郭 輝，張淑艷，閆耀龍

（1.西北工業(yè)大學(xué) 機電學(xué)院，陜西 西安 710072；2.西安建筑科技大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710055）

面齒輪傳動是一種新型角度傳動形式（如圖1所示），具有對安裝誤差敏感性低、互換性好、傳動比大等優(yōu)點[1]。奧迪公司將其應(yīng)用于Quattro四驅(qū)越野車中央差速器中，起到了自動分配前后軸力矩的作用；而用在直升機主減速器上也能起到降低重量、提高承載能力的作用，因此，具有重要的應(yīng)用前景和價值[1-2]。“齒輪嚙合原理”是高等學(xué)校中機械設(shè)計及理論和機械工程專業(yè)研究生的一門重要專業(yè)課程[3-4]，主要講授空間齒輪展成加工原理和常用齒輪副的嚙合特點等內(nèi)容。將面齒輪傳動引入“齒輪嚙合原理”課程中，可以開拓學(xué)生的思路和視野，并提高研究分析能力。

圖1 面齒輪傳動形式以及齒形

如圖 1(b)所示，面齒輪的齒形很特殊，主要表現(xiàn)在其內(nèi)徑端容易根切，外徑端容易發(fā)生齒頂變尖。產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因主要是面齒輪沿齒向其齒廓壓力角連續(xù)變化，內(nèi)徑壓力角小，而外徑端壓力角大。因此，它不同于常見的以漸開線為齒廓曲線的齒輪，包括直齒、斜齒以及錐齒輪等[5]。筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生甚至某些從事齒輪研究的教師對此現(xiàn)象也不甚理解，因為常見的齒輪在齒寬方向不同位置處分圓（錐）壓力角是相同的。另外一點，面齒輪的齒厚在齒寬方向上是變化的，但不同于錐齒輪，它并沒有大端模數(shù)和小端模數(shù)的概念。為了闡明這些問題，本文基于圖形法并結(jié)合空間嚙合原理對其進行詳細(xì)的討論和分析。

1 面齒輪的齒面方程

為了研究面齒輪的齒形特點，首先給出面齒輪的空間齒面方程，這里以正交直齒面齒輪為例。圖2為漸開線示意圖，圓柱漸開線齒輪的齒面方程（齒廓I徑矢）為

圖2 漸開線圓柱形齒輪齒形

式中，θs和ls分別是漸開線齒面的齒廓參數(shù)和齒向參數(shù)；ηs是漸開線起始角度位置參數(shù)；rb是基圓半徑。

圖3為圓柱齒輪（插齒刀刀具）展成加工面齒輪的坐標(biāo)系統(tǒng)。其中R1和R2是面齒輪的內(nèi)外半徑；γm是面齒輪傳動的軸交角；rps是刀具齒輪的分度圓半徑。插齒刀與面齒輪以恒定角速度ωs和ω2做轉(zhuǎn)動，且ωs/ω2=N2/Ns。N2和Ns分別為面齒輪和插齒刀的齒數(shù)。

圖3 面齒輪展成加工坐標(biāo)系統(tǒng)

面齒輪與圓柱齒輪做單參數(shù)共軛嚙合，因此，面齒輪的齒面是圓柱齒輪齒面在面齒輪自身坐標(biāo)系中的包絡(luò)，根據(jù)嚙合原理可得面齒輪的齒面方程為

式中，M2s(ψs)是從刀具固連坐標(biāo)系Ss到面齒輪固連坐標(biāo)系S2的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。ψs是刀具齒輪的轉(zhuǎn)角；f2s(θs,ls,ψs)=0為嚙合方程[3]。

2 面齒輪傳動的瞬時回轉(zhuǎn)軸線

面齒輪的齒面是由漸開線圓柱齒輪（產(chǎn)形輪）展成加工而來[6]。如圖4所示，對于相交軸面齒輪副，直線O2I是兩者間的瞬時回轉(zhuǎn)軸線（兩構(gòu)件上速度相同點的集合），可以看出線O2I上的任意點M和產(chǎn)形輪軸線Zs的距離是變化的，這和錐齒輪傳動是類似的。然而由于漸開線齒面的法線始終與齒輪的基圓柱相切，并且齒面瞬時嚙合點的公法線必須經(jīng)過瞬時回轉(zhuǎn)軸線O2I，所以齒面上不同齒寬位置處的嚙合角是不同的，而且面齒輪齒面上半徑越大的位置嚙合角越大。

圖4 面齒輪傳動的瞬時回轉(zhuǎn)軸及嚙合角

瞬時回轉(zhuǎn)軸線O2I和產(chǎn)形輪軸線Zs間的夾角可以由式（3）確定：

對于任意截面Γ，兩構(gòu)件的瞬時回轉(zhuǎn)中心為點M，根據(jù)齒廓嚙合定理中的威利斯定律[3]，齒廓公法線需通過M點。同時漸開線的法線始終切于基圓，其嚙合角為αQ。

嚙合點嚙合角的余弦值為

式中，rbs為刀具齒輪的基圓半徑；rps為刀具齒輪的分度圓半徑；rms為嚙合節(jié)點M與刀具齒輪軸線Zs的距離；RM為截面Γ處面齒輪的半徑。

由式（4）可以看出，隨著rms的增大，αQ將增大。另一方面面齒輪的輪齒齒頂分布在一個平面上（當(dāng)軸交角為90°時），在截面I或者II上齒面一點的速度近似是水平方向（平行于圓柱齒輪的端面），就像齒條一樣，因此其齒形接近為壓力角等于αQ的齒條齒形。關(guān)于這一點，當(dāng)面齒輪齒數(shù)越大越精確。這樣就解釋了面齒輪輪齒上不同截面處的齒形壓力角均不同的原因。

實際上面齒輪的齒形和漸開線圓柱齒輪的齒形有類似特點。漸開線齒輪的齒廓壓力角從齒根向齒頂逐漸增大，其線速度逐漸增大，而法線始終切于基圓；面齒輪從內(nèi)徑到外徑處線速度逐漸增加，壓力角也在逐漸增大。圖5給出了兩個截面中面齒輪的齒形，其中截面I是面齒輪分度圓截面位置，截面II是最大外徑處。從圖5來看，可以清楚地看出兩個截面上面齒輪齒形角的不同以及其成因。

圖5 不同半徑截面處的面齒輪齒形特點

3 壓力角計算算例

本文所設(shè)計的面齒輪及其刀具基本參數(shù)如表1所示。

表1 面齒輪副設(shè)計參數(shù)

由式（4）計算，面齒輪齒廓壓力角在半徑為160 mm、170 mm和190 mm處分別為13.02°、23.51°和34.87°。因此，可以看出，壓力角在30 mm的齒寬上改變了21.85°，變化非常顯著。而齒形角很大時齒頂自然相交，齒形角很小時也就容易發(fā)生根切，如圖1(b)所示。對比錐齒輪傳動（例如直齒錐齒輪），從理論上講錐齒輪的齒面是一平面發(fā)生線繞基圓錐面滾動而形成的，因此，在齒寬不同位置處基圓半徑不同（基圓錐），也就保證了分錐面上不同齒寬位置處齒形角是相同的。而與面齒輪相嚙合的齒輪是圓柱齒輪，沒有基圓錐，只有基圓柱，這是兩者不同的根本原因。

4 總結(jié)

本文通過嚙合原理中的威利斯定理推導(dǎo)了面齒輪傳動中不同位置處的嚙合角表達(dá)式，進而解釋了齒面齒形角沿齒向逐漸變化的規(guī)律特點。面齒輪的齒面可以近似看作是不同壓力角的齒條齒形的空間組合，當(dāng)面齒輪齒數(shù)越大近似精度越高。本文的研究和討論給機械設(shè)計及理論的研究生和本科生清楚地展示了面齒輪的齒形特點的成因，可使知識的掌握更加充分，而理解更加方便。