).

高中為什么還要學(xué)函數(shù)概念:初中時(shí),學(xué)生已經(jīng)接觸到函數(shù),對(duì)它有了一定地感性認(rèn)識(shí),但對(duì)函數(shù)的概念已經(jīng)模糊,對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)僅僅局限于幾個(gè)常見(jiàn)的含有x和y關(guān)系的函數(shù)模型,約束了函數(shù)體系的形成,以及對(duì)函數(shù)性質(zhì)研究的進(jìn)一步開(kāi)展.問(wèn)題1 的設(shè)計(jì)是基于學(xué)生知識(shí)的現(xiàn)狀,既可以避開(kāi)回顧舊知的困難,又可以引起認(rèn)知的沖突,為進(jìn)一步建模和抽象埋下伏筆.下面是三個(gè)實(shí)例:

(1)一物體從靜止開(kāi)始下落,下落的距離y(單位:m)與下落時(shí)間x(單位:s)之間近似地滿足關(guān)系式y(tǒng)=4.9x2.

(2)GDP 即英文Gross Domestic Product 的縮寫(xiě),也就是國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值.它是宏觀經(jīng)濟(jì)中最受關(guān)注的經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)數(shù)字,因?yàn)樗徽J(rèn)為是衡量國(guó)民經(jīng)濟(jì)發(fā)展情況最重要的一個(gè)指標(biāo).

表1 某市2012 年——2020 年GDP(億元)

(3)圖1 為某市一天24 小時(shí)內(nèi)的氣溫變化.

問(wèn)題2三個(gè)實(shí)例是函數(shù)嗎? 請(qǐng)給出理由.

圖1

找到高中函數(shù)概念的生長(zhǎng)點(diǎn):問(wèn)題2 結(jié)合學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)和認(rèn)知特點(diǎn),以三個(gè)有真實(shí)背景的實(shí)例作為載體,提出相應(yīng)問(wèn)題.先通過(guò),引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用初中函數(shù)的概念判斷實(shí)例中的兩個(gè)變量為函數(shù)關(guān)系,體會(huì)函數(shù)的本質(zhì).再通過(guò),引發(fā)學(xué)生感知用集合表示變量取值范圍的特點(diǎn),這也是高中函數(shù)概念的生長(zhǎng)點(diǎn).再通過(guò)③,促使學(xué)生體會(huì)一個(gè)函數(shù)關(guān)系可以有不同的表達(dá)方式;體會(huì)并不是所有的函數(shù)都可以用解析式來(lái)表達(dá),與學(xué)生原有的認(rèn)知產(chǎn)生沖突(高中函數(shù)概念產(chǎn)生的必要性);體會(huì)用表格和圖象表達(dá)對(duì)應(yīng)關(guān)系的不可替代性,這也為后面歸納用字母f表示對(duì)應(yīng)關(guān)系埋下伏筆.最后通過(guò)④引領(lǐng)學(xué)生嘗試用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言清晰地表達(dá)函數(shù),進(jìn)而完成數(shù)學(xué)抽象的準(zhǔn)備工作.

問(wèn)題3①對(duì)問(wèn)題2 ④進(jìn)行歸納,你發(fā)現(xiàn)變量之間的函數(shù)關(guān)系有哪些共同特點(diǎn)?

②將由實(shí)例歸納出的共同屬性與初中函數(shù)概念進(jìn)行對(duì)比,你發(fā)現(xiàn)哪些變化?

③通過(guò)與問(wèn)題3 ②的對(duì)比,你能(用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言)重新給函數(shù)下定義?

④如何使用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)x,y和f之間的關(guān)系?

高中函數(shù)的概念是什么:基于學(xué)生在問(wèn)題1、2 的解決中獲得的經(jīng)驗(yàn),并結(jié)合學(xué)生的思維特點(diǎn).先通過(guò)①,引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地去除非本質(zhì)的東西,歸納出共同屬性:(1)自變量與因變量的取值范圍都可用兩個(gè)非空數(shù)集A,B表示;(2)兩個(gè)變量之間都有一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系f(可以是解析式、表格或圖象);(3)雖然對(duì)應(yīng)關(guān)系的表示方法不盡相同,但是都具有以下特征:對(duì)于數(shù)集A中的任意一個(gè)x,按照對(duì)應(yīng)關(guān)系f,在數(shù)集B中都有唯一確定的y與之對(duì)應(yīng).然而,由實(shí)例反映出的共同屬性,重新定義函數(shù),對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)依然是一個(gè)難點(diǎn).再通過(guò)②,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)共同屬性相對(duì)于初中函數(shù)概念有了幾處變化:(1)將“某一變化過(guò)程”抽象為“對(duì)應(yīng)關(guān)系f”;(2)將“兩個(gè)變量x與y”抽象為“兩個(gè)數(shù)”,將“兩個(gè)數(shù)的變化范圍”抽象為“兩個(gè)非空數(shù)集A,B”;(3)將“兩個(gè)數(shù)的對(duì)應(yīng)特點(diǎn)”抽象為“數(shù)集A中的任意一個(gè)x,按照對(duì)應(yīng)關(guān)系,在數(shù)集B中都有唯一確定的y與之對(duì)應(yīng)”,促使他們從集合與對(duì)應(yīng)的角度觀察已有認(rèn)知中的函數(shù),完成前后知識(shí)的同化和順應(yīng),進(jìn)而完成對(duì)③的回答,達(dá)到新的認(rèn)知平衡,形成新的函數(shù)概念自然語(yǔ)言表達(dá).為了實(shí)現(xiàn)函數(shù)概念的符號(hào)化(即④),可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)新的函數(shù)概念中x,y和f的邏輯關(guān)系進(jìn)行分析,即自變量x在對(duì)應(yīng)關(guān)系f的作用下,得到因變量y的值.這種邏輯關(guān)系可以用“y=f(x),x∈A”來(lái)表示.至此,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“實(shí)例——辨別——?dú)w納——聯(lián)系(對(duì)比)——抽象——定義——表征”的概念形成過(guò)程,完成了對(duì)高中函數(shù)概念的概括.

問(wèn)題4你認(rèn)為y=是函數(shù)嗎? 請(qǐng)說(shuō)明理由.

高中函數(shù)的概念有何用:再一次讓學(xué)生回答問(wèn)題1 中先前未能解決的問(wèn)題,既可以考查學(xué)生對(duì)新知的理解程度,促進(jìn)他們對(duì)函數(shù)本質(zhì)的把握,幫助他們積累運(yùn)用新知的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);又可以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用概念等“原始”知識(shí)解決陌生問(wèn)題的思維方式.這種從一般再次回到特殊的設(shè)計(jì)與問(wèn)題1 共同形成了一個(gè)閉環(huán).

3 回顧反思

3.1 基于認(rèn)知沖突,找準(zhǔn)問(wèn)題設(shè)計(jì)起點(diǎn),開(kāi)拓思維空間

學(xué)生從初中就開(kāi)始接觸到函數(shù),對(duì)函數(shù)的概念有了一定地感性認(rèn)識(shí),對(duì)函數(shù)的理性認(rèn)識(shí)也達(dá)到一定水平.因此,本節(jié)課應(yīng)從“數(shù)學(xué)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)狀態(tài)”入手,充分利用函數(shù)概念在初高中階段存在著的轉(zhuǎn)換關(guān)系,激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突,在學(xué)生認(rèn)知發(fā)展過(guò)程中自然而然地提出的問(wèn)題,激發(fā)學(xué)生將新知識(shí)和原有概念進(jìn)行認(rèn)知重構(gòu),整合進(jìn)原有知識(shí)結(jié)構(gòu)中.楊振寧先生曾指出,直覺(jué)與知識(shí)沖突時(shí)是學(xué)習(xí)的最好時(shí)機(jī).這充分說(shuō)明,教師基于學(xué)生的認(rèn)知沖突設(shè)計(jì)問(wèn)題,是激發(fā)學(xué)生探索未知事物的啟動(dòng)點(diǎn),是保持學(xué)生持續(xù)學(xué)習(xí)意愿和熱情的中繼動(dòng)力,是開(kāi)拓學(xué)生思維空間的最佳時(shí)機(jī).

3.2 基于知識(shí)生成,找準(zhǔn)問(wèn)題設(shè)計(jì)接點(diǎn),培養(yǎng)思維品質(zhì)

自然的課堂教學(xué)過(guò)程應(yīng)包括兩方面:一是前后知識(shí)的連貫性、生成性自然;二是學(xué)生思維過(guò)程性、基礎(chǔ)性自然.因此,教師在實(shí)施課堂教學(xué)之前,務(wù)必基于學(xué)生的發(fā)展現(xiàn)狀設(shè)計(jì)好問(wèn)題:從宏觀上為學(xué)生構(gòu)建前后一致、邏輯連貫的學(xué)習(xí)過(guò)程,使學(xué)生能“抬頭看路”,知道往哪里走,這是課堂教學(xué)的重要任務(wù);從微觀上,引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類(lèi)比、歸納,有序地完成知識(shí)的構(gòu)建,使學(xué)生能“埋頭思考”,理解知識(shí)的本質(zhì),這是知識(shí)生成的終極目標(biāo).教師通過(guò)這兩個(gè)層面設(shè)計(jì)問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)對(duì)函數(shù)概念的學(xué)習(xí),不僅深化了對(duì)函數(shù)概念的理解,也促進(jìn)了思維的細(xì)膩化.

3.3 基于思維規(guī)律,找準(zhǔn)問(wèn)題設(shè)計(jì)落點(diǎn),提升思維層次

培養(yǎng)學(xué)生的思維,首先要了解學(xué)生的思維規(guī)律及所處的階段,只有深入了解學(xué)生的思維規(guī)律及所處的階段,才能知道如何設(shè)計(jì)適合的問(wèn)題來(lái)引導(dǎo)學(xué)生的思維活動(dòng),有的放矢地進(jìn)行課堂教學(xué).通過(guò)函數(shù)概念課堂教學(xué)的問(wèn)題設(shè)計(jì),筆者認(rèn)為,教師要認(rèn)識(shí)到學(xué)生思維發(fā)展的規(guī)律,要尊重學(xué)生現(xiàn)有的思維發(fā)展水平,并以此為依據(jù),制訂相應(yīng)的教學(xué)流程和確定問(wèn)題設(shè)計(jì)的落點(diǎn),以激起學(xué)生認(rèn)知上的不平衡,促使新舊知識(shí)相互作用,通過(guò)同化或順應(yīng),使學(xué)生達(dá)到新的認(rèn)知平衡,從而獲得新知,提升學(xué)生思維的層次.眾所周知,函數(shù)概念的抽象性和推理論證的邏輯性,歷來(lái)是培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力的最好載體.