皮榮嬌 胡麗金

（黔東南民族職業(yè)技術(shù)學(xué)院 貴州 凱里 556000）

引言

微分中值定理包括的內(nèi)容很多，本文旨在高職數(shù)學(xué)大綱內(nèi)的三個微分中值定理，其包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理和羅爾中值定理，這些定理利用導(dǎo)數(shù)來探究函數(shù)的性態(tài)[1]。通過分析2010年以來貴州省的數(shù)學(xué)專升本考試題，發(fā)現(xiàn)羅爾中值定理和拉格朗日中值定理出現(xiàn)的頻率比較高；但是，在高職數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，學(xué)生面對微分中值定理的應(yīng)用處于迷茫的狀態(tài)，筆者認(rèn)真分析高職學(xué)生應(yīng)用知識點(diǎn)存在的問題，針對問題提出解決困難的策略，從而提升高職學(xué)生應(yīng)用微分中值定理的信心。

1.微分中值定理的內(nèi)容

1.1 三個微分中值定理之間的相同條件

拉格朗日中值定理、柯西中值定理和羅爾中值定理有兩個相同的條件，一個條件是要求函數(shù)在給定的閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，另一個條件是要求函數(shù)在給定的開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)；學(xué)生應(yīng)用微分中值定理的前提學(xué)會判斷這兩個條件成立。

1.2 三個微分中值定理的差異性條件

拉格朗日中值定理達(dá)到上述兩個條件要求便得出結(jié)論，在（a,b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ使得f（b）-f（a）=f'（ξ）（b-a）；對于羅爾定理而言，其滿足上述兩個條件的基礎(chǔ)上還另外增加一個條件，即函數(shù)在閉區(qū)間端點(diǎn)值相等，得出結(jié)論為：有一點(diǎn)ξ在開區(qū)間（a,b）內(nèi)使得f'（ξ）=0；對于柯西中值定理而言，兩個函數(shù)f（x）和g（x）同時滿足上述兩個條件的情況下，加上一個條件g'（x）≠0，其結(jié)論為：在（a,b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得[2]。

2.微分中值定理在歷年專升本考試題型分析

2022年貴州省專升本數(shù)學(xué)考試第17題，函數(shù)y=arctanx在[0,1]上滿足拉格朗日中值定理的ξ=_______。

2020年貴州省專升本數(shù)學(xué)考試第7題，在閉區(qū)間[-1,1]滿足羅爾中值定理的函數(shù)是（ ）

2015年貴州省專升本數(shù)學(xué)考試第26題，用拉格朗日中值定理證明不等式：

貴州省專升本數(shù)學(xué)考試中，微分中值定理從2012年到2015年都是以證明題型的形式出現(xiàn)，2016年到2020年這幾年又不出現(xiàn)在考試題目中，到2020年以選擇題的形式出現(xiàn)，到2022年以填空題的形式出現(xiàn)，說明微分中值定理的應(yīng)用在專升本考試中有很高地位。

3.高職學(xué)生在應(yīng)用微分中值定理存在的問題

例1：函數(shù)y=arctanx在[0,1]上滿足拉格朗日中值定理的ξ=_______

首先，要求解例1學(xué)生要根據(jù)滿足拉格朗日中值定理的條件來分兩步進(jìn)行。第一步是判斷函數(shù)在閉區(qū)間上的連續(xù)性，這個步驟還得考慮函數(shù)連續(xù)的三個條件：①函數(shù)在所給定的區(qū)間內(nèi)有定義（或者有意義）；②函數(shù)在所給定的區(qū)間上存在極限，如果出現(xiàn)分段函數(shù)，還得判斷分段點(diǎn)處的左右極限值；③函數(shù)在其給定區(qū)間的極限值和函數(shù)值相等。在高職數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，學(xué)生面對第一條件出現(xiàn)以下幾個問題：（1）學(xué)生不能準(zhǔn)確的判斷函數(shù)的定義域，或者忽略導(dǎo)致函數(shù)不連續(xù)的點(diǎn)；（2）學(xué)生不能準(zhǔn)確的求解函數(shù)的左右極限，所以可能得出極限不存在的結(jié)論，導(dǎo)致無法繼續(xù)完成題目；（3）學(xué)生不能準(zhǔn)確判斷函數(shù)對應(yīng)的定義域，求解出來的函數(shù)值可能出現(xiàn)錯誤，導(dǎo)致函數(shù)值和極限值不相等，從而得出不連續(xù)的結(jié)論。

其次，滿足拉格朗日中值定理的第二個步驟是判斷函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)是否可導(dǎo)，學(xué)生在這一步碰到問題是能否正確求出一階導(dǎo)數(shù)，從而得出可導(dǎo)的結(jié)論，否則將無法繼續(xù)完成證明。

最后，在解決第一步判斷連續(xù)性和第二步求解導(dǎo)數(shù)以后，學(xué)生根據(jù)拉格朗日中值公式來計算ξ值，根據(jù)f（b）-f（a）=f'（ξ）（b-a）求解出ξ值。這個過程學(xué)生出現(xiàn)的問題有：（1）f（b）-f（a）求解過程出錯，導(dǎo)致得出的ξ值不準(zhǔn)確；（2）f'（ξ）求解過程需要學(xué)生非常熟練函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求解方法，一旦學(xué)生在求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)過程把握不夠，就會求解出不準(zhǔn)確的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)致所求的ξ值不準(zhǔn)確。

例2：在閉區(qū)間[-1,1]滿足羅爾中值定理的函數(shù)是（ ）

首先，例2能夠順利解決，學(xué)生要掌握滿足羅爾中值定理的幾個條件。第一和第二個條件和拉格朗日中值定理的條件相同。我們的學(xué)生在判斷函數(shù)的連續(xù)和可導(dǎo)上面會出現(xiàn)一些問題，如例1所述的情況。其次，羅爾中值定理的第三個條件是要求定義域端點(diǎn)處的函數(shù)值要相等，這個求解過程學(xué)生常出現(xiàn)的問題是端點(diǎn)函數(shù)值計算錯誤等。最后，根據(jù)羅爾中值定理公式f'（ξ）=0求解出ξ的值。學(xué)生存在的問題則是不能準(zhǔn)確求解ξ，由于學(xué)生對函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)求解過程掌握不夠。

例3：用拉格朗日中值定理證明不等式：

證明：由已知b＞a＞0，假設(shè)f（x）=1nx，x∈（a,b），

顯然，函數(shù)f（x）=1nx在[a,b]上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，其滿足拉格朗日中值定理，

則至少存在一點(diǎn)ξ∈（a,b）使得

又ξ∈（a,b），且b＞a＞0

綜上，當(dāng)b＞a＞0時，得證

拉格朗日中值定理在貴州省專升本數(shù)學(xué)考試中以證明題型高頻出現(xiàn)，如2012年到2015年的證明題。在使用拉格朗日中值定理求解證明題型過程中，高職學(xué)生會出現(xiàn)怎樣突出的問題，以下將以例3為案例，分析學(xué)生易出現(xiàn)的問題。

首先，通過題目的所需要證明的結(jié)論來假設(shè)輔助函數(shù)。這一步要求學(xué)生能夠通過題目的結(jié)論來推導(dǎo)所需函數(shù)，從而假設(shè)函數(shù)。學(xué)生常見的問題是：學(xué)生缺乏逆向思維，通過題目的結(jié)論很難得出所需要的函數(shù)，如果學(xué)生做不到逆推過程，那么這道題目直接無從下手。

其次，拉格朗日中值定理的證明題型一般表現(xiàn)為不等式的證明。例3從表面看是比較三個式子的大小，實(shí)質(zhì)上是函數(shù)單調(diào)性的求解，學(xué)生本來對函數(shù)的一階求導(dǎo)掌握不夠，再加上部分題目可能一階導(dǎo)數(shù)無法判斷單調(diào)性，還得進(jìn)行二階三階求導(dǎo)。那么學(xué)生在這一步的問題比較突出的方面是：不能準(zhǔn)確的求解一階導(dǎo)數(shù)，或者求解一階導(dǎo)數(shù)以后發(fā)現(xiàn)無法判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而放棄題目證明。

最后，利用拉格朗日中值定理對構(gòu)造的輔助函數(shù)進(jìn)行變形，完成題目的證明過程。學(xué)生解決了構(gòu)造輔助函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的證明，卻面臨著如何使用拉格朗日中值來求確定不等式的方向，這一步學(xué)生存在的問題是：（1）不易推導(dǎo)出證明結(jié)論所需要的公式，而這個公式來自拉格朗日中值公式的變形。（2）易忽視ξ∈（a,b）這條件。學(xué)生集中注意力在中值定理的應(yīng)用，卻總是忘記ξ∈（a,b）這個條件中隱含著不等式a＜ξ＜b，導(dǎo)致無法完成題目的證明。

4.提升高職學(xué)生應(yīng)用微分中值定理解決問題的策略

4.1 理解三個微分中值定理的內(nèi)容

通過分析三個微分中值定理的相同條件和差異性條件來掌握知識點(diǎn)的關(guān)系。羅爾中值定和其他中值定理不同之處是區(qū)間端點(diǎn)處有f（a）=f（b），這個條件很容易從三個中值定理中區(qū)別開來；柯西中值定理則是判斷兩個函數(shù)的關(guān)系，又從三個中值定理中獨(dú)立出來；這三個中值定理從條件上看上去相似，但是他們得出的結(jié)論卻又不同。這三個定理共同點(diǎn)是要求所求函數(shù)滿足給定區(qū)間上的連續(xù)性和可導(dǎo)性，這就要求學(xué)生要從函數(shù)的定義、極限的存在情況、導(dǎo)數(shù)的存在情況、函數(shù)的連續(xù)情況進(jìn)行分析；學(xué)生要能夠應(yīng)用微分中值定理，首要任務(wù)是深刻認(rèn)識這三個定理的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，好為下一步應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

4.2 準(zhǔn)確判斷函數(shù)的定義域

4.3 準(zhǔn)確求解函數(shù)的極限

4.4 準(zhǔn)確判斷函數(shù)的可導(dǎo)性

分析例2的C選項(xiàng)，函數(shù)f（x）=|x|，x∈[-1,1]是否可導(dǎo)。由于函數(shù)f（x）=|x|，x∈[-1,1]是分段函數(shù)，分別是f（x）=-x，x∈[-1,0）和f（x）=x，x∈（0,1]，發(fā)現(xiàn)函數(shù)在x=0處的和，得出函數(shù)在x=0處不可導(dǎo)，使得函數(shù)不能滿足羅爾中值定理。

4.5 正確記憶微分中值定理相關(guān)公式

例1：函數(shù)y=arctanx在[0,1]上滿足拉格朗日中值定理的ξ=（ ）

已知條件是函數(shù)y=arctanx在[0,1]上已經(jīng)滿足拉格朗日中值定理，那么這個過程就不需要判斷滿足拉格朗日中值的幾個條件，而是直接應(yīng)用結(jié)論來解題，存在一點(diǎn)ξ∈[0,1]使得，而則總結(jié):這個過程學(xué)生不能因?yàn)橛洃浳⒎种兄刀ɡ硐嚓P(guān)公式錯誤，而導(dǎo)致所求的ξ值錯誤。

4.6 準(zhǔn)確的構(gòu)造輔助函數(shù)

例3的證明過程和存在的問題已經(jīng)的第3點(diǎn)闡述，通過例3我們總結(jié)如下：如果使用微分中值定理證明不等式，那么需要根據(jù)微分中值定理的幾個公式進(jìn)行變成，從而得到所證結(jié)論。這個過程，學(xué)生需要足夠的耐心，嘗試對所求不等式進(jìn)行四則運(yùn)算的變形，從而得出題干需要的輔助函數(shù)，得出輔助函數(shù)以后，還要進(jìn)行假設(shè)性證明，假設(shè)輔助函數(shù)是正確的，利用已知條件對證明結(jié)論進(jìn)行證明，這個時候就會出現(xiàn)兩種情況，假設(shè)輔助函數(shù)正確或者錯誤。如果假設(shè)的輔助函數(shù)正確，那么學(xué)生能夠推導(dǎo)出題目中的結(jié)論，如果假設(shè)的輔助函數(shù)錯誤，那么學(xué)生推導(dǎo)出來的結(jié)論和題目不符合。

結(jié)語

通過貴州省2010年到2022年的專升本數(shù)學(xué)考試題目看，微分中值定理以不同類型題目出現(xiàn)。但是無論題型如何變化，微分中值定理的理論基礎(chǔ)不變，所以，學(xué)生想要讓自己這部分知識的應(yīng)用水平提高，學(xué)生要能夠明確羅爾中值定理等這幾個中值定理的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，從知識點(diǎn)的相同條件去找可能考試的點(diǎn)和題型，從知識點(diǎn)的差異性條件去考慮可能出現(xiàn)的難點(diǎn)，這些難點(diǎn)是什么，如何克服難點(diǎn)，從而讓學(xué)生真正意義理解和掌握微分中值定理的應(yīng)用。