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        基于PBL模式的初中數(shù)學(xué)教學(xué)思考
        ——“二次函數(shù)”第一課時課堂實錄與思考

        2022-11-25 11:30:33蘇州高新區(qū)實驗初級中學(xué)蔡春艷
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年20期
        關(guān)鍵詞:二次函數(shù)圖象環(huán)節(jié)

        ?蘇州高新區(qū)實驗初級中學(xué) 蔡春艷

        1 引言

        PBL模式是一種以問題為導(dǎo)向的教學(xué)方法(problem-based learning,PBL),由美國的神經(jīng)病學(xué)教授 Barrows 首創(chuàng).它遵循以學(xué)生為中心,強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主動學(xué)習(xí),發(fā)揮學(xué)生的主體性,使學(xué)習(xí)者投入于問題中,通過學(xué)習(xí)者的自主探索和合作交流來解決問題,從而學(xué)習(xí)到問題中隱含的知識,并在此過程中發(fā)展解決問題的能力和自主學(xué)習(xí)的能力[1].

        筆者最近參與了一節(jié)蘇州市評優(yōu)課“二次函數(shù)”的磨課過程.“二次函數(shù)”是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容,這一章的邏輯結(jié)構(gòu)與一次函數(shù)相似,是對函數(shù)知識的完善和提高.第一課時的重點(diǎn)為理解概念,如果按照傳統(tǒng)模式,理解概念—應(yīng)用概念,學(xué)生會缺乏學(xué)習(xí)課程的新鮮感,也無法從整體上理解二次函數(shù).課程標(biāo)準(zhǔn)提出,“學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個主動的過程.教學(xué)活動應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在真實情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題,分析和解決問題”[2].PBL理念與課程標(biāo)準(zhǔn)一致,因此筆者嘗試采取PBL理念,即基于問題展開學(xué)生的學(xué)習(xí),對教學(xué)過程作出梳理,供研討.

        2 課堂實錄

        2.1 環(huán)節(jié)(一)——創(chuàng)設(shè)情境,引入新課

        師:同學(xué)們好,我來自蘇州新區(qū)實驗初中,昨天開車來到我們常熟外國語學(xué)校.

        如圖1,在這段運(yùn)動過程中涉及哪幾個量?

        圖1

        生:時間、路程、速度.

        師:這里的速度是常量,路程S和時間t是變量.這兩個變量之間是什么關(guān)系?

        生:S=80t.

        師:S是t的函數(shù)嗎?為什么?

        生:是的.因為在這個變化過程中有兩個變量S和t,對于t的每一個值,S都有唯一的值與它對應(yīng).

        師:這是什么函數(shù)?

        生:正比例函數(shù).

        師:正比例函數(shù)也是什么函數(shù)?

        生:一次函數(shù).

        師:如圖2,在這個過程中,t與v又有怎樣的關(guān)系?是我們學(xué)過的函數(shù)嗎?

        圖2

        師:有一段下坡路,若不踩油門,隨著時間的變化,汽車的速度會怎樣變化?(學(xué)生沉默了半分鐘.)

        師:大家可以回想一下自己騎自行車下坡的體驗,你感覺速度怎樣變化?

        生:速度越來越快.

        師:可見,這不再是一個勻速運(yùn)動.此時,路程與時間會是怎樣的關(guān)系呢?為了探究這個問題,我們來做一個實驗.

        數(shù)學(xué)實驗:播放小車沿斜面下滑的視頻.

        通過數(shù)學(xué)實驗得到數(shù)據(jù),如表1.

        表1 實驗數(shù)據(jù)

        師:觀察表1,你認(rèn)為S是t的函數(shù)嗎?是一次函數(shù)嗎?是反比例函數(shù)嗎?

        生:S是t的函數(shù),但既不是一次函數(shù),也不是反比例函數(shù).

        師:請同學(xué)們畫出這個函數(shù)的圖象.(投影展示)

        師:老師和大家一樣也畫出了圖象,請看圖3,這是我們熟悉的函數(shù)圖象嗎?

        圖3

        生:不是.

        師:這是一個新的函數(shù).我們通常是怎樣研究函數(shù)的?

        生:研究函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì),運(yùn)用函數(shù)知識解決實際問題……

        師:概念通常又是怎么得到的?

        生:從生活中實際問題抽象而來.

        師:是的,生活中存在很多類似的函數(shù)關(guān)系……

        設(shè)計意圖:上課開始,教師就和學(xué)生分享了從自己學(xué)校到學(xué)生所在學(xué)校的路上的歷程,拉近教師與學(xué)生的距離,將學(xué)生從數(shù)學(xué)課堂帶入現(xiàn)實生活情境中,符合PBL模式中設(shè)計完整學(xué)習(xí)情境的理念.在這個情境中,學(xué)生體會到可以用數(shù)學(xué)語言來解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象,發(fā)現(xiàn)在不同情境下,路程與時間、速度與時間的函數(shù)關(guān)系.通過已經(jīng)學(xué)過的函數(shù)關(guān)系,回顧研究函數(shù)的一般思路,為本節(jié)課進(jìn)一步研究新的函數(shù)奠定基礎(chǔ). 研究下坡路時路程與時間的函數(shù)關(guān)系,就是建模的過程,通過實驗,由形入手,發(fā)現(xiàn)了一類新的函數(shù).這是什么函數(shù),它有什么特征,有什么作用?在問題的驅(qū)動下開始本章節(jié)的研究.

        2.2 環(huán)節(jié)(二)——自主探究,合作交流

        校園風(fēng)景如畫,老師帶領(lǐng)同學(xué)們來到學(xué)校門口的水池旁,一起觀察.

        (1)水滴激起的波紋不斷向外擴(kuò)展,圓的面積 S 與半徑 r 之間的函數(shù)關(guān)系為.

        (2)學(xué)校在另一側(cè)再建一個周長為20m的矩形水池,水池的面積S(單位:m2)與一邊長 x(單位:m)之間的函數(shù)關(guān)系為.

        (3) 如圖4,外側(cè)矩形長10m,寬3m,水池的邊緣是等寬的,寬度為 xm,則中間小矩形的面積 y(單位:m2)與 x之間的函數(shù)關(guān)系為.

        圖4

        問題1S=πr2,S=-x2+10x,y=4x2-26x+30三個表達(dá)式有什么共同特征?

        歸納得到二次函數(shù)的概念:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),且a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù).其中x是自變量,y是x的函數(shù).

        學(xué)生討論概括二次函數(shù)解析式的特征:(1)等號右邊是關(guān)于自變量的整式;(2)最高次項的次數(shù)是2;(3)二次項系數(shù)不等于零.

        問題2在以上實際問題中,自變量可以取哪些值?

        歸納得到二次函數(shù)自變量的取值范圍:

        (1)通常二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的自變量x可以是任意實數(shù).

        (2)如果二次函數(shù)的自變量表示實際問題中的某個變量,那么它的取值范圍受到實際意義的限制.

        設(shè)計意圖:在PBL模式的理念下,學(xué)生需要在一個真實的情境中對驅(qū)動問題展開探究.環(huán)節(jié) (一)中,學(xué)生已經(jīng)明確了要研究的問題,并對這個問題產(chǎn)生了濃厚的興趣.環(huán)節(jié)(二)中,教師帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入真實的校園場景,觀察校門口的水池,探究水滴入水、水池面積等變化過程中變量之間的關(guān)系,發(fā)現(xiàn)這些變量之間的共同特征,從而歸納出新的函數(shù)——二次函數(shù),并在此基礎(chǔ)上展開研究.

        2.3 環(huán)節(jié)(三)——動手操作,解決問題

        小組活動:每人寫一個二次函數(shù),請同桌說出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.

        例題如圖5,學(xué)校在長300m,寬90m的矩形廣場內(nèi)修建等寬的十字形道路,設(shè)道路寬為 xm,綠地面積為ym2. 你能寫出綠地面積與道路寬之間的函數(shù)表達(dá)式嗎?道路寬的取值范圍是什么?

        圖5

        探究如圖6,用長50m的護(hù)欄圍成一塊靠墻的矩形花園,墻的長度是20m.請利用本節(jié)課所學(xué)知識,提出一個問題并解決,分小組完成.

        圖6

        設(shè)計意圖:學(xué)生通過環(huán)節(jié)(二)的探究得到一個“產(chǎn)品”(PBL模式的特征之一)——二次函數(shù)模型,環(huán)節(jié)(三)繼續(xù)帶領(lǐng)學(xué)生漫步校園,從教學(xué)樓前的花壇入手,學(xué)生以小組合作的形式,提出問題并解決問題,體現(xiàn)了PBL模式的項目式教學(xué).在解決問題的過程中,學(xué)生可能需要用一元二次方程或二次函數(shù)的性質(zhì)來解決問題,也可能需要思考方程、不等式與二次函數(shù)的關(guān)系,學(xué)生在思考、探索等過程中得到了必要的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練,體會到了數(shù)學(xué)思維的多元性,并且激發(fā)出后續(xù)研究二次函數(shù)性質(zhì)的好奇心與求知欲.

        3 基于PBL模式的課例賞析

        3.1 基于問題情境展開學(xué)習(xí)

        環(huán)節(jié)(一)為教師到學(xué)校路途中所遇之景,環(huán)節(jié)(二)為進(jìn)校所見一景,環(huán)節(jié)(三)為教學(xué)樓前一角景觀,整節(jié)課基于漫步校園所遇之景的變化,由學(xué)生自己提出問題,主動探索問題,圍繞二次函數(shù)的概念這一主線展開學(xué)習(xí).學(xué)生的學(xué)習(xí)體現(xiàn)了PBL模式的兩個要點(diǎn):

        (1)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人

        在PBL模式中,學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人. 在本課的學(xué)習(xí)中,不再由教師講授知識,而是學(xué)生自主探索.如環(huán)節(jié)(一),每個學(xué)生都可以根據(jù)自己的生活經(jīng)驗和學(xué)習(xí)狀態(tài)多角度思考,從而得出不同程度的結(jié)論,學(xué)習(xí)積極性被調(diào)動起來了.環(huán)節(jié)(二),圍繞校園里的水池,學(xué)生觀察水滴入水的過程,思考擴(kuò)建水池的設(shè)計,發(fā)現(xiàn)這些過程中變量的關(guān)系,提煉它們的共同特征,從而歸納得出一類新的函數(shù)——二次函數(shù).

        (2)在問題解決過程中獲得新知識,發(fā)展新能力

        環(huán)節(jié)(一),下坡路段上路程隨時間變化的關(guān)系,學(xué)生由生活經(jīng)驗可知是函數(shù)但不是一次函數(shù),問題有一定的難度,學(xué)生一時無法解決.通過數(shù)學(xué)實驗,得出路程隨時間變化的數(shù)據(jù),再畫出函數(shù)的圖象,既可以讓學(xué)生感受到函數(shù)的不同表現(xiàn)形式,感受數(shù)形結(jié)合,也充分發(fā)揮了學(xué)生的主體作用.環(huán)節(jié)(二)和環(huán)節(jié)(三),學(xué)生在探究過程中,不僅學(xué)習(xí)了二次函數(shù)這個新的知識,而且親自參與建模過程,這些都體現(xiàn)了PBL模式的“在探究過程中學(xué)習(xí)及應(yīng)用學(xué)科思想”.

        3.2 基于問題的教學(xué)反思

        教師的教學(xué)圍繞PBL模式的三個要點(diǎn)展開:

        (1)以激發(fā)求知欲和好奇心為支點(diǎn)

        教育心理學(xué)的研究指出,好奇心是推動兒童和成人去獲得新知識的主要動機(jī).學(xué)生的求知欲和好奇心是課堂活力的源泉,是課堂教學(xué)價值的支點(diǎn).如何激發(fā)學(xué)生的求知欲和好奇心呢?本課從學(xué)生熟悉的騎車上坡下坡問題入手,結(jié)合校園里的真實場景,讓每個學(xué)生都有話可說,有法可想,培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維.學(xué)生獲得了成功的體驗,學(xué)習(xí)積極性也被調(diào)動起來了.

        (2)教師是輔助者和引導(dǎo)者

        環(huán)節(jié)(三)原先的設(shè)計是由教師呈現(xiàn)一組題,學(xué)生練習(xí),以題目增強(qiáng)二次函數(shù)的概念的鞏固.但是PBL模式中,教師是指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知學(xué)習(xí)技巧的教練,因此最終繼續(xù)創(chuàng)設(shè)情境,放手讓學(xué)生自主探索.再如環(huán)節(jié)(二),教師在學(xué)生歸納得出二次函數(shù)概念的基礎(chǔ)上,結(jié)合實際問題,考慮自變量的取值范圍,有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性,體現(xiàn)了教師引導(dǎo)者的角色.

        (3)真實的基于績效的評價

        課程標(biāo)準(zhǔn)提出,學(xué)習(xí)評價的主要目的是為了全面了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程和結(jié)果,評價要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果,也要關(guān)注學(xué)習(xí)的過程.PBL模式中要求建立真實的基于績效的評價.環(huán)節(jié)(一),遇到新函數(shù)教師沒有避開不談或者直接告知,而是通過數(shù)學(xué)實驗,讓學(xué)生親自經(jīng)歷探索兩個變量關(guān)系的過程,環(huán)節(jié)(三),互相提問,既利于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性,也可以暴露學(xué)生思維的局限性,最后在教師的引導(dǎo)下共同歸納注意要點(diǎn).

        4 結(jié)論

        PBL在國外已形成一套成熟的教學(xué)方法,學(xué)生通過規(guī)劃和完成一系列任務(wù),最終實現(xiàn)某個目標(biāo)或者解決某個問題,這就是項目.學(xué)生為了成功地完成項目,必須整合自己的學(xué)科知識和生活經(jīng)驗,促進(jìn)團(tuán)隊協(xié)作,最終對自己或他人的表現(xiàn)作出評價,這是PBL教學(xué)法的精髓[3].在國內(nèi),由于課程時間的限制,不能很好地實行項目教學(xué),比如,本課的驅(qū)動問題還需后續(xù)研究二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)才能解決,無法在一節(jié)課內(nèi)完整體現(xiàn).再如,數(shù)學(xué)實驗部分,按照PBL理念應(yīng)該讓學(xué)生真正進(jìn)入數(shù)學(xué)實驗室,借助打點(diǎn)計時器,記錄路程隨時間變化的數(shù)據(jù),再通過數(shù)據(jù)畫出函數(shù)的圖象,這樣可以更真實地經(jīng)歷從實際問題中抽象函數(shù)模型的過程,感受研究函數(shù)的方法,但是時間所限,本節(jié)課老師采用課前做實驗,錄好視頻在課堂上播放的方式,也是一種變通與嘗試.

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