云南 張保雷 胡家光

1 基本概念

1.1 簡諧運動的定義

如果質(zhì)點的位移與時間的關(guān)系遵從正弦函數(shù)的規(guī)律，即它的振動圖像(x-t圖像)是一條正弦曲線，這樣的振動叫做簡諧運動，簡諧運動位移與時間的關(guān)系的表達(dá)式為x=Asin(ωt+φ0)，式中A是振幅，ω為圓頻率，t為時間，φ0為初相位。

1.2 簡諧運動的受力特征

簡諧運動的受力特征為F=-kx，其中F為指向平衡位置的回復(fù)力，也叫諧振特征力；x為振動質(zhì)點偏離平衡位置的位移；k為恢復(fù)系數(shù)，由振動系統(tǒng)自身性質(zhì)決定；“-”表示F與x方向相反。由牛頓第二定律F=-kx=ma，可知簡諧運動為變加速運動。

1.3 簡諧運動的周期

2 理論探究

2.1 簡諧運動的位移、速度、加速度

由簡諧運動位移與時間的關(guān)系

x=Asin(ωt+φ0) ①

解得簡諧運動質(zhì)點的速度

當(dāng)cos(ωt+φ0)=1時，簡諧運動質(zhì)點的速度最大，此時x=Asin(ωt+φ0)=0，即質(zhì)點通過平衡位置的速度最大，最大值為vM=Aω；

簡諧運動質(zhì)點的加速度

當(dāng)sin(ωt+φ0)=1，此時x最大，即質(zhì)點位于距平衡位置位移最大處，且加速度最大，最大值為aM=Aω2；

由①②③式，可知簡諧運動質(zhì)點的位移、速度、加速度與時間的關(guān)系均遵從正弦函數(shù)的規(guī)律。

2.2 簡諧運動的回復(fù)力

根據(jù)牛頓第二定律，可得簡諧運動質(zhì)點的受力

F=ma=-mω2Asin(ωt+φ0) ④

由④式可知簡諧運動質(zhì)點的受力與時間的關(guān)系均遵從正弦函數(shù)的規(guī)律。

由①④式易得簡諧運動質(zhì)點的受力

F=-mω2Asin(ωt+φ0)=-mω2x=-kx⑤

其中k為恢復(fù)系數(shù)，k的大小由振動系統(tǒng)自身性質(zhì)決定，振動系統(tǒng)不改變，則振動過程中k保持不變，即做簡諧運動的質(zhì)點所受作用力大小與位移成正比，方向與位移相反，該力始終指向平衡位置，物理學(xué)中按效果將其命名為回復(fù)力。從簡諧運動的受力特征出發(fā)是證明某運動為簡諧運動簡單、有效的常用方法。

2.3 簡諧運動的周期

由⑤式可得k=-mω2⑥

其中m為振子質(zhì)量，k為振動系統(tǒng)的恢復(fù)系數(shù)，此式從簡諧運動的定義式出發(fā)推理而得，適用于任何簡諧運動周期的計算。

2.4 簡諧運動的能量

結(jié)合①⑨式，簡諧運動系統(tǒng)的勢能為

由⑧⑩式可得簡諧運動系統(tǒng)的動能與勢能之和

3 常見簡諧運動的實例分析

3.1 彈簧振子

圖1

3.2 單擺

圖2

4 非常見簡諧運動的實例分析

如圖3所示，電荷量分別為4q和-q的小球A、B固定在水平放置的光滑絕緣細(xì)桿上，間距為d。若桿上套一帶正電的小環(huán)C(圖中未畫出)，帶電體A、B和C均可視為點電荷。若小環(huán)C所帶的電荷量為-q，將小環(huán)拉離平衡位置一小段位移x(|x|=d)后由靜止釋放，計算小環(huán)C回到平衡位置所用時間。

圖3

圖4

5 結(jié)語

通過上述對簡諧運動位移、速度、加速度、周期和能量的理論探究，發(fā)現(xiàn)簡諧運動各物理量有著深層次的內(nèi)在聯(lián)系，只要確定了恢復(fù)系數(shù)，相對復(fù)雜的振動周期和能量就迎刃而解了。如果師生能經(jīng)歷上述理論探究過程，不僅可以對簡諧運動有深入系統(tǒng)地認(rèn)識，也能體驗科學(xué)探究的方法和體會理論探究的樂趣，也是優(yōu)秀學(xué)生成長的一條有效途徑。