朱金霞 孫海鋒

代數(shù)推理是推理的一種類型，初中代數(shù)推理是將代數(shù)式（或關(guān)系）變形為特定的目標(biāo)結(jié)構(gòu)（或關(guān)系），用代數(shù)方法證明（或說(shuō)理）。［1］《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》指出：“在初中數(shù)學(xué)中，不僅在圖形與幾何領(lǐng)域有推理或證明的內(nèi)容，在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域也有推理或證明的內(nèi)容。”［2］由此可見(jiàn)，在初中階段提高教師代數(shù)推理教學(xué)的意識(shí)，有助于學(xué)生理解代數(shù)知識(shí)，優(yōu)化思維方式，增強(qiáng)推理能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。同時(shí)能為學(xué)生后繼內(nèi)容的學(xué)習(xí)做好鋪墊，有效銜接初高中的數(shù)學(xué)教學(xué)。

因此，筆者嘗試在代數(shù)概念課的教學(xué)中設(shè)置環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題鏈，培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理能力。下面，筆者結(jié)合蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)上冊(cè)“立方根”的教學(xué)片段與大家分享個(gè)人觀點(diǎn)，不當(dāng)之處請(qǐng)批評(píng)指正。

一、教學(xué)片段

1.以“問(wèn)”促憶，回顧舊知

問(wèn)題1：同學(xué)們，平方根的概念是什么？

生：如果x2=a（a≥0），那么x叫做a的平方根。

追問(wèn)1：為什么a≥0？

追問(wèn)2：如何表示a的平方根？

【設(shè)計(jì)意圖】問(wèn)題1 作為起始之問(wèn)，幫助學(xué)生回憶舊知。追問(wèn)1幫助學(xué)生理解a的含義，凸顯平方的非負(fù)性。追問(wèn)2 制造認(rèn)知沖突，大部分學(xué)生會(huì)脫口而出±a，忽視了用字母a表示平方根時(shí)，a只能是非負(fù)數(shù)。此環(huán)節(jié)幫助學(xué)生明確在用字母表示數(shù)的過(guò)程中要注重分類討論，為研究新知、突破重難點(diǎn)作鋪墊。

2.以“問(wèn)”促思，生成新知

師：有一個(gè)小正方體，它的棱長(zhǎng)是1。若搭一個(gè)棱長(zhǎng)是2的正方體，需要4個(gè)相同的小正方體；如果棱長(zhǎng)是3，需要27個(gè)；如果棱長(zhǎng)分別是4和5，則分別需要64 和125 個(gè)小正方體。（板書(shū)23=8，33=27，43=64，53=125……）

問(wèn)題2：觀察這些等式，已知棱長(zhǎng)求體積是立方運(yùn)算；反過(guò)來(lái)，知道正方體的體積是125，你會(huì)求它的棱長(zhǎng)是多少嗎？

追問(wèn)1：知道正方體的體積是125 求棱長(zhǎng)，是一種什么運(yùn)算？5叫做125的什么呢？

追問(wèn)2：如果正方體的體積是2，棱長(zhǎng)又是多少？這樣的棱長(zhǎng)存在嗎？

提示：我們不妨設(shè)棱長(zhǎng)為x，得到x3=2。

追問(wèn)3：這樣的x有幾個(gè)？如何表示？

追問(wèn)4：已知立方結(jié)果為2求底數(shù)x，是一種怎樣的運(yùn)算？x叫做2的什么?

【設(shè)計(jì)意圖】問(wèn)題2 引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用熟悉的立方運(yùn)算來(lái)計(jì)算體積。追問(wèn)1 提出問(wèn)題，讓學(xué)生初步感受在立方運(yùn)算的等式中涉及底數(shù)和冪兩個(gè)變量，可以已知冪求底數(shù)。追問(wèn)2 使學(xué)生產(chǎn)生困惑，在學(xué)生原有認(rèn)知中，沒(méi)有正整數(shù)的立方等于2，打破其原有知識(shí)體系。此環(huán)節(jié)利用4個(gè)追問(wèn)和1 個(gè)提示制造思維沖突，引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)學(xué)模型，建立方程解決問(wèn)題，思考怎樣解一元三次方程，引入新的數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題。

問(wèn)題3：同學(xué)們能類比平方根的概念，給出立方根的概念嗎？

生：如果x3=a，那么x叫做a的立方根。

追問(wèn)1：為什么不需要a≥0？

追問(wèn)2：回到問(wèn)題2中，如何求x3=2中的x呢？

師：a的立方根記作3a，讀作三次根號(hào)a。類似開(kāi)平方運(yùn)算，求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算叫做開(kāi)立方，開(kāi)立方運(yùn)算和立方運(yùn)算是互逆關(guān)系。

【設(shè)計(jì)意圖】有了問(wèn)題1和問(wèn)題2的鋪墊，類比平方根的概念，學(xué)生較容易得出立方根的概念。追問(wèn)1 與復(fù)習(xí)平方根的概念呼應(yīng)，形成對(duì)比。追問(wèn)2 用新知解決遺留問(wèn)題，有助于學(xué)生從形式和內(nèi)涵上分析復(fù)雜的代數(shù)概念，進(jìn)一步理解新知。

3.以“問(wèn)”促探，發(fā)展推理

問(wèn)題4：下列各數(shù)有立方根嗎？如果有，請(qǐng)寫(xiě)出來(lái)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由。

追問(wèn)1：這些數(shù)都有平方根嗎？如果有，請(qǐng)寫(xiě)出來(lái)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由。

追問(wèn)2：平方根和立方根有什么聯(lián)系和區(qū)別？

【設(shè)計(jì)意圖】問(wèn)題4 通過(guò)舉例引導(dǎo)學(xué)生探究立方根的性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生從定義、個(gè)數(shù)、表示法、被開(kāi)方數(shù)的取值范圍等角度分析平方根和立方根的異同，明確符號(hào)的含義，搭建推理運(yùn)算的階梯。

【設(shè)計(jì)意圖】問(wèn)題5 引導(dǎo)學(xué)生從互逆運(yùn)算的角度進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，明確運(yùn)算的關(guān)系結(jié)構(gòu)，由簡(jiǎn)單的計(jì)算到抽象的推理，為后續(xù)驗(yàn)證猜想提供推理依據(jù)。平方根和立方根是偶次方根和奇次方根最簡(jiǎn)單的形式，由此推廣到n次方根，對(duì)n和被開(kāi)方數(shù)a都要分類討論，思維和推理的難度都會(huì)增大。

【設(shè)計(jì)意圖】問(wèn)題6 中先給出兩個(gè)學(xué)生熟悉的真命題，基于平方和算術(shù)平方根的特殊性，明確x、y只能等于0。追問(wèn)則是立方和開(kāi)立方運(yùn)算，其中x和y可以是正數(shù)、0和負(fù)數(shù)。這是純代數(shù)推理題，通過(guò)演繹推理可以探究x和y的一般關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生將合情推理和演繹推理有機(jī)結(jié)合，進(jìn)一步提升其代數(shù)推理能力。

二、幾點(diǎn)思考

1.精心設(shè)問(wèn)，體現(xiàn)代數(shù)推理教學(xué)的內(nèi)在價(jià)值

在概念課的不同教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師應(yīng)立足學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，設(shè)置有層次、有梯度的問(wèn)題，幫助學(xué)生深入理解概念，理解數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)推理運(yùn)算，建構(gòu)知識(shí)框架。在立方根的教學(xué)中，筆者設(shè)計(jì)以“問(wèn)”促憶、以“問(wèn)”促思、以“問(wèn)”促探三個(gè)環(huán)節(jié)，主問(wèn)題由淺入深，使立方根的概念、表示、性質(zhì)等形成體系，逐步優(yōu)化學(xué)生思維，讓學(xué)生的代數(shù)推理能力逐級(jí)上升。

2.巧妙追問(wèn)，挖掘代數(shù)推理教學(xué)的深度

恰到好處的連續(xù)追問(wèn)，能直接觸及概念的核心，突破教學(xué)重難點(diǎn)，在關(guān)鍵點(diǎn)處給學(xué)生留以足夠的思考空間和思考深度，沖破思維定勢(shì)，形成一系列連續(xù)有效的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，提升學(xué)生的邏輯推理能力。例如，在問(wèn)題2 之后，設(shè)置4個(gè)連續(xù)追問(wèn)，推動(dòng)學(xué)生主動(dòng)探索立方根的存在性和唯一性，順利引入立方根的概念，用追問(wèn)將思維引向深處，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供思考。

3.適時(shí)反問(wèn)，提升代數(shù)推理教學(xué)的廣度

根據(jù)教材內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)拓展、提出反問(wèn)，不僅能夠增加新知的廣度，更有利于學(xué)生連貫而理性地思考問(wèn)題。例如，在問(wèn)題5 中探究關(guān)于立方和開(kāi)立方運(yùn)算結(jié)合的一般規(guī)律是對(duì)立方根的又一性質(zhì)探究，若將n次方運(yùn)算和開(kāi)n次方運(yùn)算相結(jié)合，則是對(duì)任意次方的探究，需要兼顧等式中每一個(gè)字母的取值范圍。此時(shí)需要從代數(shù)式的運(yùn)算角度進(jìn)行思考，對(duì)于含多個(gè)字母的等式純代數(shù)推理題，對(duì)抽象思維推理能力要求比較高，教學(xué)注重廣度的同時(shí)，需要兼顧不同層次的學(xué)生的推理能力，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)推理的方法，形成理性精神，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

通過(guò)設(shè)問(wèn)、追問(wèn)和反問(wèn)形成較為完整的問(wèn)題鏈可以驅(qū)動(dòng)課堂教學(xué)的深入和發(fā)展。有效的問(wèn)題鏈設(shè)計(jì)并非幾個(gè)問(wèn)題的簡(jiǎn)單堆積，而是由有各自功能價(jià)值的問(wèn)題依據(jù)特定的內(nèi)在聯(lián)系有機(jī)組合而成的。［3］在教學(xué)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生解決環(huán)環(huán)相扣、螺旋上升的設(shè)問(wèn)，架構(gòu)完整的相關(guān)代數(shù)概念的知識(shí)框架，精準(zhǔn)理解數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)運(yùn)算，拓寬思維的廣度；借助層層遞進(jìn)、入木三分的追問(wèn)和反問(wèn)，理清數(shù)量關(guān)系的運(yùn)算和變形，將合情推理和演繹推理相結(jié)合，挖掘思維的深度，滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)代數(shù)推理能力。