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        數(shù)學(xué)思想、方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用實(shí)踐

        2022-11-25 05:49:01嚴(yán)
        新課程·上旬 2022年25期
        關(guān)鍵詞:方程解題函數(shù)

        嚴(yán) 琛

        (甘肅省天水市甘谷縣第六中學(xué),甘肅 天水)

        在當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)課堂中,教師不僅要為學(xué)生講解完善的理論知識(shí),還需要對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思路進(jìn)行全面的培育,教師需要做好課前的準(zhǔn)備工作,認(rèn)真地分析在高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中涉及的數(shù)學(xué)思想、方法,逐漸改革當(dāng)前的教學(xué)模式,從而使學(xué)生能夠在教師的引導(dǎo)下更加透徹地了解在數(shù)學(xué)解題中常見(jiàn)的思想、方法,逐漸提高學(xué)生當(dāng)前的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

        一、高中數(shù)學(xué)解題中數(shù)學(xué)思想、方法的概述

        為了使學(xué)生在高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中了解其中涉及的數(shù)學(xué)思想、方法,教師需要在課堂開(kāi)始之前分析高中數(shù)學(xué)解題中數(shù)學(xué)思想、方法的表現(xiàn)形式,逐漸優(yōu)化當(dāng)前的教育模式,為學(xué)生高效率地學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。每門(mén)學(xué)科在發(fā)展過(guò)程中會(huì)形成特定的數(shù)學(xué)思維,數(shù)學(xué)也不例外,數(shù)學(xué)思想、方法主要是指學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)按照現(xiàn)實(shí)世界的空間和數(shù)量關(guān)系形成的思維活動(dòng),是對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)認(rèn)知的重要表現(xiàn)形式,之后再根據(jù)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系,了解整體的解題思路,不斷地優(yōu)化當(dāng)前的學(xué)習(xí)效果[1]。在數(shù)學(xué)思維方面要根據(jù)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)特點(diǎn),經(jīng)過(guò)一系列的思維活動(dòng)和推導(dǎo)來(lái)形成對(duì)最終事物的解釋。數(shù)學(xué)思想相比于數(shù)學(xué)方法,本身的抽象性特征非常突出,但是數(shù)學(xué)思想更加接近數(shù)學(xué)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)內(nèi)容。數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法之間的關(guān)系是相輔相成的,學(xué)生需要先掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法之后再形成正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維,不斷地優(yōu)化學(xué)生當(dāng)前的學(xué)習(xí)效果。數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的重要表現(xiàn)形式,兩者都屬于方法論的范疇,有效提高了學(xué)生當(dāng)前的學(xué)習(xí)效果。

        學(xué)生需要掌握數(shù)學(xué)概念建立與之對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)理論,之后利用數(shù)學(xué)的思想、方法來(lái)掌握主要的思想范疇,以此來(lái)完成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的全面認(rèn)知,這也是數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓。學(xué)生需要掌握數(shù)學(xué)方法的內(nèi)涵,領(lǐng)會(huì)其中數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用方向,形成清晰的認(rèn)知,靈活地解決在實(shí)際學(xué)習(xí)時(shí)所存在的問(wèn)題,并將數(shù)學(xué)思想為主要的指導(dǎo)方法,逐漸優(yōu)化學(xué)生當(dāng)前的學(xué)習(xí)思維,從而為學(xué)生高效學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。教師需要在教學(xué)中充分分析解題中涉及的數(shù)學(xué)思想以及數(shù)學(xué)方法,逐漸優(yōu)化當(dāng)前的課程教育模式,以此來(lái)保證課堂教學(xué)的順利實(shí)施。

        二、高中數(shù)學(xué)解題中數(shù)學(xué)思想、方法的應(yīng)用

        (一)函數(shù)與方程思想

        1.內(nèi)涵

        在高中數(shù)學(xué)解題中,函數(shù)與方程思想為常見(jiàn)的組成部分,學(xué)生在解題時(shí)需要借助有關(guān)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)解答求值和解不等式的相關(guān)問(wèn)題,明確參數(shù)的取值范圍,以此來(lái)快速地檢查出問(wèn)題的答案。在問(wèn)題研究過(guò)程中,學(xué)生需要建立函數(shù)關(guān)系式或者構(gòu)建中間的函數(shù),將研究的問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橛懻摵瘮?shù)的相關(guān)性質(zhì),這樣一來(lái)可以降低學(xué)生當(dāng)前的學(xué)習(xí)難度[2]。函數(shù)和方程屬于高中數(shù)學(xué)中的重要組成部分,也是歷年來(lái)高考的重點(diǎn),要運(yùn)用運(yùn)動(dòng)和變化之間的關(guān)聯(lián),分析數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系,建立函數(shù)關(guān)系,或者是構(gòu)建函數(shù)利用函數(shù)圖象的方法來(lái)解決問(wèn)題、轉(zhuǎn)換問(wèn)題,從而得出最終答案。在方程思想中,主要是讓學(xué)生通過(guò)了解數(shù)學(xué)問(wèn)題中的變量間等量關(guān)系,建立方程和方程組,了解各個(gè)數(shù)值之間的變化關(guān)系,或者是通過(guò)解方程和方程組的方式來(lái)進(jìn)行日常的解答,按照方程的性質(zhì)來(lái)轉(zhuǎn)化和分析問(wèn)題,以此來(lái)獲得解決問(wèn)題的方法,方程思想將動(dòng)靜因素進(jìn)行結(jié)合,讓學(xué)生能夠研究其中的等量關(guān)系。函數(shù)和方程之間的關(guān)系非常緊密,兩者能夠通過(guò)相互的轉(zhuǎn)換,借助函數(shù)圖象性質(zhì)能夠解決方程中的問(wèn)題,并且在研究方程時(shí)也可以借助函數(shù)的思想來(lái)進(jìn)行日常的解答。

        2.解題

        函數(shù)y=f(x),當(dāng)y=0 時(shí),方程就可以轉(zhuǎn)化為f(x)=0或y-f(x)=0;而方程f(x)=0 的解是函數(shù)y=f(x)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化,對(duì)函數(shù)y=f(x),當(dāng)y=0 時(shí),就是不等式f(x)=0,而求f(x)=g(x)的解則可比較y=f(x)與y=g(x)函數(shù)圖象位置的交點(diǎn)而得到解。在教學(xué)中教師可以讓學(xué)生按照這一方法來(lái)進(jìn)行日常的解答,通過(guò)數(shù)量之間的關(guān)系,利用方程和函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換,以此得到解決問(wèn)題的答案。函數(shù)和方程之間的思想關(guān)系非常緊密,也是高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容,因此需要優(yōu)化學(xué)生當(dāng)前的解決思路,以此來(lái)提升課堂教學(xué)的效果。在學(xué)生解答題目時(shí),教師需要讓學(xué)生根據(jù)函數(shù)和方程之間的關(guān)系來(lái)掌握其中的數(shù)量關(guān)系,當(dāng)學(xué)生遇到難題時(shí),教師可以讓學(xué)生通過(guò)函數(shù)和方程之間的相互轉(zhuǎn)換解決問(wèn)題,深入地把握函數(shù)和方程的思想特點(diǎn),逐漸提高學(xué)生當(dāng)前的解決效率,從而保證課堂教學(xué)的順利進(jìn)行。

        (二)數(shù)形結(jié)合思想

        1.內(nèi)涵

        數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛,同時(shí)也是重要的思想,數(shù)和形式是數(shù)學(xué)中最古老的關(guān)系,在一定條件下能夠進(jìn)行相互的轉(zhuǎn)換。在數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用的過(guò)程中,需要借助幾何圖形來(lái)闡述某種數(shù)量之間的關(guān)系,也可以通過(guò)數(shù)量關(guān)系來(lái)構(gòu)建幾何直觀圖形,兩者是相互連通的,要根據(jù)整體的解題思路來(lái)進(jìn)行圖像的深入性分析,以此來(lái)抓住背后所蘊(yùn)含的規(guī)律。在實(shí)際解題時(shí)需要將抽象的語(yǔ)言變得更加生動(dòng)和直觀,了解其中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系等,并且將抽象思維和形象思維相互結(jié)合,使問(wèn)題的解答更加清晰以及透徹,從而降低學(xué)生當(dāng)前的學(xué)習(xí)難度。在班級(jí)教學(xué)中,教師需要加強(qiáng)對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的深入性教學(xué),逐漸讓學(xué)生把握這部分重點(diǎn)知識(shí),以此來(lái)提升課堂教學(xué)的效果。在學(xué)生數(shù)形思維運(yùn)用過(guò)程中,需要遵循簡(jiǎn)單性和雙方性的原則,構(gòu)建函數(shù)模型,結(jié)合圖象研究參數(shù)的取值范圍,并且掌握其中的數(shù)量關(guān)系,以此來(lái)解答出函數(shù)的最值問(wèn)題和證明不等式等。另外也可以通過(guò)構(gòu)建幾何模型來(lái)解決一些代數(shù)問(wèn)題,全面地分析幾何中的斜率和距離等。在最值求解方面的應(yīng)用非常廣泛,教師可以讓學(xué)生在求根時(shí)構(gòu)建方程模型,通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)降低學(xué)生當(dāng)前的學(xué)習(xí)難度,從而使學(xué)生能夠掌握這部分重點(diǎn)知識(shí),逐漸提高學(xué)生當(dāng)前的學(xué)習(xí)效率。

        2.解題

        在教學(xué)中,教師可以為學(xué)生布置這樣的例題:“二次函數(shù)y=ax2+2ax+4 的圖象和Y 軸分別交于A、B 點(diǎn),與Y 軸相交于點(diǎn)C,∠CBO 的正切值為2,請(qǐng)同學(xué)們求二次函數(shù)的解析式。”在學(xué)生解題的過(guò)程中,如果只是單調(diào)地閱讀這部分內(nèi)容會(huì)產(chǎn)生迷茫,這時(shí)教師可以讓學(xué)生通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法,先將這部分函數(shù)圖象進(jìn)行完整的構(gòu)建,之后再求得最終的答案,對(duì)于點(diǎn)C 可以在坐標(biāo)系中表示為(0,4),之后再按照題目中的內(nèi)容分別畫(huà)出不同的圖形,更快地解答,從而使學(xué)生學(xué)習(xí)效率能夠得到全面的提高。在教學(xué)中,教師需要讓學(xué)生感受到數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)換之間的樂(lè)趣,對(duì)學(xué)生知識(shí)遷移能力進(jìn)行全面的培育,將抽象知識(shí)變得更加生動(dòng)和直觀,以此來(lái)了解幾何和代數(shù)之間的關(guān)系,找到解決問(wèn)題的主要方法,全面提升課堂教學(xué)的效果。通過(guò)題目的簡(jiǎn)單化處理,提升學(xué)生的解題效率,為學(xué)生學(xué)習(xí)提供重要的基礎(chǔ)。

        (三)轉(zhuǎn)化思想

        1.內(nèi)涵

        轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)中也是常見(jiàn)的組成部分,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,最重要的是把握各個(gè)數(shù)量之間的等量關(guān)系,但是解決不等量關(guān)系問(wèn)題時(shí),可以通過(guò)轉(zhuǎn)換的思想轉(zhuǎn)變?yōu)榈攘康年P(guān)系之后再解答出問(wèn)題的答案,在一般情況下可以通過(guò)特殊化的思想找到特殊取值和特殊圖形,以此來(lái)分析解答問(wèn)題的方法,可以利用字母來(lái)表示某個(gè)數(shù)值,也可以通過(guò)特殊圖形找到問(wèn)題的解決方法。在轉(zhuǎn)化思想過(guò)程中,主要是指將未知解法或者難以解決的問(wèn)題,通過(guò)觀察和分析進(jìn)行類比,選擇恰當(dāng)?shù)姆绞絹?lái)進(jìn)行數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換,將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)楦由鷦?dòng)而直觀的數(shù)量關(guān)系,以此來(lái)找到問(wèn)題的解決方法。例如,將分散轉(zhuǎn)變?yōu)榧小⑽粗D(zhuǎn)變?yōu)橐阎?,從而提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)據(jù)問(wèn)題中的重要思想,在研究問(wèn)題時(shí)需要將抽象內(nèi)容變得更加生動(dòng)和直觀,并且還需要將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)楹?jiǎn)單的問(wèn)題,深入地分析其中所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系,實(shí)現(xiàn)各個(gè)數(shù)量關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化,為學(xué)生的解題提供重要的幫助,以此來(lái)提升課堂教學(xué)的效果。因此在教學(xué)中,教師要通過(guò)轉(zhuǎn)換思想,讓學(xué)生理解其中的奧妙,逐漸增強(qiáng)學(xué)生當(dāng)前的學(xué)習(xí)效果。

        2.解題

        在教學(xué)中,教師可以為學(xué)生布置這樣的問(wèn)題:“已知三角形ABC 的三邊為a、b、c,a2+b2+c2=ab+ac+bc,請(qǐng)同學(xué)們判斷三角形的形狀?!痹跒閷W(xué)生布置這道題目時(shí),教師要讓學(xué)生先不要通過(guò)幾何的方法來(lái)進(jìn)行計(jì)算,要轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)的方式來(lái)進(jìn)行等式的分析。教師可以讓學(xué)生結(jié)合自身在之前所學(xué)到的等式內(nèi)容來(lái)進(jìn)行式子的變換,得出簡(jiǎn)化的式子,這樣一來(lái)可以快速得出這一三角形為等邊三角形,為了讓學(xué)生深刻地記住轉(zhuǎn)換思想運(yùn)用的方法,教師可以讓學(xué)生先在圖上畫(huà)出這個(gè)三角形之后,再判斷其中的數(shù)量關(guān)系,再通過(guò)代數(shù)的方法進(jìn)行日常的轉(zhuǎn)換,從而增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。教師需要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)認(rèn)真地分析題目涉及的數(shù)學(xué)思想、方法,轉(zhuǎn)變?yōu)樽约核鶎W(xué)習(xí)到的內(nèi)容建立數(shù)學(xué)模型,將一個(gè)領(lǐng)域的問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪粋€(gè)領(lǐng)域的問(wèn)題,逐漸深化學(xué)生對(duì)相關(guān)內(nèi)容的印象。當(dāng)學(xué)生在解題時(shí)遇到復(fù)雜的問(wèn)題時(shí),教師可以讓學(xué)生將某個(gè)數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌臄?shù)量關(guān)系來(lái)進(jìn)行日常的解答,從另一個(gè)角度入手來(lái)提升學(xué)生解決問(wèn)題的效果。這樣一來(lái)可以將復(fù)雜的問(wèn)題變得更加簡(jiǎn)單,提高學(xué)生的解題效率。

        在當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)課堂中,為學(xué)生滲透解題中的數(shù)學(xué)思想、方法為重要的教學(xué)環(huán)節(jié),因此教師需要加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)思想、方法的認(rèn)知,根據(jù)學(xué)生的解題特點(diǎn)來(lái)為學(xué)生布置不一樣的課堂教學(xué)模式,全方位地滲透在數(shù)學(xué)思想、方法中。值得注意的是,教師要引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)也要進(jìn)行數(shù)學(xué)思想、方法的歸納以及總結(jié),提煉出常用的數(shù)學(xué)思想、方法,通過(guò)體會(huì)和研究提高學(xué)生當(dāng)前的解題效果。

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