華南師范大學(xué)附屬中學(xué)(510630)洪喆慧

1 案例背景

林崇德先生提出,思維型課堂教學(xué)的基本原理是認(rèn)知沖突、自主建構(gòu)、自我監(jiān)控、應(yīng)用遷移.課堂教學(xué)要求明確教學(xué)目標(biāo)、突出知識形成過程、聯(lián)系已有的知識經(jīng)驗、重視非智力因素的培養(yǎng)、訓(xùn)練學(xué)生的思維品質(zhì)、創(chuàng)設(shè)良好的教學(xué)情境、因材施教.本案例主要基于在課堂中應(yīng)用多種不同教學(xué)方法、融合多學(xué)科知識的原則探索思維型課堂.

費馬點問題不僅僅是一種問題模型,更是一種思想方法,以數(shù)學(xué)文化和實際問題為背景,吸引學(xué)生探究這類線段和的最小值,在探究過程中,通過對一個問題的深入研究,弄清楚一類的問題,提升學(xué)生的思維水平.

2 案例分析

“費馬點”是最短路徑問題,人教版教材中沒有特別出現(xiàn)這一章節(jié).本堂課基于初中基礎(chǔ)較好的學(xué)生進(jìn)行專題拓展內(nèi)容.幫助學(xué)生解決這一類線段和的最值問題.本課例通過先猜想后論證的方法得出費馬點的結(jié)論,再通過加權(quán)費馬點的拓展,達(dá)到舉一反三的效果.

本課的教學(xué)目標(biāo)和重難點為:知識與技能目標(biāo):掌握費馬點的論證過程以及加權(quán)費馬點時的求解情況.

過程與方法目標(biāo):通過實驗、觀察、猜想、論證、拓展的探究思路,體會先猜想后論證的數(shù)學(xué)思想方法,從一道問題拓展開,培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的數(shù)學(xué)思維.

情感態(tài)度與價值觀目標(biāo):用生活中的實例和動手操作引發(fā)學(xué)生興趣,激起學(xué)生的探究欲望,培養(yǎng)對數(shù)學(xué)的熱愛.

教學(xué)重點:費馬點與加權(quán)費馬點的求解.

教學(xué)難點:費馬點的探究過程以及加權(quán)費馬點的求解.

3 教學(xué)過程

3.1 情境引入

某城市有三處地鐵站呈銳角三角形分布,現(xiàn)在某廠商要舉行推廣活動,希望能盡可能吸引更多的顧客,為了使活動地點到三個地鐵站都盡可能近,也就是三個地鐵站離活動地點的距離總和最小,該活動地點選在什么位置比較合適?

數(shù)學(xué)問題:在銳角三角形ABC中,找到一點P,使得PA+PB+PC最小.

歷史故事:17 世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家費馬(Fermat)曾在一封寫給托里拆利(Torricelli)的信中提出一個問題:“對于任意一個三角形,是否存在一個點,它到三個頂點的距離之和最小.”托里拆利成功解決了這個問題,這個點后被稱為費馬點或托里拆利點.

設(shè)計意圖從生活中的問題引入,通過創(chuàng)設(shè)一定的情境,激發(fā)學(xué)生的興趣,讓學(xué)生感受到知識,培養(yǎng)對知識的感情,進(jìn)而發(fā)揮主觀能動性,去積極地認(rèn)識和建構(gòu)外在客觀世界.這里將生活中的問題抽象成數(shù)學(xué)問題,并且融入數(shù)學(xué)史的文化背景,提升學(xué)生的概括表達(dá)能力,激起對數(shù)學(xué)的興趣.

3.2 新知探究

探究1實驗探究

在水平面上的銳角三角形ABC的三個頂點A,B,C處各掛一根繩,繩的一頭系上質(zhì)量均為m的小球,另一頭系于P點,構(gòu)造理想的機械能守恒的物理系統(tǒng).實驗如圖1.

在展臺上展示實驗,引導(dǎo)同學(xué)們觀察,

(2)手動改變點P的位置,測量出此時PA+PB+PC的大小;

(3)比較(1)與(2)中測量的長度大小關(guān)系,(2)松手后,觀察點P是否落回(1)中的位置.

結(jié)果及證明

(1)中測量可得,∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,由于小球質(zhì)量相同且PA、PB、PC三個方向的繩拉力大小相同,根據(jù)物理的平衡原理,這一系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時,三條繩子兩兩夾角為120°;

(2)改變點P的位置,測量的幾次結(jié)果都比(1)的大,且松手后,點P落回(1)中的位置.

設(shè)三條繩子的總長度為L,水平平面ABC為零勢能面,當(dāng)系統(tǒng)處于平衡時,勢能Ep=-mg(h1+h2+h3)=-mg(L-PA-PB -PC),根據(jù)物理知識可得,平衡狀態(tài)下,系統(tǒng)的勢能取到極小值,即PA+PB+PC取最小值.

設(shè)計意圖這一環(huán)節(jié)的設(shè)計與物理實驗相融合,從動手操作實驗的角度引導(dǎo)同學(xué)們通過動手和觀察發(fā)現(xiàn)當(dāng)∠APB=∠BPC=∠CPA=120°時,系統(tǒng)處于平衡狀態(tài),此時勢能取到極小值.激起同學(xué)們的興趣.培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力,動手能力,實踐能力.

探究2幾何畫板探究

當(dāng)軸流泵以106 r/min的轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)時，空泡水筒試驗段進(jìn)口處的平均流速為4 m/s，中心截面(y=0)處的速度場分布見圖5。由圖5可知，擴散段下游和導(dǎo)流片①D下游均產(chǎn)生了流動分離。水流經(jīng)過導(dǎo)流片①C之后，其速度幅值沿z軸的分布較不均勻，此時軸流泵工作于非均勻流場中，但軸流泵處于水筒底部，壓力較大，葉片未發(fā)生空化。軸流泵下游存在旋轉(zhuǎn)流，速度分布較不均勻，導(dǎo)流片①B附近產(chǎn)生劇烈的流動分離，湍動能較大。

探究1 中手動的測量有限個點,不一定非常精確,可以再次通過幾何畫板的模擬任意點的情況引導(dǎo)同學(xué)們觀察結(jié)果.

如圖2,在幾何畫板中,測量出∠APB、∠BPC、∠CPA的精確度數(shù)以及PA+PB+PC的長度,移動點P的位置,對比度數(shù)與長度的關(guān)系,發(fā)現(xiàn)當(dāng)∠APB=∠BPC=∠CPA=120°時,PA+PB+PC的長度最小.點P移動到其他任意位置時,PA+PB+PC都比夾角為120°時大.

猜想當(dāng)∠APB=∠BPC=∠CPA=120°時,PA+PB+PC的長度最小.

探究3幾何證明

經(jīng)過探究1 的物理模擬和探究2 的軟件模擬,可以猜想,當(dāng)∠APB=∠BPC=∠CPA=120°時,PA+PB+PC的長度最小.請同學(xué)分成小組討論幾個問題:(1)如何證明?(2)如何準(zhǔn)確的找到這一點? (3)這一結(jié)論是否對所有的三角形都通用? 如果不是,對什么三角形適用? 其他的三角形是否存在這樣的費馬點?

提示線段和的最值問題可以通過轉(zhuǎn)移線段優(yōu)化圖形,使得三條線段在同一條直線上,120°是一個特殊角度,可以提示我們?nèi)绾芜M(jìn)行變換?

解析

(1)證明一如圖3,將ΔAPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到ΔA′P′C,則AP=A′P′,ΔCPP′為等邊三角形,則CP=PP′,PA+PB+PC=P′A′+PB+PP′,當(dāng)A′、P′、P、B共線時,P′A′+PB+PP′最小,即PA+PB+PC最小.

當(dāng)∠APB=∠BPC=∠CPA=120°時,A′、P′、P、B共線,得證.

證明二如圖4,過點A作FG⊥PA,過點B作EF⊥PB,過點C作EG⊥PC,三條線分別交于點E、F、G.∵FG⊥PA,EF⊥PB,∴A、P、B、F四點共圓,∵∠APB=120°,∴∠F=60°,同理,∠E=∠G=60°,ΔEFG是等邊三角形.

設(shè)點E到FG的距離為h,則

在ΔABC內(nèi)取異于點P的的一點H,過點H作HM⊥FG,HN⊥EF,HQ⊥EG,則h=PA+PB+PC=HM+HN+HQ,∵HA＞MH,HB＞HN,HC＞HQ,∴HA+HB+HC＞PA+PB+PC,∴當(dāng)∠APB=∠BPC=∠CPA=120°時,PA+PB+PC的長度最小.

(2)如圖5,分別以AC、AB為邊作等邊ΔAA′C,ΔAA′′B,A′B與A′′C的交點即為費馬點.

(3)根據(jù)(2)中的作圖規(guī)則,當(dāng)∠BAC大于120°時,交點將落在ΔABC外,此時點P與點A重合時,點P為費馬點.

證明設(shè)∠BAC≥120°,如圖6,將ΔABP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至ΔAB′P′,使得B′、A、C三點共線,∵ΔB′AP′∽=ΔBAP,∴AP′=AP,∴∠AP′P=∠APP′,∵旋轉(zhuǎn)角為∠BAC的補角,∴∠P′AP≤60°,∴∠AP′P≥60°,∴∠AP′P≥∠P′AP,∴AP≥PP′,∴PA+PB+PC≥PP′+B′P′+PC≥B′C.當(dāng)點P與點A重合時,PA+PB+PC=B′C.故三角形中大于等于120°的內(nèi)角頂點就是最小點.

設(shè)計意圖先猜想后證明是數(shù)學(xué)中常用的思想方法,探究3 通過幾道思考題讓同學(xué)們互相討論,激起思維的火花,再與同學(xué)們分享,教師點撥,幫助同學(xué)們在探討過程當(dāng)中更加深入理解這一知識.

這些探究是學(xué)生自主建構(gòu)知識的過程,運用觀察和實驗來展示有關(guān)事物的發(fā)生、發(fā)展和變化的現(xiàn)象和過程、聯(lián)系學(xué)生已學(xué)知識進(jìn)行教學(xué).在課堂教學(xué)中,三個探究注重與學(xué)生之間的互動,學(xué)生動手、觀察、討論等,教師與學(xué)生之間,學(xué)生與學(xué)生之間發(fā)生具有促進(jìn)性的相互影響、相互作用,通過師生互動、生生互動、思維互動、情感互動、行為互動,使得課堂更活躍.

3.3 例題講解

例1 如圖7,在ΔABC中,∠ABC=30°,BA=6,BC=8,點P為ΔABC內(nèi)部的一點,則PA+PB+PC的最小值為____.

解如圖7-1,將ΔAPB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到ΔA′P′B,則PA+PB+PC=A′P′+PP′+CP≥A′C,∵BA′=BA=6,BC=8,∠A′BC=90°,∴A′C=10,∴PA+PB+PC的最小值為10.

例2(改變一條線段的權(quán)重)如圖8,在ΔABC中,∠ABC=30°,BA=6,BC=8,點P為ΔABC內(nèi)部的一點,則PA++PC的最小值為____.

思考當(dāng)改變一條線的權(quán)重時,通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造與之相對應(yīng)的三角形,使旋轉(zhuǎn)之后的一條邊與原來的邊成對應(yīng)的比例.

例3(改變兩條線段的權(quán)重使之三條邊的系數(shù)構(gòu)成特殊直角三角形)如圖9,在ΔABC中,∠ABC=30°,BA=6,BC=8,點P為ΔABC內(nèi)部的一點,則的最小值為____.

思考觀察到PC前的系數(shù)不變,且PA,PB,PC的系數(shù)可以構(gòu)成含60°角的直角三角形,可以考慮旋轉(zhuǎn)ΔAPB.(若PB前的系數(shù)不變,考慮旋轉(zhuǎn)ΔAPC.)

思考構(gòu)成直角三角形,可將其中一條邊的系數(shù)轉(zhuǎn)化為1,參考例3 的方法進(jìn)行進(jìn)行求解.但注意與例3 不同,本例中PB的系數(shù)最大,注意旋轉(zhuǎn)角度的區(qū)別.

設(shè)計意圖這部分主要采用同學(xué)板演,同學(xué)互評,教師評價的方式進(jìn)行.掌握了費馬點的原理,對費馬點進(jìn)行拓展探究.首先從新知探究中已經(jīng)得到的結(jié)論對1:1:1 的系數(shù)關(guān)系求解,當(dāng)場檢驗同學(xué)們的掌握程度,接著一步步改變系數(shù)利用旋轉(zhuǎn)+位似進(jìn)行求解,培養(yǎng)同學(xué)們舉一反三的能力,從而不斷加深對費馬點的理解與應(yīng)用.

例1 是對新知識的自我監(jiān)控與評價,加深對知識的理解,例2-例4 改變問題的模式,無法直接用新知識去解決,需要變式,是對新知識的應(yīng)用遷移,對新知的掌握和靈活運用,找到內(nèi)在的規(guī)律,總結(jié)一題多變,多題歸一的方法,從1:1:1的系數(shù)類比到不同類型的系數(shù)之比,對學(xué)生提高思維能力具有重要的作用.培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

3.4 課堂小結(jié)

本節(jié)課學(xué)習(xí)主要內(nèi)容:

①求到三角形三個頂點距離之和最短的點(費馬點),以及求解最短距離方法;

②改變費馬點的三條邊的權(quán)重,求解最短距離的方法,旋轉(zhuǎn)+位似.

3.5 課后作業(yè)

如圖11,在ΔABC中,∠ABC=30°,BA=6,BC=8,點P為ΔABC內(nèi)部的一點,則

設(shè)計意圖課后作業(yè)的(1)(2)是對學(xué)生課堂知識的檢驗,(3)是逆向思維的發(fā)展,(4)拓展到一般情況,培養(yǎng)學(xué)生的類比歸納能力,安排選做讓學(xué)有余力的學(xué)生繼續(xù)思考,這幾個課后作業(yè)的設(shè)計,檢測學(xué)生的學(xué)習(xí)效果,對本堂課進(jìn)行反饋.

4 教學(xué)反思

“費馬點”問題是對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本解題方法和基本數(shù)學(xué)思想的融合、滲透,真正提升了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.“費馬點”問題不但能夠讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的趣味性,同時還能夠讓學(xué)生真正理解和掌握基礎(chǔ)知識、基本方法,形成思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、發(fā)散性和靈活性.

從猜想到論證,從特殊到一般,采用實驗操作、多媒體演示、小組討論、學(xué)生演示、教師講授、講練結(jié)合等教學(xué)方法,將費馬點的思想滲透到學(xué)生的腦海中,幫助他們對這類的幾何最值有更深層次的掌握.

本節(jié)課先創(chuàng)設(shè)問題情境,學(xué)生此前接觸的是將軍飲馬、胡不歸、阿氏圓等兩條線段之和的最值問題,現(xiàn)在是三角形內(nèi)部的三條線段之和,產(chǎn)生認(rèn)知沖突,激發(fā)學(xué)生的積極思維.從動手實驗的物理解釋到幾何畫板的計算機演示再到數(shù)學(xué)的推理論證,這些過程將多種學(xué)科性質(zhì)融合激發(fā)學(xué)生的探究欲望,探究過程注重師生互動和生生互動,思維互動,在知識形成的過程中,學(xué)生自主探究,一步一步將問題深入,最后將多種情況歸一成同樣的方法總結(jié),形成認(rèn)知結(jié)構(gòu),培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.