高世民，王延榮，葉 航

（北京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院1，北京100083，江西研究院2，南昌 330096；3.成都航利（集團(tuán)）實(shí)業(yè)有限公司，四川彭州 611936）

0 引言

航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子葉片、整體葉盤(pán)、篦齒封嚴(yán)結(jié)構(gòu)、薄壁齒輪和減渦器引氣管等屬于典型的薄壁結(jié)構(gòu)，在工作過(guò)程中承受著很高的離心載荷、熱載荷導(dǎo)致的靜應(yīng)力，以及變化載荷導(dǎo)致的振動(dòng)應(yīng)力，容易出現(xiàn)高循環(huán)疲勞失效，使得降低結(jié)構(gòu)所受靜應(yīng)力及控制其敏感階次振動(dòng)應(yīng)力成為必要[1-2]。然而，薄壁結(jié)構(gòu)在工作中的激勵(lì)頻率范圍寬、激勵(lì)階次多，難以避開(kāi)所有共振點(diǎn)。通過(guò)摩擦耗散振動(dòng)能量的干摩擦阻尼減振是降低薄壁結(jié)構(gòu)振動(dòng)應(yīng)力的有效技術(shù)手段[3]。

薄壁結(jié)構(gòu)干摩擦阻尼減振設(shè)計(jì)依賴于對(duì)薄壁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)和接觸問(wèn)題的把握，重點(diǎn)關(guān)注共振頻率、阻尼和振動(dòng)應(yīng)力水平等[4]。接觸模型刻畫(huà)了彈性體（通常為金屬）干摩擦接觸時(shí)的相互作用，及其與接觸面間相對(duì)運(yùn)動(dòng)的關(guān)系[5]。目前，接觸模型可分為1D模型[6-7]和2D模型[8-9]；恒 定[6，8]或 者變法 向正壓 力[7，9]模型；宏滑動(dòng)和微滑動(dòng)模型[10]。利用發(fā)展的接觸模型可計(jì)算分析系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)。直接的時(shí)間積分法非常耗時(shí)，Phadke等[11]計(jì)算帶緣板阻尼器葉片1個(gè)激勵(lì)頻率點(diǎn)下的響應(yīng)便需40 h。而在設(shè)計(jì)階段無(wú)法承擔(dān)如此高昂的時(shí)間成本?？紤]到薄壁結(jié)構(gòu)響應(yīng)往往具有周期性，Cardona等[12]采用諧波平衡法將運(yùn)動(dòng)方程由時(shí)域微分方程轉(zhuǎn)換為頻域代數(shù)方程，進(jìn)而高效求解此非線性方程。為能更有效地描述接觸，在諧波平衡法基礎(chǔ)上，Cameron等[13]提出了時(shí)頻轉(zhuǎn)換法，將頻域位移轉(zhuǎn)換到時(shí)域后，在時(shí)域內(nèi)求解非線性接觸作用力后再轉(zhuǎn)換回頻域。為進(jìn)一步提高計(jì)算效率，Mehrdad[14]采用模態(tài)綜合法，Petrov[15]采用頻率響應(yīng)函數(shù)法，利用減縮模型計(jì)算葉盤(pán)結(jié)構(gòu)的非線性響應(yīng)；Krack等[16-17]從非保守系統(tǒng)角度利用非線性模態(tài)來(lái)處理干摩擦問(wèn)題；Hüls等[18]采用幅頻響應(yīng)曲線來(lái)評(píng)價(jià)減振結(jié)構(gòu)的阻尼效果。然而，響應(yīng)計(jì)算存在實(shí)際激勵(lì)大小難以確定、計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)和收斂困難等問(wèn)題[4]。值得注意的是，航空發(fā)動(dòng)機(jī)工作中薄壁結(jié)構(gòu)典型狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)應(yīng)力和許用的振動(dòng)應(yīng)力范圍已基本確知。

本文從薄壁結(jié)構(gòu)振動(dòng)應(yīng)力出發(fā)，基于能量耗散發(fā)展了一種減振結(jié)構(gòu)阻尼效果的分析方法及流程。

1 干摩擦系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)模型

航空發(fā)動(dòng)機(jī)薄壁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中常見(jiàn)的干摩擦阻尼器形式主要有緣板阻尼器、葉冠、凸肩、阻尼環(huán)、阻尼套筒。其中前三者主要用于葉片結(jié)構(gòu)，阻尼環(huán)主要用于齒輪、葉盤(pán)和封嚴(yán)篦齒，阻尼套筒主要用于封嚴(yán)篦齒和減渦器引氣管，航空發(fā)動(dòng)機(jī)典型薄壁結(jié)構(gòu)及其干摩擦阻尼器結(jié)構(gòu)形式如圖1所示。

圖1 航空發(fā)動(dòng)機(jī)典型薄壁結(jié)構(gòu)及其干摩擦阻尼器結(jié)構(gòu)形式

1.1 運(yùn)動(dòng)方程

含干摩擦作用的薄壁結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程為

式中：M、C和K分別為薄壁結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；u（t）為結(jié)構(gòu)的位移列向量；fe（t）為結(jié)構(gòu)受到的激振力列向量；fc為干摩擦接觸面上非線性接觸作用力列向量，只在接觸面自由度上不為0。

由式（1）可看出干摩擦阻尼減振包含了經(jīng)典振動(dòng)和接觸2方面內(nèi)容。本文的目的是分析減振結(jié)構(gòu)提供的干摩擦阻尼；若需考慮材料阻尼等其他阻尼時(shí)，因阻尼比是無(wú)量綱參數(shù)，可直接與計(jì)算所得的干摩擦阻尼相加減。

1.2 接觸模型

接觸模型刻畫(huà)了接觸面接觸作用力（即切向的摩擦力和法向的正壓力）與接觸面相對(duì)位移的關(guān)系，這與系統(tǒng)的摩擦耗能直接相關(guān)。本文采用接觸節(jié)點(diǎn)對(duì)進(jìn)行接觸建模。接觸節(jié)點(diǎn)間的3維相對(duì)運(yùn)動(dòng)在接觸局部坐標(biāo)系下可分解為面外的法向運(yùn)動(dòng)和面內(nèi)2個(gè)相互垂直方向的運(yùn)動(dòng)。

經(jīng)典的庫(kù)倫摩擦模型假定接觸面存在粘滯和滑移2種狀態(tài)，且二者間瞬時(shí)轉(zhuǎn)變，如圖2所示。1D切向相對(duì)位移-恒正壓力接觸模型（如圖3所示）將接觸面的干摩擦等效為線性彈簧與經(jīng)典庫(kù)倫摩擦副的串聯(lián)，并假設(shè)法向的正壓力恒定，只考慮接觸面內(nèi)1個(gè)切向的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。在此基礎(chǔ)上，1D切向相對(duì)位移-變正壓力接觸模型（如圖4所示）考慮了法向正壓力的變化。2D切向相對(duì)位移-恒正壓力接觸模型（如圖5所示）考慮了接觸面內(nèi)2個(gè)切向的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，而2D切向相對(duì)位移-變正壓力接觸模型（如圖6所示）在此基

圖2 庫(kù)倫摩擦模型

圖3 1D切向相對(duì)位移-恒正壓力接觸模型

圖4 1D切向相對(duì)位移-變正壓力接觸模型

圖5 2D切向相對(duì)位移-恒正壓力接觸模型

圖6 2D切向相對(duì)位移-變正壓力接觸模型

礎(chǔ)上，考慮了法向正壓力的變化，被稱為全3D接觸模型。前述接觸模型及其不同接觸狀態(tài)（粘滯、滑移、分離）的轉(zhuǎn)換準(zhǔn)則詳見(jiàn)文獻(xiàn)[9]，這里給出全3D接觸模型時(shí)域內(nèi)接觸作用力的表達(dá)式。給定接觸節(jié)點(diǎn)對(duì)之間的相對(duì)位移Δuc，tx、Δuc，ty、Δuc，nz，利用接觸相對(duì)位移Δhtx、Δhty，則法向正壓力為

在實(shí)際程序計(jì)算中采用預(yù)報(bào)-校正格式，按離散時(shí)間步推進(jìn)迭代求解摩擦力。從上一時(shí)刻開(kāi)始，按照接觸規(guī)律求解摩擦力后進(jìn)行下一時(shí)刻的求解，直至摩擦力穩(wěn)定。通常需要幾個(gè)振動(dòng)周期遲滯回線便可收斂。

式中：

2 阻尼特性曲線

2.1 摩擦耗能

干摩擦阻尼減振的機(jī)理是接觸面之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生摩擦力，從而耗散振動(dòng)動(dòng)能。從能量的角度出發(fā)，摩擦耗能與系統(tǒng)振動(dòng)能量之比可以用來(lái)評(píng)價(jià)阻尼效應(yīng)。選用合適的接觸模型，1個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)摩擦耗能可由接觸模型中的遲滯回線所圍成的面積得到，即

損耗因子通常被用來(lái)評(píng)定工程材料的阻尼效果[19]，可表達(dá)為每個(gè)振動(dòng)周期的耗散能量占系統(tǒng)振動(dòng)能量的比例，即

系統(tǒng)振動(dòng)能量可用1個(gè)周期內(nèi)的最大振動(dòng)動(dòng)能Ek來(lái)表示，則減振結(jié)構(gòu)（阻尼器）所能提供的等效阻尼比可近似表達(dá)為

2.2 等效阻尼比

針對(duì)薄壁結(jié)構(gòu)某一階模態(tài)，在小振幅條件下，模態(tài)的位移Aref、振動(dòng)應(yīng)力σref和最大振動(dòng)動(dòng)能Ek，ref和實(shí)際的位移A、振動(dòng)應(yīng)力σ、最大振動(dòng)動(dòng)能Ek間有如下關(guān)系

給定考核點(diǎn)某一振動(dòng)應(yīng)力σ，計(jì)算位移A和最大振動(dòng)動(dòng)能Ek；再選取相應(yīng)的接觸模型，可得到相應(yīng)的摩擦耗能Ef，進(jìn)而利用式（7）計(jì)算當(dāng)前振動(dòng)應(yīng)力下的等效阻尼比ζ；改變振動(dòng)應(yīng)力大小，可得到阻尼比隨振動(dòng)應(yīng)力的變化曲線，即阻尼特性曲線。薄壁結(jié)構(gòu)阻尼特性計(jì)算流程如圖7所示。值得注意的是，對(duì)于不同的減振結(jié)構(gòu)，摩擦耗能的計(jì)算方式有差別，這將在下文中予以介紹。

圖7 薄壁結(jié)構(gòu)阻尼特性計(jì)算流程

3 減振設(shè)計(jì)分析

3.1 設(shè)計(jì)分析流程

本文利用阻尼特性曲線進(jìn)行減振設(shè)計(jì)，阻尼特性曲線即系統(tǒng)所能提供的阻尼比隨結(jié)構(gòu)振動(dòng)應(yīng)力的變化曲線，如圖8所示。其中，減振結(jié)構(gòu)開(kāi)始提供阻尼效應(yīng)時(shí)結(jié)構(gòu)考核點(diǎn)的共振振動(dòng)應(yīng)力，稱為臨界振動(dòng)應(yīng)力σcr；峰值阻尼比ζmax為阻尼比最大值，其對(duì)應(yīng)的振動(dòng)應(yīng)力為σm。干摩擦阻尼減振結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)分析流程如圖9所示。

圖8 阻尼特性曲線

圖9 干摩擦阻尼減振結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)分析流程

薄壁結(jié)構(gòu)典型工作狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)應(yīng)力和許用振動(dòng)應(yīng)力范圍在設(shè)計(jì)中往往是已知的，調(diào)整減振結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)，以滿足阻尼比要求：在許用振動(dòng)應(yīng)力下，減振結(jié)構(gòu)能提供盡可能大的阻尼比，即峰值阻尼比盡可能大；同時(shí)，臨界振動(dòng)應(yīng)力要相對(duì)小；主結(jié)構(gòu)的典型振動(dòng)應(yīng)力落在阻尼特性曲線左半支為最佳，使得振動(dòng)應(yīng)力增大時(shí)，減振結(jié)構(gòu)提供的阻尼比也隨之增大。另外，若需得到某假設(shè)激勵(lì)幅值fe下結(jié)構(gòu)的響

應(yīng)，則可利用該激勵(lì)下阻尼比-振動(dòng)應(yīng)力曲線與減振結(jié)構(gòu)阻尼特性曲線的交點(diǎn)來(lái)獲得。

3.2 緣板阻尼器分析示例

緣板阻尼器常用于風(fēng)扇和高壓渦輪轉(zhuǎn)子葉片，典型的結(jié)構(gòu)形式有楔形、柱狀、帶狀及非對(duì)稱形狀等。本例針對(duì)渦輪葉盤(pán)結(jié)構(gòu)模型（如圖10所示），利用其Campbell圖分析確定的危險(xiǎn)模態(tài)（4節(jié)徑葉片1彎），選取平板式緣板阻尼器按流程進(jìn)行減振分析。

圖10 渦輪葉/盤(pán)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)有限元模型

相鄰葉片振動(dòng)相位差φ由節(jié)徑數(shù)Nd和葉片數(shù)nsec表示為

利用諧波平衡法和B-B（Blade-to-Blade）型接觸運(yùn)動(dòng)，阻尼器振動(dòng)位移為v=（uL+uR）/2。阻尼器與緣板間接觸左、右面的位移及阻尼器與左緣板相對(duì)位移表達(dá)為

則接觸面相對(duì)位移幅值A(chǔ)ref用左、右緣板絕對(duì)位移AL、AR表示為

因工作過(guò)程中緣板阻尼器由離心力緊壓在葉片緣板處，可忽略法向正壓力的變化。采用1D切向相對(duì)位移-恒正壓力接觸宏滑動(dòng)模型（圖3），利用式（5）計(jì)算摩擦耗能，即

式中：Acr=μN(yùn)0/kt，為接觸面處于粘滯與滑移之間的臨界狀態(tài)時(shí)的相對(duì)位移。

扇區(qū)最大振動(dòng)動(dòng)能Ek，ref為式中：Ek，wh為模態(tài)分析全環(huán)的最大振動(dòng)動(dòng)能；Ai為第i扇區(qū)的模態(tài)位移（駐波模態(tài)振幅）。

通過(guò)葉盤(pán)結(jié)構(gòu)的接觸分析和循環(huán)對(duì)稱模態(tài)分析，按上述方法獲得緣板阻尼器減振參數(shù)，見(jiàn)表1。經(jīng)式（7）計(jì)算得阻尼器與單側(cè)緣板摩擦提供的等效阻尼比；需要注意的是，阻尼器與兩側(cè)緣板都進(jìn)行摩擦耗能，最終阻尼比是單側(cè)的2倍。緣板阻尼器不同質(zhì)量m0下的阻尼特性曲線如圖11所示。取許用振動(dòng)應(yīng)力50 MPa，則質(zhì)量為1.2 g時(shí)的阻尼效果最佳。

圖11 渦輪葉片不同質(zhì)量緣板阻尼器的阻尼特性曲線

表1 緣板阻尼器減振參數(shù)

3.3 葉冠減振分析示例

葉冠主要用于低壓渦輪轉(zhuǎn)子葉片，有鋸齒冠和平行冠等形式。某鋸齒冠葉片結(jié)構(gòu)有限元模型如圖12所示。關(guān)注危險(xiǎn)模態(tài)（20節(jié)徑葉片1彎），選取不同預(yù)扭角α對(duì)鋸齒冠按流程進(jìn)行減振分析。值得注意的是，葉冠對(duì)葉片固有振動(dòng)特性有較大影響，通過(guò)在冠間建立彈簧單元，采用循環(huán)對(duì)稱邊界條件，以模擬接觸剛度對(duì)結(jié)構(gòu)固有振動(dòng)特性的影響。

圖12 某鋸齒冠葉片結(jié)構(gòu)有限元模型（經(jīng)變形處理）

考慮相鄰葉片振動(dòng)相位差φ，鋸齒冠接觸左、右面的位移及相對(duì)位移表達(dá)為

相對(duì)位移幅值A(chǔ)ref用左、右葉冠絕對(duì)位移AL、AR表示為

采用1D切向相對(duì)位移-恒正壓力接觸宏滑動(dòng)模型（圖3），利用式（5）、（12）計(jì)算摩擦耗能。扇區(qū)最大振動(dòng)動(dòng)能為Ek，ref。通過(guò)接觸分析和冠間含等效彈簧（剛度為kn=578 N/mm、kt=289 N/mm）的模態(tài)分析，按上述方法獲得鋸齒冠減振參數(shù)，見(jiàn)表2。經(jīng)式（7）計(jì)算得鋸齒冠提供的等效阻尼比，鋸齒冠不同預(yù)扭角α下的阻尼特性曲線如圖13所示。取許用振動(dòng)應(yīng)力50 MPa，則預(yù)扭角為0.5°時(shí)的阻尼效果最佳。

圖13 渦輪葉片鋸齒冠不同預(yù)扭角下的阻尼特性曲線

表2 鋸齒冠減振參數(shù)

3.4 阻尼環(huán)分析示例

阻尼環(huán)可應(yīng)用于航空發(fā)動(dòng)機(jī)篦齒封嚴(yán)、整體葉盤(pán)、薄壁齒輪等結(jié)構(gòu)的減振，有閉口、C形和螺旋形等形式，橫截面有矩形和圓形等。本例對(duì)篦齒封嚴(yán)結(jié)構(gòu)模型（如圖14所示），關(guān)注危險(xiǎn)模態(tài)（5節(jié)徑），選取矩形截面（軸向?qū)挾萣，徑向厚度h）阻尼環(huán)按流程進(jìn)行減振分析。

圖14 篦齒封嚴(yán)結(jié)構(gòu)有限元模型

與緣板阻尼器、葉冠等結(jié)構(gòu)不同，阻尼環(huán)是周向整環(huán)連續(xù)體，主結(jié)構(gòu)節(jié)徑型振動(dòng)的徑向分量會(huì)導(dǎo)致接觸面內(nèi)的周向變形，進(jìn)而產(chǎn)生相對(duì)位移耗散能量，計(jì)算摩擦耗能時(shí)采用庫(kù)倫摩擦模型（圖2），通過(guò)不同周向位置摩擦力fc，t（θ）與接觸面相對(duì)位移Δs（θ）乘積的積分獲得

式中：P為接觸面上單位長(zhǎng)度的正壓力；Ad為阻尼環(huán)橫截面面積；E為阻尼環(huán)材料彈性模量；Rf為接觸面半徑；θ0為滑移與粘滯區(qū)轉(zhuǎn)換的臨界角度

式中：A為篦齒封嚴(yán)結(jié)構(gòu)徑向振動(dòng)位移；cs和cd分別為篦齒環(huán)和阻尼環(huán)徑向半厚度；Rs和Rd分別為篦齒環(huán)和阻尼環(huán)中性層半徑。

提取篦齒封嚴(yán)結(jié)構(gòu)最大振動(dòng)動(dòng)能Ek，ref，按上述方法獲得阻尼環(huán)減振參數(shù)，見(jiàn)表3。經(jīng)式（7）計(jì)算得阻尼環(huán)提供的等效阻尼比，阻尼環(huán)不同徑向厚度h下的阻尼特性曲線如圖15所示。阻尼效果隨著阻尼環(huán)徑向厚度的增加而提高，其取值在設(shè)計(jì)許可的范圍內(nèi)越大越好。

圖15 篦齒封嚴(yán)結(jié)構(gòu)阻尼環(huán)不同徑向厚度下的阻尼特性曲線

表3 阻尼環(huán)減振參數(shù)

3.5 阻尼套筒分析示例

阻尼套筒可應(yīng)用于篦齒封嚴(yán)和減渦器引氣管等結(jié)構(gòu)的減振，有簡(jiǎn)單筒狀、指狀、裂式環(huán)等形式。本例針對(duì)某減渦器結(jié)構(gòu)模型（如圖16所示），關(guān)注引氣管2彎危險(xiǎn)模態(tài)，選取安裝于引氣管內(nèi)部的裂式阻尼套筒按流程進(jìn)行減振分析。接觸面相對(duì)運(yùn)動(dòng)及摩擦耗能在引氣管軸向?yàn)閤向、引氣管周向?yàn)棣认虻木植孔鴺?biāo)系進(jìn)行分析。主結(jié)構(gòu)彎曲振動(dòng)時(shí)會(huì)導(dǎo)致接觸面內(nèi)沿引氣管軸向的變形，進(jìn)而產(chǎn)生軸向相對(duì)位移耗散能量，計(jì)算摩擦耗能時(shí)采用庫(kù)倫摩擦模型（圖2），通過(guò)不同位置摩擦力fc，t（x，θ）與接觸面相對(duì)位移Δs（x，θ）乘積的積分獲得

圖16 減渦器及阻尼套筒有限元模型

式中：cs和cd分別為引氣管壁半厚度和阻尼套筒壁半厚度；A為引氣管徑向振動(dòng)位移；L為阻尼套筒軸向長(zhǎng)度；a、b、c、d為用于刻畫(huà)主結(jié)構(gòu)振型函數(shù)的4個(gè)系數(shù)（可由有限元模態(tài)分析結(jié)果擬合得到）；Rf為接觸面半徑；x0為滑移與粘滯區(qū)轉(zhuǎn)換的臨界軸向位置，滿足

需要注意式（21）為超越方程，可用數(shù)值方法求解。

經(jīng)式（7）計(jì)算得阻尼環(huán)提供的等效阻尼比，阻尼套筒不同軸向長(zhǎng)度L下的阻尼特性曲線如圖17所示。從圖中可見(jiàn)，阻尼效果隨著阻尼套筒軸向長(zhǎng)度的增加而提高，其取值在設(shè)計(jì)許可的范圍內(nèi)越大越好。提取引氣管結(jié)構(gòu)最大振動(dòng)動(dòng)能Ek，ref，按上述方法確定阻尼套筒減振參數(shù)，見(jiàn)表4。

圖17 減渦器阻尼套筒不同長(zhǎng)度下的阻尼特性曲線

表4 阻尼套筒減振參數(shù)

4 結(jié)論

（1）阻尼特性曲線可用于評(píng)定減振結(jié)構(gòu)提供的阻尼比，給出了在所關(guān)注模態(tài)下阻尼比隨主結(jié)構(gòu)考核點(diǎn)振動(dòng)應(yīng)力的變化關(guān)系。

（2）對(duì)分析的渦輪葉片模型緣板阻尼器質(zhì)量進(jìn)行減振設(shè)計(jì)，取許用振動(dòng)應(yīng)力50 MPa，質(zhì)量為1.2 g時(shí)的阻尼效果最佳。

（3）對(duì)分析的渦輪葉片鋸齒冠預(yù)扭角進(jìn)行減振設(shè)計(jì)，取許用振動(dòng)應(yīng)力50 MPa，預(yù)扭角為0.5°時(shí)的阻尼效果最佳。

（4）對(duì)分析的篦齒封嚴(yán)結(jié)構(gòu)進(jìn)行阻尼環(huán)減振設(shè)計(jì)，阻尼環(huán)徑向厚度越大，阻尼效果越好，可在設(shè)計(jì)許可范圍內(nèi)取大值。

（5）對(duì)分析的減渦器引氣管所用裂式阻尼套筒，套筒長(zhǎng)度的增加有益于阻尼效果的提高。

需要指出的是，本文方法及其流程針對(duì)的是模態(tài)非密集結(jié)構(gòu)的單一模態(tài)進(jìn)行的減振分析，后續(xù)需要綜合考慮多個(gè)模態(tài)，尤其模態(tài)密集的結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步發(fā)展其減振設(shè)計(jì)分析方法。