亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        高職數(shù)學(xué)專升本考試中微分中值定理的應(yīng)用

        2022-12-02 08:22:16皮榮嬌胡麗金
        今天 2022年21期
        關(guān)鍵詞:學(xué)生

        皮榮嬌 胡麗金

        (黔東南民族職業(yè)技術(shù)學(xué)院 貴州 凱里 556000)

        引言

        微分中值定理包括的內(nèi)容很多,本文旨在高職數(shù)學(xué)大綱內(nèi)的三個微分中值定理,其包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理和羅爾中值定理,這些定理利用導(dǎo)數(shù)來探究函數(shù)的性態(tài)[1]。通過分析2010年以來貴州省的數(shù)學(xué)專升本考試題,發(fā)現(xiàn)羅爾中值定理和拉格朗日中值定理出現(xiàn)的頻率比較高;但是,在高職數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,學(xué)生面對微分中值定理的應(yīng)用處于迷茫的狀態(tài),筆者認(rèn)真分析高職學(xué)生應(yīng)用知識點(diǎn)存在的問題,針對問題提出解決困難的策略,從而提升高職學(xué)生應(yīng)用微分中值定理的信心。

        1.微分中值定理的內(nèi)容

        1.1 三個微分中值定理之間的相同條件

        拉格朗日中值定理、柯西中值定理和羅爾中值定理有兩個相同的條件,一個條件是要求函數(shù)在給定的閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),另一個條件是要求函數(shù)在給定的開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);學(xué)生應(yīng)用微分中值定理的前提學(xué)會判斷這兩個條件成立。

        1.2 三個微分中值定理的差異性條件

        拉格朗日中值定理達(dá)到上述兩個條件要求便得出結(jié)論,在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a);對于羅爾定理而言,其滿足上述兩個條件的基礎(chǔ)上還另外增加一個條件,即函數(shù)在閉區(qū)間端點(diǎn)值相等,得出結(jié)論為:有一點(diǎn)ξ在開區(qū)間(a,b)內(nèi)使得f'(ξ)=0;對于柯西中值定理而言,兩個函數(shù)f(x)和g(x)同時滿足上述兩個條件的情況下,加上一個條件g'(x)≠0,其結(jié)論為:在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ,使得[2]。

        2.微分中值定理在歷年專升本考試題型分析

        2022年貴州省專升本數(shù)學(xué)考試第17題,函數(shù)y=arctanx在[0,1]上滿足拉格朗日中值定理的ξ=_______。

        2020年貴州省專升本數(shù)學(xué)考試第7題,在閉區(qū)間[-1,1]滿足羅爾中值定理的函數(shù)是( )

        2015年貴州省專升本數(shù)學(xué)考試第26題,用拉格朗日中值定理證明不等式:

        貴州省專升本數(shù)學(xué)考試中,微分中值定理從2012年到2015年都是以證明題型的形式出現(xiàn),2016年到2020年這幾年又不出現(xiàn)在考試題目中,到2020年以選擇題的形式出現(xiàn),到2022年以填空題的形式出現(xiàn),說明微分中值定理的應(yīng)用在專升本考試中有很高地位。

        3.高職學(xué)生在應(yīng)用微分中值定理存在的問題

        例1:函數(shù)y=arctanx在[0,1]上滿足拉格朗日中值定理的ξ=_______

        首先,要求解例1學(xué)生要根據(jù)滿足拉格朗日中值定理的條件來分兩步進(jìn)行。第一步是判斷函數(shù)在閉區(qū)間上的連續(xù)性,這個步驟還得考慮函數(shù)連續(xù)的三個條件:①函數(shù)在所給定的區(qū)間內(nèi)有定義(或者有意義);②函數(shù)在所給定的區(qū)間上存在極限,如果出現(xiàn)分段函數(shù),還得判斷分段點(diǎn)處的左右極限值;③函數(shù)在其給定區(qū)間的極限值和函數(shù)值相等。在高職數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,學(xué)生面對第一條件出現(xiàn)以下幾個問題:(1)學(xué)生不能準(zhǔn)確的判斷函數(shù)的定義域,或者忽略導(dǎo)致函數(shù)不連續(xù)的點(diǎn);(2)學(xué)生不能準(zhǔn)確的求解函數(shù)的左右極限,所以可能得出極限不存在的結(jié)論,導(dǎo)致無法繼續(xù)完成題目;(3)學(xué)生不能準(zhǔn)確判斷函數(shù)對應(yīng)的定義域,求解出來的函數(shù)值可能出現(xiàn)錯誤,導(dǎo)致函數(shù)值和極限值不相等,從而得出不連續(xù)的結(jié)論。

        其次,滿足拉格朗日中值定理的第二個步驟是判斷函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)是否可導(dǎo),學(xué)生在這一步碰到問題是能否正確求出一階導(dǎo)數(shù),從而得出可導(dǎo)的結(jié)論,否則將無法繼續(xù)完成證明。

        最后,在解決第一步判斷連續(xù)性和第二步求解導(dǎo)數(shù)以后,學(xué)生根據(jù)拉格朗日中值公式來計算ξ值,根據(jù)f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)求解出ξ值。這個過程學(xué)生出現(xiàn)的問題有:(1)f(b)-f(a)求解過程出錯,導(dǎo)致得出的ξ值不準(zhǔn)確;(2)f'(ξ)求解過程需要學(xué)生非常熟練函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求解方法,一旦學(xué)生在求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)過程把握不夠,就會求解出不準(zhǔn)確的導(dǎo)函數(shù),導(dǎo)致所求的ξ值不準(zhǔn)確。

        例2:在閉區(qū)間[-1,1]滿足羅爾中值定理的函數(shù)是( )

        首先,例2能夠順利解決,學(xué)生要掌握滿足羅爾中值定理的幾個條件。第一和第二個條件和拉格朗日中值定理的條件相同。我們的學(xué)生在判斷函數(shù)的連續(xù)和可導(dǎo)上面會出現(xiàn)一些問題,如例1所述的情況。其次,羅爾中值定理的第三個條件是要求定義域端點(diǎn)處的函數(shù)值要相等,這個求解過程學(xué)生常出現(xiàn)的問題是端點(diǎn)函數(shù)值計算錯誤等。最后,根據(jù)羅爾中值定理公式f'(ξ)=0求解出ξ的值。學(xué)生存在的問題則是不能準(zhǔn)確求解ξ,由于學(xué)生對函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)求解過程掌握不夠。

        例3:用拉格朗日中值定理證明不等式:

        證明:由已知b>a>0,假設(shè)f(x)=1nx,x∈(a,b),

        顯然,函數(shù)f(x)=1nx在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),其滿足拉格朗日中值定理,

        則至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)使得

        又ξ∈(a,b),且b>a>0

        綜上,當(dāng)b>a>0時,得證

        拉格朗日中值定理在貴州省專升本數(shù)學(xué)考試中以證明題型高頻出現(xiàn),如2012年到2015年的證明題。在使用拉格朗日中值定理求解證明題型過程中,高職學(xué)生會出現(xiàn)怎樣突出的問題,以下將以例3為案例,分析學(xué)生易出現(xiàn)的問題。

        首先,通過題目的所需要證明的結(jié)論來假設(shè)輔助函數(shù)。這一步要求學(xué)生能夠通過題目的結(jié)論來推導(dǎo)所需函數(shù),從而假設(shè)函數(shù)。學(xué)生常見的問題是:學(xué)生缺乏逆向思維,通過題目的結(jié)論很難得出所需要的函數(shù),如果學(xué)生做不到逆推過程,那么這道題目直接無從下手。

        其次,拉格朗日中值定理的證明題型一般表現(xiàn)為不等式的證明。例3從表面看是比較三個式子的大小,實(shí)質(zhì)上是函數(shù)單調(diào)性的求解,學(xué)生本來對函數(shù)的一階求導(dǎo)掌握不夠,再加上部分題目可能一階導(dǎo)數(shù)無法判斷單調(diào)性,還得進(jìn)行二階三階求導(dǎo)。那么學(xué)生在這一步的問題比較突出的方面是:不能準(zhǔn)確的求解一階導(dǎo)數(shù),或者求解一階導(dǎo)數(shù)以后發(fā)現(xiàn)無法判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而放棄題目證明。

        最后,利用拉格朗日中值定理對構(gòu)造的輔助函數(shù)進(jìn)行變形,完成題目的證明過程。學(xué)生解決了構(gòu)造輔助函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的證明,卻面臨著如何使用拉格朗日中值來求確定不等式的方向,這一步學(xué)生存在的問題是:(1)不易推導(dǎo)出證明結(jié)論所需要的公式,而這個公式來自拉格朗日中值公式的變形。(2)易忽視ξ∈(a,b)這條件。學(xué)生集中注意力在中值定理的應(yīng)用,卻總是忘記ξ∈(a,b)這個條件中隱含著不等式a<ξ<b,導(dǎo)致無法完成題目的證明。

        4.提升高職學(xué)生應(yīng)用微分中值定理解決問題的策略

        4.1 理解三個微分中值定理的內(nèi)容

        通過分析三個微分中值定理的相同條件和差異性條件來掌握知識點(diǎn)的關(guān)系。羅爾中值定和其他中值定理不同之處是區(qū)間端點(diǎn)處有f(a)=f(b),這個條件很容易從三個中值定理中區(qū)別開來;柯西中值定理則是判斷兩個函數(shù)的關(guān)系,又從三個中值定理中獨(dú)立出來;這三個中值定理從條件上看上去相似,但是他們得出的結(jié)論卻又不同。這三個定理共同點(diǎn)是要求所求函數(shù)滿足給定區(qū)間上的連續(xù)性和可導(dǎo)性,這就要求學(xué)生要從函數(shù)的定義、極限的存在情況、導(dǎo)數(shù)的存在情況、函數(shù)的連續(xù)情況進(jìn)行分析;學(xué)生要能夠應(yīng)用微分中值定理,首要任務(wù)是深刻認(rèn)識這三個定理的共同點(diǎn)和不同點(diǎn),好為下一步應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

        4.2 準(zhǔn)確判斷函數(shù)的定義域

        4.3 準(zhǔn)確求解函數(shù)的極限

        4.4 準(zhǔn)確判斷函數(shù)的可導(dǎo)性

        分析例2的C選項(xiàng),函數(shù)f(x)=|x|,x∈[-1,1]是否可導(dǎo)。由于函數(shù)f(x)=|x|,x∈[-1,1]是分段函數(shù),分別是f(x)=-x,x∈[-1,0)和f(x)=x,x∈(0,1],發(fā)現(xiàn)函數(shù)在x=0處的和,得出函數(shù)在x=0處不可導(dǎo),使得函數(shù)不能滿足羅爾中值定理。

        4.5 正確記憶微分中值定理相關(guān)公式

        例1:函數(shù)y=arctanx在[0,1]上滿足拉格朗日中值定理的ξ=( )

        已知條件是函數(shù)y=arctanx在[0,1]上已經(jīng)滿足拉格朗日中值定理,那么這個過程就不需要判斷滿足拉格朗日中值的幾個條件,而是直接應(yīng)用結(jié)論來解題,存在一點(diǎn)ξ∈[0,1]使得,而則總結(jié):這個過程學(xué)生不能因?yàn)橛洃浳⒎种兄刀ɡ硐嚓P(guān)公式錯誤,而導(dǎo)致所求的ξ值錯誤。

        4.6 準(zhǔn)確的構(gòu)造輔助函數(shù)

        例3的證明過程和存在的問題已經(jīng)的第3點(diǎn)闡述,通過例3我們總結(jié)如下:如果使用微分中值定理證明不等式,那么需要根據(jù)微分中值定理的幾個公式進(jìn)行變成,從而得到所證結(jié)論。這個過程,學(xué)生需要足夠的耐心,嘗試對所求不等式進(jìn)行四則運(yùn)算的變形,從而得出題干需要的輔助函數(shù),得出輔助函數(shù)以后,還要進(jìn)行假設(shè)性證明,假設(shè)輔助函數(shù)是正確的,利用已知條件對證明結(jié)論進(jìn)行證明,這個時候就會出現(xiàn)兩種情況,假設(shè)輔助函數(shù)正確或者錯誤。如果假設(shè)的輔助函數(shù)正確,那么學(xué)生能夠推導(dǎo)出題目中的結(jié)論,如果假設(shè)的輔助函數(shù)錯誤,那么學(xué)生推導(dǎo)出來的結(jié)論和題目不符合。

        結(jié)語

        通過貴州省2010年到2022年的專升本數(shù)學(xué)考試題目看,微分中值定理以不同類型題目出現(xiàn)。但是無論題型如何變化,微分中值定理的理論基礎(chǔ)不變,所以,學(xué)生想要讓自己這部分知識的應(yīng)用水平提高,學(xué)生要能夠明確羅爾中值定理等這幾個中值定理的相同點(diǎn)和不同點(diǎn),從知識點(diǎn)的相同條件去找可能考試的點(diǎn)和題型,從知識點(diǎn)的差異性條件去考慮可能出現(xiàn)的難點(diǎn),這些難點(diǎn)是什么,如何克服難點(diǎn),從而讓學(xué)生真正意義理解和掌握微分中值定理的應(yīng)用。

        猜你喜歡
        學(xué)生
        快把我哥帶走
        親愛的學(xué)生們,你們并沒有被奪走什么
        英語文摘(2020年9期)2020-11-26 08:10:12
        如何喚醒學(xué)生自信心
        甘肅教育(2020年6期)2020-09-11 07:45:16
        怎樣培養(yǎng)學(xué)生的自信
        甘肅教育(2020年22期)2020-04-13 08:10:54
        如何加強(qiáng)學(xué)生的養(yǎng)成教育
        甘肅教育(2020年20期)2020-04-13 08:04:42
        “學(xué)生提案”
        《李學(xué)生》定檔8月28日
        電影(2018年9期)2018-11-14 06:57:21
        趕不走的學(xué)生
        學(xué)生寫話
        學(xué)生寫的話
        久久婷婷色香五月综合激激情| 国产欧美精品区一区二区三区| 免费99视频| av资源吧首页在线观看| 国产一起色一起爱| 99亚洲女人私处高清视频| 欧美亚洲精品suv| 中文字幕精品久久久久人妻| 亚洲视频高清| 国产av麻豆精品第一页| 精品国产天堂综合一区在线| 永久黄网站色视频免费看| 成人免费ā片在线观看| 国产成人AV乱码免费观看| 一区二区二区三区亚洲| 亚洲丁香婷婷久久一区二区| 亚洲人成网站18禁止久久影院| 91精品国产福利尤物免费| 国产亚洲精品综合在线网站| 人人超碰人人爱超碰国产| 嫖妓丰满肥熟妇在线精品| 亚洲AV无码一区二区一二区色戒 | 亚洲国产精品无码aaa片| 少妇人妻偷人精品视频| 国产欧美日韩图片一区二区| 亚洲成人av大片在线观看| 少妇性bbb搡bbb爽爽爽| 亚洲熟妇少妇69| 青青草视频在线你懂的| 国产精品国产三级国产av中文| 大学生高潮无套内谢视频| 亚洲男人第一av网站| 久久久亚洲精品一区二区| 久久精品av在线观看| 国产真实夫妇视频| 国产又爽又黄的激情精品视频| 偷拍激情视频一区二区| 91精品国产综合久久熟女| 国产熟女露脸大叫高潮| 亚洲AV乱码毛片在线播放| 野花视频在线观看免费|