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        新課標(biāo)下尺規(guī)作圖新路徑:聯(lián)想,整合,生成

        2022-11-25 11:30:33合肥市第四十八中學(xué)丁永愿
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年20期
        關(guān)鍵詞:尺規(guī)過點(diǎn)作圖

        ?合肥市第四十八中學(xué) 何 平 丁永愿

        1 問題提出

        初中新課程標(biāo)準(zhǔn)增加了“過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線”的尺規(guī)作圖內(nèi)容.如圖1,過點(diǎn)P作直線m的平行線n.

        圖1

        2 解法賞析

        2.1 聯(lián)想發(fā)散

        由題意發(fā)散聯(lián)想出具有平行性質(zhì)的圖形并畫出相應(yīng)的草圖.根據(jù)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)不難得到出現(xiàn)平行的基本圖形有:三線八角圖、中位線、A(X)形相似結(jié)構(gòu)、平行四邊形等.如圖2所示.

        圖2

        2.2分析整合

        學(xué)生具備五大基本作圖經(jīng)驗(yàn),基本作圖可以實(shí)現(xiàn)“作等線段,作等角,作垂直,作中點(diǎn),作角平分線” 等功能,其余的尺規(guī)作圖是在五大基本作圖的基礎(chǔ)上整合而成的[2].在分析整合時(shí)要注重可行性、合理性,所謂可行性是圖形的定義或判定中的關(guān)鍵詞能與五大基本作圖的功能對應(yīng),如平行四邊形的判定“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”,關(guān)鍵詞是兩組對邊相等,與五大作圖中的“作等線段”功能可以對應(yīng)上,作平行四邊形具有可行性;作圖也要兼顧合理性,若圖形的內(nèi)涵太豐富,則作圖要求也就越多,如正方形,雖然可作,但過于繁瑣,可有選擇性地放棄.

        2.3 演繹生成

        法1:如圖3,過點(diǎn)P作直線l交直線m于點(diǎn)A,確定∠1;作∠2=∠1(或∠3=∠1),得直線n.

        圖3

        法2:如圖4,過點(diǎn)P作直線m的垂線l交直線m于點(diǎn)A;過點(diǎn)P作直線l的垂線n.

        圖4

        法3:如圖5,在直線m上確定點(diǎn)A,B,作射線AP,過點(diǎn)A作∠PAB的角平分線AC;以點(diǎn)P為圓心,AP為半徑作弧交角平分線AC于點(diǎn)Q,連接PQ得到直線n.

        圖5

        法4:如圖6,在直線m上確定點(diǎn)A,B,在線段AP的延長線上截取點(diǎn)O,使AP=PO;連接OB,作線段OB的中點(diǎn)Q,連接PQ得到直線n.

        圖6

        法5:如圖7,在直線m上任意確定點(diǎn)A,在線段AP的延長線上任意確定點(diǎn)O,以點(diǎn)O為圓心,OA為半徑作弧交直線m于點(diǎn)B;連接直線OB,以點(diǎn)O為圓心,OP為半徑作弧交直線OB于點(diǎn)Q, 連接PQ得到直線n.

        圖7

        法6:如圖8,在直線m上任意確定點(diǎn)A,B,作線段AP;以點(diǎn)P為圓心,AB為半徑作弧與以點(diǎn)B為圓心,AP為半徑作的弧交于點(diǎn)Q,連接PQ得到直線n.

        圖8

        法7:如圖9,在直線m上確定點(diǎn)A,B,連接BP,作線段BP的中點(diǎn)O;作射線AO,在射線AO上截取OQ=AO,連接PQ得到直線n.

        圖9

        法8:如圖10,在直線m上確定點(diǎn)A,連接AP,以點(diǎn)A為圓心,AP為半徑作弧交直線m于點(diǎn)B;以點(diǎn)P為圓心,AP為半徑作弧與以點(diǎn)B為圓心,AP為半徑作的弧交于點(diǎn)Q;連接PQ得到直線n.

        圖10

        法9:如圖11,在直線m上確定點(diǎn)B,連接BP;作線段BP的中垂線l交直線m于點(diǎn)A,交線段BP于點(diǎn)O;在線段AO的延長線上截取OQ=AO,連接PQ得到直線n.

        圖11

        法10:如圖12,在直線m上任意確定點(diǎn)B,連接BP;作線段BP的中點(diǎn)O;以點(diǎn)O為圓心,OB為半徑作⊙O交直線m于點(diǎn)A;作射線AO與⊙O交于點(diǎn)Q,連接PQ得到直線n.

        圖12

        法11:如圖13,在直線m上任意確定點(diǎn)A,B;以點(diǎn)A為圓心,BP為半徑作弧與以點(diǎn)B為圓心,AP為半徑作的弧交于點(diǎn)Q;連接PQ得到直線n.

        圖13

        法12:如圖14,取一點(diǎn)O,以點(diǎn)O為圓心,OP為半徑作⊙O交直線m于點(diǎn)A,B;以點(diǎn)B為圓心,AP為半徑作弧交⊙O于點(diǎn)Q;連接PQ得到直線n.

        圖14

        3 結(jié)論

        3.1明確尺規(guī)作圖的教學(xué)意義

        對于尺規(guī)作圖,師生要改變認(rèn)知,不能僅僅是機(jī)械模仿、簡單組合,在探究該問題時(shí)幾乎覆蓋了初中階段的所有圖形,如三線八角、三角形、四邊形、圓、相似三角形等,并在整個(gè)探究階段對這些圖形的定義、性質(zhì)、判定也進(jìn)行了綜合系統(tǒng)的復(fù)習(xí),對學(xué)生的幾何直觀、演繹推理、結(jié)構(gòu)化思維、規(guī)范書寫、語言表達(dá)、動(dòng)手操作及發(fā)散思維等能力有極大的提高.同時(shí),在教學(xué)過程中還能讓學(xué)生感悟到思想方法的統(tǒng)一美、作圖過程的理性美、作圖表述的語言美、作圖結(jié)果的方法美.

        3.2注重基本圖形的積累

        聯(lián)想圖形是尺規(guī)作圖中較難的一個(gè)環(huán)節(jié),這是一個(gè)從無到有的生成階段,有了聯(lián)想的草圖才能確定如何作下一步.而能夠想到什么基本圖形源于學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累以及對圖形的熟悉與掌握程度.因此,學(xué)會(huì)積累常用的基本圖形對解決尺規(guī)作圖問題至關(guān)重要.

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