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        智慧引領(lǐng) 模型破冰
        ——對(duì)“圓周角(第1課時(shí))”教學(xué)設(shè)計(jì)的思考

        2022-11-25 11:30:33湖北省咸寧市教育科學(xué)研究院廖明芳
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年20期
        關(guān)鍵詞:圓心角圓周角折痕

        ?湖北省咸寧市教育科學(xué)研究院 廖明芳

        ?湖北省咸寧實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 許麗琴 王 彎

        1 問(wèn)題呈現(xiàn)

        九年級(jí)開(kāi)始學(xué)習(xí)圓周角的概念,通過(guò)與已有“圓心角”概念對(duì)比得出圓周角概念,而在圓周角定理得出的環(huán)節(jié),人教版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第86頁(yè)用了下面這段文字:

        如圖1,為了證明上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論(圓周角定理),在⊙O任取一個(gè)圓周角∠BAC,沿AO所在直線將圓對(duì)折,由于A的位置不同,折痕會(huì):(1)在圓周角的一條邊上;(2)在圓周角的內(nèi)部;(3)在圓周角的外部.

        圖1

        2 問(wèn)題診斷

        根據(jù)教材呈現(xiàn)內(nèi)容,為引出圓周角的概念,很多教師設(shè)計(jì)了“將圓形紙片動(dòng)手折一折”的教學(xué)環(huán)節(jié),這樣圓周角的出現(xiàn)比較容易,進(jìn)一步測(cè)量圓周角和同弧圓心角也不困難,于是順理成章“猜一猜”:一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.到了關(guān)鍵“證一證”環(huán)節(jié),問(wèn)題來(lái)了:(1)教材中的這條折痕在證明過(guò)程中意義非凡,如何出現(xiàn)?(2)圓心角和圓周角的位置關(guān)系為何直接導(dǎo)致證明過(guò)程的差異,以及如何分類(lèi)?

        基于以上兩個(gè)問(wèn)題,教師用“折痕說(shuō)”很難將問(wèn)題自然過(guò)渡,只能采用強(qiáng)制引入的方式,憑空出現(xiàn)這條“折痕”,進(jìn)而證明,使得整節(jié)課的邏輯鏈條斷裂,干擾、打亂學(xué)生思維.

        3 問(wèn)題解決

        經(jīng)過(guò)反復(fù)實(shí)驗(yàn),我們工作室的教師最終采用如下途徑來(lái)解決本節(jié)課的難點(diǎn).

        3.1 情境導(dǎo)入,引出新知

        播放神舟十二號(hào)發(fā)射及其與天和核心艙對(duì)接過(guò)程的短視頻,抽象出圓周角,引出研究目標(biāo),同時(shí)增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感.

        3.2 對(duì)比舊知,得出新知

        從已知圓心角概念引出新的研究對(duì)象圓周角,二者的區(qū)別就在于頂點(diǎn)位置的不同,也就是角的基本要素之一(抓住幾何研究對(duì)象的基本要素).而對(duì)幾何對(duì)象研究的基本問(wèn)題就是元素之間的位置和數(shù)量關(guān)系[1],于是引發(fā)學(xué)生探究二者之間關(guān)系的內(nèi)心需求.

        3.3 測(cè)量猜想,嘗試總結(jié)

        通過(guò)動(dòng)手畫(huà)角、測(cè)量、輔助計(jì)算機(jī)度量,可快速得出結(jié)論,但在此處對(duì)結(jié)論的表述,教師要潛意識(shí)進(jìn)行引導(dǎo),將“圓周角”放在前——圓周角等于同弧所對(duì)圓心角的一半.這個(gè)不顯山露水的操作是為了給學(xué)生做出良好導(dǎo)向,表明要證明的核心問(wèn)題是圓周角與圓心角的大小關(guān)系,是把未知的圓周角轉(zhuǎn)化為學(xué)過(guò)的圓心角問(wèn)題來(lái)解決.

        3.4 觀察探究,智慧思考

        教材中直接給出了折痕與圓周角的位置關(guān)系,思維跳躍性過(guò)大.此處借助《幾何畫(huà)板》,讓圓周角頂點(diǎn)在規(guī)定弧上連續(xù)移動(dòng),仔細(xì)觀察此時(shí)同弧所對(duì)應(yīng)的圓周角和圓心角的變化,學(xué)生易得出:圓心角是唯一的,而圓周角是無(wú)數(shù)的.對(duì)于變化的圓周角和確定的圓心角,我們?nèi)绾蝸?lái)進(jìn)行研究?(變化之中的不變性)

        對(duì)幾何對(duì)象的研究仍然應(yīng)該從它的基本元素入手,通過(guò)圓周角頂點(diǎn)的位置變換,引發(fā)學(xué)生思考:圓周角和圓心角的位置關(guān)系到底能出現(xiàn)多少種?對(duì)變化情況進(jìn)行分類(lèi),并把問(wèn)題進(jìn)行分割,使角度減小,讓學(xué)生先觀察圓心(圓心角頂點(diǎn))與圓周角的位置關(guān)系.通過(guò)《幾何畫(huà)板》的操作能夠避免“折痕說(shuō)”中的局限性,使得圓周角無(wú)間斷、連續(xù)變化,全面不遺漏地考慮問(wèn)題.而直觀變化的動(dòng)態(tài)可以幫助學(xué)生找到關(guān)鍵的三個(gè)位置(如圖2),為下一步證明做好鋪墊.

        圖2

        3.5 合理分類(lèi),模型探路

        要證明圓周角定理,很自然地在上面(圖2)三種位置關(guān)系中引進(jìn)同弧所對(duì)的圓心角.第一種位置關(guān)系最為特殊(如圖3),其他兩種均涉及到作關(guān)鍵輔助線,也就是“折痕”的出現(xiàn).

        圖3

        由易到難,第一種位置關(guān)系的證明學(xué)生很快可以得出.證明過(guò)程中用到了等腰三角形頂角的外角等于兩底角之和,是前面學(xué)習(xí)過(guò)的三角形的基本性質(zhì)定理.教師適時(shí)給出引導(dǎo),對(duì)此模型進(jìn)行剝離:圓周角就是等腰三角形的一個(gè)底角,圓心角就是等腰三角形的外角,它們之間的數(shù)量關(guān)系剛好完全吻合.而要想出現(xiàn)這個(gè)定理中具備的條件,過(guò)圓周角頂點(diǎn)的直徑很關(guān)鍵,是構(gòu)造出模型中等腰三角形外角的點(diǎn)睛之筆.

        3.6 模型破冰,彰顯智慧

        第二種位置關(guān)系,考慮轉(zhuǎn)化為第一種位置關(guān)系來(lái)證明,體會(huì)數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想.思考方向:其一要考慮第一種位置關(guān)系中的直徑,其二要從圓中剝離出等腰三角形的基本模型.有了方向,學(xué)生思考起來(lái)相對(duì)容易突破.連接圓周角頂點(diǎn)和圓心并延長(zhǎng)交圓周于點(diǎn)D,形成教材中的“折痕”,這樣就把要證明的問(wèn)題變成了兩個(gè)“基本模型”.

        已知:A,B,C是圓O上的點(diǎn),∠BAC是弧BC所對(duì)的圓周角,∠BOC是弧BC所對(duì)的圓心角.

        證明:連接圓周角頂點(diǎn)A和圓心O并延長(zhǎng)交圓周于點(diǎn)D,如圖4.

        圖4

        ∵∠3+∠4=∠BAC,∠1+∠2=∠BOC,

        根據(jù)證明過(guò)程,可以形象地把第二種位置關(guān)系看成是“基本模型+基本模型”,如圖4.

        3.7 水到渠成,解決問(wèn)題

        第三種位置關(guān)系的證明難度較大,不容易觀察,教師通過(guò)位置關(guān)系(2)的鋪墊,去找尋基本模型.作出輔助線后,基本模型凸顯,通過(guò)隱去部分線段,學(xué)生仍然能發(fā)現(xiàn)隱藏其中的兩個(gè)基本模型,如圖5.

        證明:連接圓周角頂點(diǎn)A和圓心O并延長(zhǎng)交圓周于點(diǎn)D,如圖5.

        圖5

        ∵∠3-∠4=∠BAC,∠1-∠2=∠BOC,

        根據(jù)證明過(guò)程,可以形象地把第三種位置關(guān)系看成是“基本模型-基本模型”,如圖5.

        4 結(jié)語(yǔ)

        至此,整節(jié)課的重點(diǎn)很巧妙地彰顯出來(lái),化未知為已知,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本數(shù)學(xué)模型[2],數(shù)學(xué)的基本思想體現(xiàn)無(wú)疑.在難點(diǎn)上也精心鋪設(shè),細(xì)化問(wèn)題,通過(guò)多媒體軟件的介入,連續(xù)變化達(dá)到相對(duì)嚴(yán)密的閉合系統(tǒng),通過(guò)提煉基本模型引出輔助線、破解難點(diǎn).可以說(shuō),通過(guò)這幾個(gè)細(xì)節(jié)的用心處理,順利厘清了整堂課的邏輯線,充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科轉(zhuǎn)化思想的魅力,彰顯了數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值.

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