任軍輝 穆龍濤 權(quán) 超

（陜西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西 咸陽 712000）

0 引言

移動(dòng)機(jī)器人是現(xiàn)代機(jī)器人的一個(gè)重要分支，行走機(jī)構(gòu)是其能夠?qū)崿F(xiàn)移動(dòng)的結(jié)構(gòu)保障。在所有行走機(jī)構(gòu)中，連桿機(jī)構(gòu)因結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、低副能承受較大的載荷、具有豐富的運(yùn)動(dòng)軌跡，能很好地實(shí)現(xiàn)移動(dòng)機(jī)器人行走步態(tài)的要求［1］。平面鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)是最簡(jiǎn)單，也是應(yīng)用最廣泛的連桿機(jī)構(gòu)，可將其看作一個(gè)Ⅱ級(jí)桿組連接到原動(dòng)件和機(jī)架上。只要在平面四桿機(jī)構(gòu)上施加一個(gè)原動(dòng)機(jī)就可實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的平面運(yùn)動(dòng)軌跡［2］。在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)行走機(jī)構(gòu)的要求不同，可在四桿機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)上增加桿組，從而設(shè)計(jì)出較為復(fù)雜的多連桿系統(tǒng)［3］，圖1為六桿機(jī)械腿結(jié)構(gòu)示意圖。

圖1 六桿機(jī)械腿結(jié)構(gòu)拆分

對(duì)連桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)的方法有作圖法和解析法［4］。作圖法是按照一定的比例尺，用幾何作圖的方式來求解連桿機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)，該方法較為簡(jiǎn)單直觀、高效，但求解精度不高，對(duì)較為復(fù)雜的連桿系統(tǒng)求解較為困難；解析法是通過建立機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)要求和機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)間的解析方程式，并根據(jù)已知條件來求解出連桿的尺寸參數(shù)，且求解精度高。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，解析法的求解更加方便。MATLAB提供了強(qiáng)大的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，將研究的平面機(jī)構(gòu)放于笛卡爾坐標(biāo)系中，利用坐標(biāo)矢量關(guān)系來建立求解表達(dá)式，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)連桿機(jī)構(gòu)的精確求解與優(yōu)化［5-7］。

1 行走機(jī)構(gòu)方案

一種基于連桿機(jī)構(gòu)的四足機(jī)器人行走機(jī)構(gòu)如圖2所示，左右兩側(cè)的行走結(jié)構(gòu)完全一致，但在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)上存在180°的相位差，可實(shí)現(xiàn)交替配合。每一側(cè)機(jī)構(gòu)中，前肢和后肢結(jié)構(gòu)都是相似的平面四桿機(jī)構(gòu)，通過曲柄共用一個(gè)電機(jī)。因此，在對(duì)其進(jìn)行分析時(shí)，選取一側(cè)的前肢結(jié)構(gòu)對(duì)其進(jìn)行分析與優(yōu)化，其機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖如圖3所示。

圖2 四足行走機(jī)構(gòu)

圖3 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖

各桿件的尺寸為AB=200 mm、BC=700 mm、CD=700 mm、AD=1 000 mm。平面四桿機(jī)構(gòu)曲柄存在的條件見式（1）。

式中：LAB為AB桿件的長(zhǎng)度；LAD為AD桿件的長(zhǎng)度；LBC為BC桿件的長(zhǎng)度；LCD為CD桿件的長(zhǎng)度。由圖3可知，最短桿AB為曲柄，該四桿機(jī)構(gòu)屬曲柄搖桿機(jī)構(gòu)。運(yùn)動(dòng)過程如下：AB桿件為原動(dòng)件，電機(jī)通過減速裝置來帶動(dòng)曲柄作整周轉(zhuǎn)動(dòng)，連桿為執(zhí)行構(gòu)件，P點(diǎn)為末端點(diǎn)，連桿上的某位置作高低起伏的復(fù)雜軌跡運(yùn)動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)與地面接觸及抬起前進(jìn)的行走動(dòng)作。

2 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)和力分析

2.1 機(jī)構(gòu)數(shù)學(xué)模型建立

為了能利用矢量來表示機(jī)構(gòu)的幾何關(guān)系，將四桿機(jī)構(gòu)放置于平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行研究，如圖4所示。四桿機(jī)構(gòu)的四條邊可構(gòu)成一個(gè)封閉的圖形，用矢量來表示每一段，即在封閉圖形ABCD中，存在的矢量方程見式（2）。

式中：AB為桿AB對(duì)應(yīng)的平面矢量；BC為桿BC對(duì)應(yīng)的平面矢量；AD為桿AD對(duì)應(yīng)的平面矢量；DC為桿DC對(duì)應(yīng)的平面矢量。

為了便于求解導(dǎo)數(shù)，式（2）可用復(fù)數(shù)的形式來表示，見式（3）。

式中：|AB|、BC、|CD|、|AD|分別為AB桿、BC桿、CD桿和AD桿的長(zhǎng)度；θ1，θ2，θ3分別為AB桿、BC桿、CD桿與水平方向的夾角（見圖4）。

圖4 行走機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型

其中，θ1隨時(shí)間的變化規(guī)律就是曲柄的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，待分析的變量包括其余桿件的角度，可利用MATLAB來求解式（3），以及角度相對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)、二階導(dǎo)，從而分析各桿件的位置、速度和加速度。

2.2 運(yùn)動(dòng)分析

在已知曲柄AB為主動(dòng)件勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的前提下，分析其余桿件的位置、速度和加速度的變化情況。由于平面四桿機(jī)構(gòu)的自由度為1，在只有一個(gè)原動(dòng)件的前提下，機(jī)構(gòu)具有確定的運(yùn)動(dòng)。P點(diǎn)為連桿BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，根據(jù)BC桿的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可求出P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況。

對(duì)式（3）兩側(cè)同時(shí)求時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，見式（4）。

式中：ω1、ω2和ω3分別為AB桿、BC桿和CD桿的角速度。

為了便于MATLAB的編程求解，用矩陣的形式來表示速度方程，見式（5）。

對(duì)式（3）兩側(cè)同時(shí)求時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)，或?qū)κ剑?）兩側(cè)同時(shí)求時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，得到加速度的方程式，見式（6）。

式中：α2、α3分別為桿BC、桿CD的角加速度。

根據(jù)計(jì)算結(jié)果，連桿和搖桿的運(yùn)動(dòng)規(guī)律如圖5所示。

由圖5可知，當(dāng)曲柄轉(zhuǎn)角分別為135°和330°時(shí)，CD桿的角速度達(dá)到最大值75 rad/s；當(dāng)曲柄轉(zhuǎn)角在27°和240°附近時(shí)，連桿BC達(dá)到最大角速度75 rad/s。在每一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期中，連桿BC和搖桿CD的加速度波動(dòng)范圍分別為-2.2×104～1.4×104rad/s2、-1.5×104～2.2×104rad/s2。

圖5 行走機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析曲線

2.3 力分析

在運(yùn)動(dòng)分析的基礎(chǔ)上，當(dāng)桿件質(zhì)量、質(zhì)心位置、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及執(zhí)行件的工作阻力矩已知，可借助MATLAB軟件來計(jì)算運(yùn)動(dòng)副上的受力，以及原動(dòng)機(jī)所需的平衡力矩。對(duì)活動(dòng)構(gòu)件i進(jìn)行受力分析，并根據(jù)受力分析來建立平衡方程，見式（7）。

式中：Si為質(zhì)心；MSi為對(duì)質(zhì)心Si的力矩；Fx為水平方向的作用力；Fy為垂直方向的作用力。

在行走機(jī)構(gòu)中，對(duì)3個(gè)可移動(dòng)的桿件可建立9個(gè)平衡方程，利用MATLAB進(jìn)行求解，對(duì)工作阻力矩為100 N、桿件線密度為10 kg/m的案例進(jìn)行分析，得到四桿機(jī)構(gòu)C點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)副的受力和曲柄AB平衡力矩，如圖6所示。

圖6 行走機(jī)構(gòu)力分析

3 行走機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

通過以上分析可以看出，連桿上的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡不盡相同，在圖3中，行走機(jī)構(gòu)末端執(zhí)行點(diǎn)是連桿BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，為了使行走機(jī)構(gòu)具有良好的傳力性能和越障能力，希望P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡能通過（1 200，-920）、（1 100，-900）、（900，-880）、（800，-910）、（700，-930）這5個(gè)點(diǎn)，以這5個(gè)點(diǎn)所在的曲線為理想曲線，根據(jù)數(shù)學(xué)模型可求解出軌跡上最接近理想曲線的連桿上某點(diǎn)位置，并將其作為P點(diǎn)的實(shí)際位置，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)連桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化。目標(biāo)函數(shù)見式（8）。

式中：(xPi，yPi)、(xi，yi)分別為理想曲線上的坐標(biāo)點(diǎn)和P點(diǎn)軌跡上的坐標(biāo)點(diǎn)。

由于P是實(shí)際構(gòu)件上的一點(diǎn)，因此可以是BC線段外的點(diǎn)，但其與連桿是同一個(gè)構(gòu)件?？捎肂P以及BP和BC之間的夾角θ來表示P點(diǎn)在實(shí)際連桿上的位置。優(yōu)化的約束條件見式（9）。

式中：γ為傳動(dòng)角；γmin和γmax分別為傳動(dòng)角的最小值和最大值；|AB|、|BC|、|CD|、|AD|分別為AB桿、BC桿、CD桿和AD桿的長(zhǎng)度。

由此來設(shè)計(jì)各桿長(zhǎng)度以及P點(diǎn)在連桿上的位置。根據(jù)MATLAB的計(jì)算結(jié)果在三維建模軟件中進(jìn)行建模，如圖7所示，即BP=633 mm、θ=13.4°。

圖7 優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)即軌跡線

4 結(jié)語

本研究基于MATLAB的編程與強(qiáng)大計(jì)算能力，使用解析法對(duì)連桿行走機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)和受力分析，并在此基礎(chǔ)上，以末端軌跡為目標(biāo)，對(duì)連桿進(jìn)行優(yōu)化，得出末端執(zhí)行點(diǎn)的具體位置，使連桿行走機(jī)構(gòu)具有良好的傳力和越障性能，從而為精確分析和連桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)提供參考。